语言和思想
语言的高境界是达到“言有尽而意无穷”，让意义在语言的尽头引发出人一言难尽的无奈和惆怅。意义从语言的尽头漫溢出来这一过程，是怎样发生的？在冲破语言的牢笼走向终极存在的过程中，以行动表演思想的方式会比语言走得更远吗？以行为来参悟世界，物我两忘，是否就真的能洞察世界的本质？这样就称得上是与世界的融合？修行，体悟，就是与世界的亲近。此时，不仅仅是我观世界，同时，我也在观世界的观我，亦即对彼察的反观。显现世界的真实，果真有此顺序：语言，形象，行动？思想的戏剧真的那么重要？我也不知道。所谓思想的戏剧以及由此带来的后果，就是要让思想者冲破一切关于人自身和世界的限定，让他们的行为最大限度的去彰显语言，形象所无法达到的切意的自由。
与陈果就题意讨论一番，虽有所触，可该澄清的还是没有澄清。他说：1，语言能启发思维；2举以自然数系统为例，讨论它的发生以及本质，并且把它看成一种表意的工具，由此而申述，一种基本的语言的产生实际上是人类在与世界打交道的过程中不断进步，心中产生了一种更高级的抽象观念，然后运之于世；3，一个真正的创造者在生发其语言，乃因对此世界的理解，体会和更深的抽象上，所以，体会是基础，抽象是进步，而语言是在抽象的涵义已经发生之后的事情，就像人们先有”下一个“的体会，后有自然数之观念的向世而生一样；4，涵义是发生在先，语言的发生在后，此亦即所能切证到的与所能言说出的先后之顺序；5，他转述的一君的说法，即展开语言和展开含意之关系。这些议论皆可增益我关照语言所携的诸种可能性。
我为什么关注语言和思想这一问题？因为我觉得，数学，本质上是一种语言，是对概念，观念以及隐藏在宇宙深处的世界本质的一种言说，而且我将会著书立说，以立言的方式，将我对数学新的理解，对世界的新的认识延续下来。有人把数学当作一种工具，亦有人把语言当作一种手段，在我，却不作如是观。每一语词或者概念，本无对错，深浅之分，关键在人之摆放，运置。语言系统中的一句言说是否切中了世界意义空间中的某种本质，须放在整个存在之史中来观会，所以，操心语言的目的，是言清当下之思想，尽量避免客观误解，让思想在此生能得以文字上的完成。我们能否通过语源分析达到真理？是否可以仅凭语词来洞悉事物的本性？是否能够不借语词来认识事物？不变的本质和流变的现实是何关系？到底如何界定一种言说是错误还是无意义？这些古希腊人对语言的追问，于今意义愈增。而中国古哲的看法是，除人语之外还存在物语，甚至连沉默也是一种语言，而且是一种能开显无限真实的元语言，如禅宗的以心传心，默照，打坐和禅悟，道家的心斋和坐忘，得意而忘言。慧能在《坛经》中感慨：“若全著相，即长邪见；若全执空，即长无明。”庄子则认为：“可以言论者，物之粗也；可以意致者，物之精也。”无论何种解法，若放眼整个知识谱系和精神史，则必须以语言打捞真相，人之思想无所逃于语言，岂不相类于人无所逃于天地之间也？为了言说尽量切中世界深处的本意，中国古哲制造了“象”这个概念，表达的格局由此而变为言，象，意。首论三者之关系从《易-系辞上》出，其曰：“圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言。”老子进而申述：“道之为物，惟恍惟惚。惚兮恍兮，其中有象。恍兮惚兮，其中有物。”庄子更进一步，把“象”生长为“象罔”，在《庄子-天道》篇中如此寓论：“黄帝游乎赤水之北，登乎昆仑之丘而南望。还归，遗其玄珠。使之索之而不得，使离朱索之而不得，使口契诟索之而不得也。乃使象罔，象罔得之。黄帝曰：‘异哉！象罔乃可以得之乎？’”这里，庄子以喻为筏，世界隐藏的秘密托为玄珠，而只有象罔能得之。何谓“象罔”？宋人吕惠卿：“象则非无，罔则非有，不敫不昧，玄珠之所以得也。”清人郭嵩焘：“象罔者若有形若无形，故眸而得之。即形求之不得，去形求之也不得也。”最完论者乃晋人王弼：“夫象者，出意者也。言者，明象者也。尽意莫若象，尽象莫若言。言出于象，故可寻言以观象；象生于意，故可寻象以观意。意以象尽，象以言著。故言者所以明象，得象而忘言；象者所以存意，得意而忘象。”执“象”，“象罔”者，以为“象”立而“言”尽，应得意而忘言，得意而忘象。执“象”而求者，于“忘言”“忘象”之后续事情无所立论，仅禅门中人有所余探，所得之路，即为禅定，禅观，修行，澄怀味道，致虚极，守静笃，净心自悟，在“不坠二边，于相离相”中达到用言而不坠于言，让思想永远向高处迈登。
这真的是条达思的精纯之路吗？
语言和思想
数学.概念.人—–通过概念的长征
大致可以把伟大的数学家分为两大类;一类为宇型的,一类为宙型的.何谓宇型?如同哲学长河中的亚里士多德,柏拉图,康德,胡塞尔等建立了伟大体系的人,数学中如此之人有哪些呢?自古以降,廖若疏星,Newton,Gauss,Galois,S.Lie,E.Cartan,A.Grothendieck,Kolmogorrov,丘城桐,Kodaira,Euclid,Fourier,Cantor,Riemann.何谓宙型?像哲学门中的那些形而上的先知们,他们的洞见穿越了时空中的迷雾而辉丽万有,烛照三才.有点类似于古希腊残篇断简中吐放的绵绵密密的智慧的幽光,照了古人照今人,以那种不朽的寂静的方式驱散着一代又一代人心的黑暗和孤独.如哲人中的苏格拉底,基尔凯廓尔,尼采,Wittgenstiein,Heidgger等,数学中这样的人,大概也如这世界上有趣的人一样少!毕达哥拉斯,阿基米德,Fermat,祖冲之,刘徽,朱载堉,Poisson,Abel,Ramanujan,ЧебbIшев.ПaфHутийЛbвович,I.Schur,Poincrae,Langlands,Shimura,Harish-Chandra,Weil,Witten,E.Noether,I.M.Gelfand,Selberg,Siegel,Hilbert,Markov,他们大概可以位列其中.如果以武学的手法论数学,宇型数学家有点类似于洪七公,王重阳,逍遥子,扫地僧,李寻欢之类, 宙型数学家则有点类似于风清扬,胡不归,叶孤城,陆小凤,燕十三一类.不管是武学的江湖还是数学的江湖,都是这些人的血,汗和才情所构成.他们的思想和功业,使数学这个伟大的宇宙得以运转,这些宇宙般永恒的英雄们的事迹,好似那些绝代侠客们的铁血柔情,在江湖的每个角落里不息的流传着,一朝江湖人,千古侠客梦.那些天才的公式带给人的一瞬间的灿烂和兴奋,只有天涯边那一剑的寂寞,明月下那一刀的风情才能媲美.这种美能在刹那间燃烧我所有的欲望,碾碎天地间所有的寂寞,洗掉身上这万丈红尘,而得以聆听那广陵瑶琴为我奏响的三千绝响,在一种纯粹的境界中我步入了群星驰舞的莽莽高山.数学与哲学的目的一样,都是要从逻辑上澄清思想.数学不是一门学说,而是一项活动,一种不断揭示宇宙新结构的进程,本质上,它是由一系列的概念和解释所构成,数学的成果不仅是些或新或旧的命题,而且也包括对这些命题的澄清.若没有数学,这个世界会相当混乱和嘈杂,关于世界的图画不会像而今这般的绚烂和动人.上面这些,是些须关于数学和数学人的故事,也包含了我的隐喻,我冀望着在某些余霞漫天的黄昏,淡淡的晚风寂寞的吹着,在我的感觉边上,坐着一位人淡如菊的女子,温情脉脉的守侯着玉壶中的香茗,我却沉醉在这胜似月色的温柔里,沉醉在那些人,那些人的动人的数学,动人的故事里,恰似那天外飞鸿,对苍茫大地,万古长空的沉醉.故事已尽,梦亦醒,我们该上路了.数学中最重要的是”道”,古人云:阴阳之变之谓道,显示了”道”本身包含了思想,命题,概念以及它们的不断更新,正所谓:江山代有人才出,数学贵在道之易.窃以为,无论创造新的数学还是学习旧的数学,”概念”都是核心,整个数学,就是对其概念的组合,运动和阐释.数学中我们关心的所有重要事情,都是由对概念的天才操作所生发.接下来,将是一个通过概念的长征,因为学识的局限或俗事的缠绕,可能,我最终走不完它,但,作为一种仪式,或者一种象征,第一步,绝对要迈.
人生相当虚幻,最终,尘归尘,土归土.我愿像燕十三一样被自己的那一剑所毁灭.那一剑是不朽的,足以烛照千古.数学,像武学一样,需要绝对的诚心正意,值得耗尽自己一生的心血,为的是什么?为了一种境界,一种瞬间的绚烂.
在征程启始之际,我喜欢首先为自己造一个机器,或者说,搭建一个脚手架,然后,我就心安理得地在其中细致的劳作.
我将陆陆继续地讲述下面这些迷人的概念的故事,或许,这”陆续”会拖得很长,长得令人愤怒.
1,Variety:当然,最常听到的是Algebraic Variety,当然,在AG(algebraic geometry)和AAG(arithmetic geometry)里,最重要的,经常被提到的簇是:Shimura Variety, Jacobian Variety, Abelian Variety,Hodge Variety,Piard Variety,Modular Variety,etc.其中Shimura Variety和Abelian Variety又格外重要,一维的Abelian Variety便是椭圆曲线,而Shimura Variety是Langlands计划中的核心研究对象.
2,Scheme:它是Algebraic Variety的推广,这是一个重要性无论被估计多高都不为过的概念,我将会详细的对它进行阐述,因为,在它上面屹立着许多辉煌的大厦,比较常见的有Abel Scheme,有限群概形,形式群概形,等等.
3,Cohomology:这是一个搞数学的人必须掌握的一种技术,威力无穷,当然,它可能会有一个相当悲凉的下场,Motif 横空出世的那天,或许就是它的末日.常见的,非常重要的一些上同调有:Galois Cohomology,Cech Cohomology,(它是所谓的Cohomology of Sheaves的一种特殊化),etale Cohomology, Crystalline Cohomology, L-adic Cohomology,Quantum Cohomology,De Rham Cohomology,Cyclic Cohomology(这是Connes发展的NCG里面的一个重要的概念,当然,在同调代数中也比较有用),Motivic Cohomology,这是Vodvoesky最近几年才发展起来的一种新的上同调,他通过借助Algebraic-K Theory和Homotopic algebra等工具,然后再构造一系列复杂而抽象的关于 motives的triangulated category ,初步的实现了格先生当初的一些梦想,建立起了一个所谓的bigraded motivic cohomology theory H^p,q(X) for algebraic varieties.
4, Group:这是Galois的天才工作,里面最重要的是Lie Group和Galois Group.现在,高阶K Group已经越来越重要了..
5,Module,这是现代数学中一种很重要的看待数学的观点,里面相当重要的是Galois module.这可说是现代数论的核心研究对象.
6,Algebra:这里的algebra指的是一种数学结构，在逻辑学里，有Boolean algebra ，Heyting algebra，在集合论里，有algebra over a set ，sigma algebra ，在线性代数里，有algebra over a field ，associative algebra，commutative, anticommutative, and super- algebras ，Lie algebra ，在环论里有algebra over a commutative ring ，也称为 R-algebra，在范畴论里，有F-algebra ，F-coalgebra ，当然，这些代数都有各自的用处，不过，我感兴趣的是几种特殊的代数，它们的重要性，在数学和物理学中都得到体现，她们是：Lie algebra，homotopic algebra，Hopf algebra（与量子群有联系），Heck algebra，Banach algebra，Clifford algebra，Von Noeuman algebra，附带的，比较重要的是algebra的表示，这属于表示论了。
7，Sheaf：Sheaf是表达一个拓扑空间局部性质和整体性质之间联系的一个相当有力量的工具，用范畴的语言说，Sheaf就是一个逆变函子。 是Jean Leray首先表达这个概念的，Jean Leray在研究PDE中的不动点问题时，催发了他提出这个概念，而且，同时，他还定义了spectral sequences.
8:Topos
这是一个拉丁文,相当于”place”,来源于古希腊文τοπος ,是”空间,位置”的意思,在数学中,有时也写作 “topoi” 或者 “toposes”.它起源代数几何,是Grothendieck的创造,后来在etale cohomology里起着比较大的作用,现在,在数理逻辑和理论计算机的研究里也经常出现,不过,我主要关心的是它在数学中的作用.在某种程度上,它是点集拓扑的推广,对于一个 scheme 或者是一个stack ,都可以给它们附加一个Topos结构,比如 étale topos, 或者所谓的fppf topos, 或者 Nisnevich topos.你爱怎么玩就怎么玩,当然,要玩出意义来,就不简单了.Topos的一个简单的例子是:考虑The category of sheaves of set on a topological space ,then this category is a simple topos,and even the category of sets is a topos.
9:Stack
Deligne常写成法文”champ”,其实呢,”champ”在英文中的意思是”field”,为什么要翻成”stack”呢?或许与它的发明人有关.”Stack”是在Deligne与Mumford的一篇有名的文章里首先被定义的,他们企图研究the compactifications of moduli of curves,这篇文章是:The irreducibility of the space of curves of a given genus,他们在文章里考虑的是a class of champs,这个用法文可表达为”gerbes”,而”gerbe”翻译为英文可以是”sheaf”,也可以是”stack”,然而,”sheaf”已经被使用了,所以,就只能求次被翻译为”stack”了.在Deligne与Mumford的那篇文章里首先出现的stack,如今被公称为Deligne-Mumford stacks,这是所谓的algebraic stack 的第一个例子,可看成是algebraic varieties,schemes,and algebraic spaces的一个generalization.后来,还出现了什么Geometric stack,Analytic stack,但是,至今,最重要的还是algebraic stack .Deligne-Mumford stacks后来被小Artin(Michael Artin) generalized 为 Artin stack,这也是现在主要的两种stack. stacks主要与moduli有关,在研究moduli space for elliptic curves 时起着重要作用.后来被广泛的应用于代数几何中,例如,在90年代中期,Kontsevich指出,Gromov-Witten invariant 能够被定义为integrals on the stack of stable maps of genus g,在后面L.Lafforgue证明Langlands conjecture for function fields的时候,一个关键的地方就是他设计了一个constructions of compactifications of stacks of certain types of vector bundled.现在,Deligne盘踞在princeton,艰辛的推进格先生未竟的事业,把所有适合Scheme的性质都要搬到champ上来,这是一项激动人心的事业,可惜,太艰苦,太遥远了.
10:Motive
这也是Grothendieck的思想.它的法文名是”Motif”.凡是学代数几何的都知道,学习和处理一系列的cohomology是一件令人望而生畏的事情,是否能够发明一种cohomoplogy,能够encapsulate all the information about all other cohomologies?
这就是Grothendieck发明Motif的最原始的动机,用他在<<Récoltes et Semailles: témoignage sur un passé de mathématicien >>里的叙述,可能看得更加清楚(我在这里只录英文的,法文的可能很多人看不懂):
contary to what occurs in ordinary topology, one finds oneself confronting a disconcerting abundance of different cohomological theories.One has the distinct impression (but in a sense that remains vague) that each of these theories “amount to the same thing “,that they “give the same results”. In order to express this intuition,of the kinship of these different cohomological theories ,I formulated the notion of “motive” associated to an algebraic variety. By this term, I want to suggest that it is the “common motive”(or “common reason”) behind this multitude of cohomological invariants attached to an algebraic variety, or indeed, behind all cohomological invariants that are apriori possible.