对宇宙的沉思

我是学数论的研究生，以前见有人发贴子，也有同学曾经问过我一些学数论的参考书。今天谨以我个人的喜好，谈谈学习数论的参考书。在此我只提：我以前曾经读过现在正在读着和将来十分想读的数论参考书目。一家之言，仅供参考！

在国内有一个不好的倾向是把数论分的太绝对化，要么是学代数数论的要么是学解析数论的。听过美国威斯康星大学杨同海教授的一个报告，说了一句挺有意思的话：在美国都认为我是做解析数论的，而在国内都说我是做代数数论的。其实我认为作为一个学数论的研究生，在硕士阶段，即使你是学代数数论的也应该知道Riemann－zeta function zero-free，学解析数论的也应该明白Adele ring,Idele group,这些都是以后进一步学习最基本的东西5。如果作为一个硕士毕业的数论研究生这些你都不知道，那只说明一种情况是你老板不是一个合格的导师。我一直认为一个合格的导师是不仅把自己的专业知识传授给学生，更重要的是告诉学生自己的学科在整个数学中的所处的地位和作用，在和自己相关的学科中别的数学家都在做什么工作什么是主流的数学什么是核心的数学，而不是逼着学生去读你的只能发表在某某大学学报上的论文。
我所说的书目，一类是可以做教材的一类是平时学习的参考书。做教材的书我认为起码要满足三个条件：不要太厚 不会让人望而生畏；起点不要太高，即预备知识不要太多；要有当代数学的内容，你不能整个一本书都是讲一百多年前的数学，那是本科生的教材!

1 初等数论

内容主要是数论函数和同余性质。国内外都有很多很好的参考书的。

2 解析数论

H.Davenport multiplicative number theory springer-verlag GTM74
A.A.Karatsuba（卡拉楚巴） 解析数论基础 科学出版社 有中译本和英译本

这两本书都是非常适合做教材的。包含了Riemann zeta function，Diriclet L-functions, zero-free , prime number theory , explicit formula，three primes theorm of Goldbach conjecture , circle method … 解析数论所有的基础知识。 H.D的书写的非常简练优美可读性很强（除去前六章,我认为！ ）。

另外如果你有足够大的书架足够高的学习热情，你可以买本潘承洞潘承彪的“大词典”：解析数论基础 科学出版社。我觉得这本书只适合做词典用。

有了这两本书的基础，如果你想了解 Goldbach Conjecture and Chen’s Theorem,你可以看 潘兄弟 歌德巴赫猜想 科学出版社 有英译本。这可能是他们合写的一本最好的书。

如果想学习更详细的 Reimann zeta function 知识，你应该只看E.C.Titchmarsh The theory of the Riemann zeta function, second ed. Oxford Univ. Press.这是因为在 BAMS 中 P.Sarnak 给 A.A.Karatsuba and others The Riemann zeta function 写的 book review 的最后一句很有意思的话是：If I were limited to having just one book on my shelves on Riemann zeta functions,I would opt for the 1986 edition of Titchmarsh”s monograph. 最近一二十年Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory的研究有很大的关系，但一般讲Reimann zeta function的专著中很少讲到这一点的，不过可以从网上找到一些这方面的survey文章来看看的。

最近又有一本非常新非常好的讲解析数论的书，那就是H.Iwaniec E.Kowalski analytic number theory 2003 AMS 书比较厚当然内容也非常多，基本上包含了当代解析数论所有的工具技巧和内容。有了这本书上面所有的书你都可以不用读了。

3 代数数论

H.P.F.Swinnerton-Dyer A brief guide to algebraic number theory Camb. Univ. Press

这是我见过的最适合做教材的一本书，一学期的课程足够了！作者是大名鼎鼎的 BSD Conjecture 中的 SD。薄薄的一百多页讲述了 Ideals ,Valuations ， Adele , Idele , Special fields , Tate’s thesis , L-series ， Class field theory ect . 我一向不喜欢写的太厚的书更不喜欢写的太初等的书，书中没有这两个缺点而是很多地方充溢着作者对代数数论独到的精辟的见解。关于其他参考书目我建议大家看看冯克勤老师的代数数论的一个附录和结语，我认为这是那本书最值得看的部分 。

我比较喜欢 S.Lang algebraic number theory springer-verlag GTM110. S .Lang是一个以写很多书而著名的数学家，光springer－verlag就好像给他出了三四十本吧！出书多了就有很多人对他写的书不以为然，其实就这本书来说我认为还是非常好的讲了class field theory ,analytic theory , Hecke L-functions , Artin L-functions, … .

另外一部名著我认为是学数论的学生大都知道可能大都没仔细读完过（起码我是只仔细看过其中的chapter VII Zeta-functions of A-fields,另外第二部分classfield theory并不是我很感兴趣的地方。），不用猜你知道我说的是 A . Weil Basic Number Theory. 大数学家都喜欢给自己的书起个不起眼的名字，A . Weil就是这样，其实讲的东西绝对一点都不basic，用simple algebras和group representations的工具使用Adele ring and Idele group的语言 ，统一讲述Global Field－number fields and functions fields上的数论。读这本书之前可能需要懂点拓扑群和群表示的东东。

4 自守形式 自守表示 自守L－函数 郎兰兹纲领

(1) H . Iwaniec Topics in classical automorphic forms AMS
H . Iwaniec Spectral methods of automorphic forms AMS second ed.

这两本书都是从analytic methods出发。第一本讲述了GL(2) 上的 holomorphic modular forms 的情况着重讲 了 Kloosterman sum , automorphic L-functions ; 第二本讲述了GL(2) 上的 Maass wave forms 的情况着重讲 Spectral theory 中的trace formula . 从这两本书里，你能看到当代解析数论的主要研究领域和主要研究方法，这与经典的堆垒素数论additive number theory在内容和方法上都有很大的差别。Kloosterman sum , Trace formula 在当代解析数论研究中起着桥梁的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道L-Functions的研究在 Langlands Program 中起着中心的作用，而研究L-functions 往往需要很强的分析方法。最后引用别人的一段话

：… we remark that over the the past three decade research in the Langlands Program has been pursued along main lines; via L-functions,via dual reductive(theta liftings)and via the trace formula … one can take the point of view that automorphic forms are primarily of interest because of concrete analytic information they give us classical problem. In the optic, functoriality is a tool rather than an end in itself,and a wide range of other methods from analytic number theory play an equally important role…

（2） Automorphic forms ,Automorphic representations , Langlands Program

关于伟大的Langlands Program , 最原始也可能是最好的参考书是伟大的 H.Jacquet 和伟大的R.P.Langlands 写的伟大的 Automorphic Forms on GL(2) LNM 114 （可在Langlands主页上免费下载）. 当然这本书对初学者来说也是比较难读的，需要掌握很多预备知识。

S.Gelbert Automorphic Forms on Adele Groups （Princeton 出版的一套红皮书）应该是一本非常好的参考书尽管出版于1975年。励建书老师曾在一个Summer School给同学们推荐过这本书. 但是我翻过感觉写的有点乱，不像一般的书，将这方面的理论分成local theory和global theory，一目了然！

还有一本不错的书是 R.Godement（法国人，Jacquet的博士生导师）写过一个比较薄的讲义 Note’s on Jacquet－Langlands’ theory 书中主要是把LNM114的重点内容讲了一边，比LNM114好读多了，就像在perface中作者说的那样，书名其实也可以叫做 Jacquet－Langlands’ theory made easy ！这本书的缺点就是一般的图书馆都找不到，好像没有出版？ 只是一个内部讲义！笔者最初就是从这本书学起的，一位非常认真的老师给仔细讲过。

可能很多人喜欢看, D.Bump Automorphic forms and representations 当然这是一本非常好的参考书。书里主要讲了 local and global theory (Jacquet-Langlands’ theory) for GL(2) 和 Rankin-Selberg Method ，“… but it less tightly organized and considerably longer ( 574 pages ) … ” . Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi method当然是研究automophic L functions的重要的解析方法。Rankin－Selberg method 也是 Bump 所擅长所偏爱的部分，书中就写的比较多。内容有点偏 (励建书语,呵呵).

另外著名的书就是 A . Borel W.Casselman Automorphic forms, Representations , L-functions PSPM vol. 33 (AMS上可免费下载)。 这是一个会议论文集，都出自大家之手，当然也是非常全面非常厚的。这本书可能是做这方面的数学家人手一册的必备参考书，让AMS 赚足了钱，后来就索性贴到网页上 online 。一位老师告诉我这是一辈子都有用的书 ^-^. 当然，初学者不可能也没必要从头读到尾，拣你喜欢感兴趣的看就行了。

还有两本非常新也是非常好的书 J.Bernstein S.Gelbart An Introduction to Langlands Program 这也是一个会议论文集，但不太厚，作者都是这方面的专家的，重要的是从最基本的基础讲起，也不需要太多的基础知识就能看的懂的

J.W.Cogell , H.H.Kim , M.R.Murty Lectures on automorphic L-functions 书中分了三部分分别讲述了Rankin-Selberg method and converse theorem，Langlands-Shahidi method 和applications of symmertic power L-functions to analytic number theory 三人都是这方面的专家。看看下面的介绍你就知道是一本非常好的书 This book provides a comprehensive account of the crucial role automorphic L-functions play in number theory and in the Langlands program, especially the Langlands functoriality conjecture.There has been a recent major development in the Langlands functoriality conjecture by the use of automorphic L-functions, namely, by combining converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction to these developments and explains how the Langlands functoriality conjecture implies solutions to several outstanding conjectures in number theory, such as the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin’s conjecture. It would be ideal for an introductory course in the Langlands program.

中文的可以看 黎景辉 二阶矩阵群的表示和自守形式 北京大学出版社。书中的内容偏少些，重要的Automorphic L－functions基本上没讲，但无论如何是一本不错的参考书。

还有一本不错的中文书是 李文卿 数论及其应用 北京大学出版社 书中也是统一处理数域和函数域的，前几章讲当代解析数论的基础内容，第七章讲的是classical的模形式，第八章automorphic forms相当把 LNM114 简要的叙述了一边。

5 算术代数几何

arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年数论和代数几何相结合发展起来的一门学科.由P.Deligne，G.Faltings，A.Wiles最近二三十年的工作，显的尤其重要，也可能是在国外数论最热的方向。需要较多的预备知识，起码你要知道点 代数数论 （integers ring , discriminant and ramification , ideal class group ）; 交换代数( Dedekind domains ， discrete valuation rings) ; 代数几何( affine and projective curves , scheme theory ，Riemann-Roch theorm) .

我见过的这方面的书比较少，有一本是 D. Lorenzini An Invitation to Arithmetic Geometry GSM9 AMS ，这本书的优点是你不知道上面的内容也没关系，从头开始，最后证明了 Riemann Hypothesis for curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用Riemann-Roch Theorem 给出的证明方法，可能对于要做这个方向的硕士生来说还是有点太简单吧。
另一本书 IAS/PARK CITY vol 9 Arithmetic Algebraic Geometry 是AMS组织的 summer school的讲义，总要讲了 Elliptic Curves，Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry,Galois Representations ，Serre’s Conjectures,Modular forms ，这辆本书可能会只使你对这个方向有个大致的了解吧！
GTM201 Diophantine Geometry spring-verlag 也应该是这方面的不错的书，但内容和难度都比上面两本书高一个层次的。偶的感觉！

如果真要从事arithmetic algebraic geometry这个方向的研究，个人认为A.Grothendieck同学搞的那些抽象的象天书一样东东早晚还是需要拿来仔细读的，但是厚厚的几大本有点bt的EGA，SGA是不是都要仔细读哪（三年未必能看完）？可能也是个仁者见仁智者见智的问题！ 笔者当然没有看过任何一本。

Let G be an algebraic group, we can consider all the finite dimensinoal repre
sentations,  they formed an abelian category. Usually, this category we denot
ed by Rep(G).

For this algebraic group, we have an associate dual algebraic group \hat{G}.
\hat{G} is called the langlands dual group of G.

Another thing in Representation theory is that Rep(G) is not only an abelian
category but also a tensor category with more structure. We have mentioned in
 long long time ago, there is a philosophy–Tanakian Philosophy which saids f
or a certain tensor category, we can reconstruct an algebraic group.

The interseting thing is that we have another more geometric way to understan
d the langlands duality.

For G, we can consider the set G(C((t)))/G(C[[t]]), it is so-called affine gr
ass
manian denoted by Gr_{G}. We can give it a inde-scheme structure.
It then have a G(C[[t]]) acts on this space, now we consider the following ca
tegory Perv(Gr_{G})^{G}–G(C[[t]])-equivariant perverse sheaves on Gr_{G}.

In Ginzburg’s paper
http://arxiv.org/PS_cache/alg-geom/pdf/9511/9511007v4.pdf
, he gave the tensor category structure on this category and established an c
ategory equivalence:(more than tensor category)

                  Perv(Gr_{G})^(G(C[[t]]))======Rep(\hat{G})

which in some sense is the start point of the geometric langlands program.

After sevral yrears Vilonen and Mirkovic in their papers gave a more strongly
version:
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9911/9911050v1.pdf
表示论中，对于一个代数群，我们可以造出相应量子群（quantum groups）和仿射李
代数（affine lie algebra）．一个是非交换的，一个是无穷维的．
　　关于代数群的表示的结构，经典的表示论书籍中都已经做了详尽而完整的表述，大家
感兴趣的是关于后面两者的相应结果．８０年代～９０年代，Lusztig, kazhdan,还有许
多其他人在这里面作出了很好的工作．
　　代数群的表示和李代数的表示之间的关系是密不可分，在假定代数群单连通时，代数
群的表示范畴等价与李代数的表示范畴．对于本科生来说，比较熟悉的应当是＜＜GTM9-
introduction to Lie algebra and representation theory＞＞中的内容．
　　GTM９中的李代数是考虑域特征为０的情况，一个很自然的问题是考虑域特征为某个
素数时，相应的表示理论的情况．
　　在通常量子群的教材中（见kassel），我们需要其中的参数取值不是单位根．但更加
有意思的事情发生在参数值取值单位根时．
　　在表示论里面，有一个我至今没有见到明确出处的猜想（或者folklore）,说当量子
群的参数取值特定的单位根时，其有限维表示范畴,等价与前面说过的域特征为某个素数
时的李代数的表示范畴．

    除此之外，上述两个范畴还等价于仿射李代数的某类表示组成的范畴．
表示论里面有一个很特殊的对象，幂零锥（nilptent cone）,这个对象在代数群表示中很
重要．在２中我们提到的问题有一种方案就是通过和幂零锥相关的一些理论来提供一个解
释．

给定一个代数群，考虑相应的李代数，其中的全体幂零元构成了一个锥，它在共轭作用下
是不变的，所以可以考虑其上的共轭轨道．这些轨道，在代数群表示中占了重要地位．

下面我们要说的是，这个幂零锥从几何上来说是一个很坏的对象，其上的奇异性是相当厉
害的．但是神奇的是，我们有一个相当简单的消解（resolution）–Springer消解．
这样子给出了的消解的每一根纤维(fiber)称为Springer纤维．这个纤维的几何十分丰富
．

在前一篇中我们提到过一个猜想（或者folklore）,有一种方法就是使用Springer纤维作
为桥梁．在
　　　[ABG]　http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0304/0304173v3.pdf
中，给出了这样的一个证明．
　　　Rep(quantum)———-geometry of springer fiber——perv(Gr)
上面的关系写的很粗糙，具体的还是请看文章中的表述．
我们考虑一个简单的例子，考虑SL(2,C)，它是最简单的的复单李群，其李代数我们
记为sl(2,C)．其中幂零元就是行列式为０的矩阵，所有这样的元素组成的集合形成一个
锥－－幂零锥（nilpotent cone）.它是一个代数簇（Algebraic variety）.这个代数簇
不是光滑的．为了更好的得到直观景象，建议考虑一下相应的实图像．

　　考虑如下的簇
　　｛（b,x）| b \in B, x \in b｝包含于　B \times sl(2,C)
     其中B=P^{1}是相应于SL(2,C)的旗簇（Flag variety）.为sl(2,C)的borel子代数构
成的集合．同时也是所有C^{2}中的１维子空间组成的集合．
　　将前面的代数簇向第二个分量投影，考虑这个映射下，幂零锥的原象－－可以证明，
这个原象是旗簇的余切向量丛（cotangent bundle）.这样子我们得到了幂零锥的一个消
解(resolution).　
　　这个消解在０点的纤维是B=P^{1},在其他点的纤维是１一个点．也就是０点之外是同
胚．
　　对于一般的李代数，我们也可以类似的构造这样的消解，这种消解被称为springer
消解（springer resolution）.
　　　

　　在这个特殊的情况下，这个消解是和幂零锥在０点的blow up是一样的．但是在其他
情况下，两者就不相似了．

　　关于奇异性的消解，一个很值得注意的是，我们考虑一个向量丛E在某个空间X上，如
果假定存在一个向量丛F使得 E直和F是平凡从 X \times C^{n}，　考虑E向C^{n}的投影
，这样子得到一个映射．这个映射的象通常都是奇异的．在某些特定的情况下，这个映射
就是相应的奇异性的消解．比如blow up和我们这里介绍的Springer resolution.
都是这种情况．我不清楚是不是所有的奇异性都可以用这种手段进行消解．大致找了个说
法好像可以说明．但是我对这个不熟悉，纯属胡说．
Kazhdan Lusztig理论．
曾经以为这个名称专指一个，后来被一位师兄指正，说他们两个人做的理论不止一个．但
是我还是比较愿意用这个专指那个让我对表示论感兴趣的理论．

在李代数表示中，对于给定的支配整权(dominant integral weight),可以造出两个模，
一个是Verma模，我们记做V_{\lambda}，另外一个是不可约模,我们记做L_{\lambda}．

我们考虑一类李代数的表示，称为范畴O(是字母，不是数字)．具体定义我们这里不具体
说．我们需要的是这个范畴所具备的如下性质：
　　这个范畴的K-群有两组自然的基｛V_{\lambda}｝和{L_{\lambda}}．

一个自然的问题是考虑这两组基之间的变换关系．令:
            L_{\lambda}=\sum_{\mu} a_{\mu,\lambda} V_{\mu}
这里a_{\mu,\lambda}是常数．

Kazhdan-Lusztig给出了一个猜想，说这个常数是某个多项式的首项系数．在他们的文章

Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53 (1979)
, no. 2, 165–184.

中有详细表述．

这个猜想的最终解决方法是很神奇的事情，整个证明没有特别实质性的克服难度的过程．
进行了一系列等价的问题转化，最后使用了Deligne在证明Weil猜想中的某些结果解决问
题．这个过程在下Joseph bernstein的讲义Algebriac D-theory的最后一讲有简要叙述．
　　http://www.math.uchicago.edu/~arinkin/langlands/

个人认为这个证明，也许是现在比较热的几何表示论的最初出发点．

1990年Lusztig在ICM上的做了题目为＂Intersection cohomology methods in repr
esentation theory＂的一小时报告．从这以后，表示论里面就充斥着一个初看起来很混
乱的对象－－非正当层（perverse sheaves）.根据某个八卦里面传说，Grothendieck曾
经感慨，怎么能够起这样子的一个名字呢？

相交上同调（intersection cohomology）最初是Macpherson试图在有奇异性(singulari
ty)的空间上建立比较好的同调理论，使得满足最重要的Poincare对偶．一开始的构造完
全是纯粹拓扑的，从构造上看，我们可以真实的看出为什么叫做相交上同调：）．可以参
考：
    Intersection homology theory. Topology 19 (1980), no. 2, 135–162.
　
　　这样一个纯粹的拓扑的构造，经过Macpherson，Deligne, Bernstein, Beilinson,G
aber等人的发展，就产生了后来的非正当层．以如下的两篇文章为代表：
　　　Faisceaux pervers. (French) [Perverse sheaves] Analysis and topology on
 singular spaces, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Math. Fran
ce, Paris, 1982
　　　Intersection homology. II. Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77–129.
　　通常行内人士简称BBD(有一个八卦，说这篇文章其实是四个人，还有一个Gaber，但
是最后的那个不愿意署名)．
　　在这里，另外一个不得不提的八卦，据说现在Harvard的教授Gaitsgory还有另外几个
强悍的俄国人在高中的时候就读过这篇文章．．．各种无语．
　　根据不完全观察，现在，俄国出名的年轻数学家大多高中经历过数学竞赛，但是Gai
tsgory是竞赛成绩不突出的一个，据他自己被人采访的时候的说法，他不习惯做孤立的难
题 ：P ．
   　另外，俄国人的数学学校制度培养了不少牛人，比如Bezrukavnikov，根据他自己的
陈述：他的数学观点是高中参加数学学校的时候确立的．．．继续无语．
　　
　　回到非正当层，我们这里先大致树立一个观点：非正当层不是层(sheaves)．是一个
满足特定关系的层复形（Complex of sheaves）.

    注：非正当层是我直译，我不清楚正式的中文应该翻译成什么样子．
   
在现在的表示论中，基本的语言就是非正当层(perverse sheaves)，以及SGA4 1/2中
的一套关于层（sheaves）的理论．

　　我们这次主要说一说层的基本理论.在某种意义下，层的上同调是拓扑中的同调的推
广．好像很久以前在这个版面上的某个帖子中提到过．（此处省去xxx字）．

　　下面我们要说一下在｛sheaves/some topological space｝这个范畴上有的一套理论
框架－－函子公式．（six functor formula）
     令f为X到Y之间的连续映射，我们有如下的六个函子：
　　　f_{*},f_{!},f^{*} Hom( , ), \Otimes
    这里的五个都是比较常见的，第一个就是简单的推出(push forward),第二个是紧致
的推出（push forward with compact support）,第三个是第一个的左伴随(left adjoi
nt).这几个都是可以在普通的层范畴定义的，下面我们要说的是最后一个，通常不能够在
层范畴定义：
　　f^{!}.
    这个算子在某种意义上等价于Poincare对偶．通常我们想在一个比较新的框架下使用
这套形式的语言来进行推导的时候，难度通常都是在如何定义最后这个算子．
　　具体定义．．．我实在是不想写了，我入门的时候读的是，Dimca, Sheaves in top
ology. 以及　Massey: Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
    后面那个是电子版本：http://front.math.ucdavis.edu/math.AG/9908107
　　当然还有如下的文章也是比较好的介绍．
　　　　　　　http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0307349
　　这六个函子之间有一系列公式，上面的三篇文献中都有提到．而且我们这里很马虎的
一个地方是，其实这六个函子以及相应的一系列公式实际上在导出范畴定义(derived ca
tegory)的．我们以前没有提及过导出范畴，姑且就先这样吧．
　　
　　第一次读的时候，建议把所有的东西想像成光滑的．这个时候，我们不需要在导出范
畴上工作，你会发现，你所得到的就是最基本的拓扑的同调论中，你经常见到的结论．
　　
　　注１：这里六个函子其实也有人把 \Otimes, f^{!} 或者Hom中的一个用对偶函子来
代替．
　　
　　注２：如果我们有对偶函子，实际上它的作用就和Poincare对偶类似，但是在Sheav
es这个范畴，我们把这个对偶性叫做Verdier对偶．
　　
　　注３：在我们遇到一个新的范畴的时候，考虑一下建立这样子的六个函子，然后由此
来推出相应的性质是一个思考问题的模式．然后这六个函子的建立就依赖于具体的问题了
．

　　注４：作为注３的补充，我们需要指出的是，最直接的一个例子，是考虑代数几何的
概型以及其上的拟凝聚层（quai-coherent sheaves）,我们可以造出这样的六个函子／具
体的构造在Hartshorn: Residue and duality中有．

　　注５：作为注３的另外一个补充，另外一个例子就是考虑代数簇／char p的域上的l
-adic层，这样子也可以造出六个函子．具体的构造在:
   Reinhardt Kiehl: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l’Adic Fourier Tra
nsform
   中有．而且最后这个是现在大家用的比较多的一套理论．

　　注６：这个系列其实只是想简要说一下，我所了解的表示论现在是什么样子，以及提
供一些参考文献，介绍一下基本的知识储备是什么样子．让某些对几何表示论感兴趣的人
知道自己要学的东西大致是什么怎样的，以及该学些什么．而且我也不知道最后会写成什
么样子．因为有些符号太复杂，可能根本就不打算写了．
　　这里很多参考文献我自己并没有仔细的从头读过，通常只是找自己要的东西．并不建
议照着这里提到的文献完全读一遍．　　
　　而且以我自己问一些出名数学家的经验来说，其实他们也说自己真正仔细读过的东西
不多．比如我一直以为Bezrukavnikov读过所有SGA,但实际情况是，他只读过SGA 4 1/２
．其他的东西都是以后在需要的过程中学习的．
　　以我的经验而言，以前某老师告诫过我，数学不同的领域是相通的，当你某个领域深
度达到了，了解其他的领域的结果的时候就是比较容易的事情，现在我深以为然．
补注：　　
Victor Ginzburg:   I work mostly in geometric representation theory and in n
oncommutative geometry.

Geometric representation theory tries to apply the methods of algebraic geom
etry for studying representations of various algebras important from the rep
resentation theoretic perspective. Typical examples include:

1. Classification of irreducible representations of Hecke algebras (Deligne-
Langlands-Lusztig conjecture) in terms of K-theory and perverse sheaves;

2. Applications of D-modules and perverse sheaves to representations of comp
lex or real reductive groups and to semisimple Lie algebras (Kazhdan-Lusztig
 conjecture);

3. The study of integrable representations of quantum groups using the geome
try of quiver varieties (Nakajima);

4. Geometric Langlands program.

To get more details I suggest to look at the Intro in our book: Chriss-Ginzb
urg, Representation Theory and Complex Geometry (Birkhauser Boston, 1997), o
r at my survey article Geometric Methods in Representation Theory of Hecke A
lgebras and Quantum Groups.

During the last 5-10 years, I’ve also got interested in what may be called n
oncommutative geometry. This subject is rather vaguely defined. Some of the
inspiration comes from the theory of quivers (I teach a course on quivers qu
ite frequently). For a good survey you may look at the lectures by Crawley-B
oevey. Another source of inspiration comes from Mirror symmetry and, more ge
nerally, from the mathematics appearing in string theory. To get a rough ide
a of what I mean, you may want to look at the following papers:

# V. Ginzburg, Lectures on Noncommutative Geometry

# V. Ginzburg, Non-commutative Symplectic Geometry, Quiver varieties, and Op
erads, Math. Res. Lett. 8 (2001), no. 3, 377-400

# P. Etingof, V. Ginzburg, Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser sp
ace, and deformed Harish-Chandra homomorphism, Invent. Math. 147 (2002), no.
 2, 243-348

I have 7 graduate students at the moment; all of them choose their own favor
ite topic for research, not necessarily directly related to what I’m doing m
yself. However, I do have joint projects with some of my students.
 

论英雄,所依唯一标准自然是他的 achievement, creativity, originality,influence,
而不是一些道听途说之anecdotes.以下所说以此为标准。并且最好先立一个benchmark，免得纠缠不清，李四说Gauss是英雄，而张三说摘星子是英雄，所论根本不是一回事。

至于这个benchmark，就拿已去世的Andre Weil为标准吧，我想没人会对此有何异议.
想在二十世纪中找一个在数学中成就影响影响盖过他的，那是难上加难了。

Weil最脍炙人口的成就是在数论和代数几何，那就先一看一下这两个领域中的还活着的英雄。

Grothendieck 自然是一大英雄, 虽然他的死活无人知晓，但就他的年龄来说，就假设他还活着吧。说他是英雄，我想无人对此有何异议。下面说得是另外一个很多人认为是英雄的人,这就是Pierre Deligne. 我实在感到很奇怪，为什末这末多人对他这末推崇。 他自然是一流的数学家，但离英雄还差得远（请注意我们讨论的标准）。他只不过是一个解题高手罢了，他当然懂得很多，但这跟 originality, creativity 和 achievement 是两码事。

下面我们就把他的拿得出手的成就逐个来看一下。

他最大的成就自然是Weil Conjecture. 当然是了不起的成就，但一大半是
Grothendieck的功劳。当Grothendienck把代数几何重写（motivation是WeilConjecture)，到那个时候WeilConjecture的解决
水到渠成， Deligne只不过是一个techinician罢了。 如果Grothendieck没有退出数学界（Deligne解决Weil Conjecture
时，Grothendieck早已离开数学），Deligne恐怕连这点功劳都捞不到。Grothendieck建立了整个大厦，Deligne只不过加了
最后一块砖罢了。

他的其他的工作有的跟人和写（包括 Lusztig, Serre, etc), 当然还有一些独立的工作，但都谈不上什末很大的成就（以英雄的标准）。

In summary, 他没有作出什莫很original 的工作从而独创或者从根本上影响一个研究方向。还有，他也存在一个plagiarism的问题。对此，
Grothendieck 在他的自传体长篇巨著（Recoltes et Semailles)有所提及， 有部分英文翻译，你要看全书的话要懂法语了。

当我看到他把 Saavedra Rivano(Grothendieck的另一个学生）关于Tannakian Category 和Motif的工作修饰一下在SGA上重新发表，
真是感到不齿。在这儿顺便提一下另外两个：A. Wiles和G. Faltings, 此两人在数学上的成就和影响来说，要超过P.Deligne，至少他们
的成就除了结决了一个重大问题，还或多或少影响了一个研究方向，如Faltings在 Calculus on Arithmetic Surface以及Crystalline Cohomolody,
Wiles在Galois Representation。即使是Kolyvagin，虽然没有完全解决什莫很大的问题(部分解决BSD猜想），其成就也要超过Deligne,Kolyvagin创造的Euler System是极其漂亮的一套理论， 解决了很多问题。Deligne有身末理论是自己的？我想之所以很多人对他这末推崇，很大程度上是人云亦云罢了，完全是盲目推崇。再加上很多访问IAS的一些junior postdoc动不动就在自己文章里加上一句 thanks talking with Deligne, 从而把这种倾向更加夸大。

至于摘星子在文章说及的MacPherson的事情，纯粹是胡说八道，只可当成趣谈一笑罢了。
另一位大英雄是Langlands。很多人对他的了解可能没有对Grothendienck那末清楚。他同Grothendieck一样，完全独自开创了一个领域，从而给一大群数学工作者提供了饭碗，他们对数学的影响横跨几乎所有领域，使那种完全original, creative的工作，岂是Deligne辈所能望其项背。

Stein又怎能跟他们相比？他只不过在纯粹分析领域有所贡献，对其他分支几乎没有什末影响。至于Terence Tao, 他的工作（optimal restriction theorems，wave map equation ，existence theorems for KdV type equations以及跟人合作的Horn’s 猜想）对分析领域的影响极其有限，更不要说对其他学科了。虽然他肯定要拿下届的Fields奖，只不过让人慨叹这Fields奖真如母鸡下蛋，一个不如一个。现在有些人也是对其极其推崇，简直是可笑之极。当然我知道人都是需要一些英雄来鞭策自己的，只是你要找一些真正的英雄来。

还有另外一个Gromov,也是很多人对其极其推崇，也是盲目崇拜罢了。试问他的工作开创了什末领域和重大影响？（他的主要工作在symplectic topology和hyberbolic group).虽然他得了Wolf Prize, so what? Piateskki Shapiro（主要工作在Automorphicxxxxs)也得了,但他的工作跟Langlands相比差得太远了，只是一个technician on integral representation罢了。

当然刚才所提几个在下看来非英雄的人物的数学成就也远非我辈所能达到， 只不过就像我说的，如果你要找什末英雄来崇拜，那就找一些真正的英雄，不要找一些四不象。

最近围绕丘成桐闹得很凶，我们也可以来评价一下丘成桐的成就。 根据以上标准，丘成桐是一位英雄，虽然他的成就可能还达不到Grothendieck和Langlands的地步，但跟上面提及到的其他人相比是远远超出的，谈及对数学影响及成就，Deligne和Gromov怎能跟Yau相比，根本就不是一个层次。Yau不仅仅解决了一些重大猜想，他的开创性以及对其他领域的影响怎末是上面那些人（两人除外）所能比的？