不老歌 甜歌皇后――华语歌坛最美的人(传奇之一)

甜歌在流行音乐中被称作爱情小调,从30年代的旧上海,这种爱情小调,就开始流传,同时也出现了大批的优秀的歌手,她们的歌影响了一代代人。但是,虽然同属于甜歌流派,由于各自的嗓音不同,所以即使对同一首歌的演绎,也给人别样的感觉。另外这些歌手有的曲风多样,对语言的掌握也很全面,各种风格的歌曲都能很好的演绎出来,但是她们也有共同的特点,就在于对甜歌的演唱,每个人都用自己的方式把爱情小调,演绎到了极致。可谓是甜歌史上的标志。

 

  邓丽君

  在歌坛有这样一道风景,一位身着中国标志服装旗袍的女子面带笑容在各地演唱。不论是在台湾还是香港,不论是在日本还是东南亚,她脸上一直挂着像她歌声一样甜美的笑容,她就是邓丽君。单论脸蛋,甜而不腻,娇俏嫩滑,完美无瑕,也无愧“甜歌皇后”。细看邓丽君的演唱会,你会发现她的笑容一直挂在脸上,微笑着演唱,微笑着和歌迷说话打招呼,她的笑不是装出来的,是发自内心的。因此人们记住了她的笑,更记住了邓丽君和她的歌。她用她的笑和她自身的魅力征服了人们。

  李玲玉

  李玲玉也许就是为甜歌而生的歌手。因为甜歌李玲玉在80年代迅速走红,从87年到91年出了多张个人专辑,每张的销量都很好,也使李玲玉稳坐大陆甜歌皇后的宝座。连续三年登台春节晚会,可见她当时在大陆歌坛的地位。但是92年后李玲玉签约大地,转变风格,由甜妹子转型为都市女性,留给人们的甜美形象没有了,而她最卖力的专辑《女人心绪》并没有得到歌迷和市场的肯定,随着李玲玉转型,从此杨玉莹做上了甜歌皇后这个空位,李玲玉的转型第二张专辑《我心依然》也停止制作,随后淡然出国。她可谓因甜歌而生,因甜歌而去。但是十年后李玲玉再次带着她甜歌《美人吟》再次出现,希望她还可以依旧灿烂。

  林翠萍

  第一眼看林翠萍的照片,给我的感觉是娇小可爱,听她的歌会觉得像一杯陈年的酒,你得会品其中的滋味,他没有邓丽君的温柔深情,也没有李玲玉的甜美娇艳,但是她用自己略带沧桑的声音唱出了属于自己风格的甜歌。她的甜歌在这几个歌手里并不算多,但是都很经典,正如彩虹一样美丽,她过早的息声歌坛便再无消息,也正如彩虹一样短暂,令人难忘。

  韩宝仪

  韩宝仪的声音给人一种很纯很清的感觉,嗓音绝对是人间极品,甜润无比,带点童声,仿佛仙乐不染尘污。她的《粉红色的回忆》、《你潇洒我漂亮》曾经响彻中国大地。《留不住斜阳》唱出了多少人的无奈;《舞女泪》唱出了舞女的心酸;《我心若玫瑰》唱出了多少对爱情的期待;还记得她有一首冷门歌曲《相思的滋味》,真能把人唱到浑身酥软。当今这个物欲横流的世界上,听听韩宝仪的歌声,你会感受到现实中没有的多情。

  林玉英

  林玉英,从表面上看,我绝对想象不到她有那么好的嗓音。林玉英的台语歌和国语歌都唱的很好,她的山地情歌尤其令人喜欢。早前她留给歌迷对《点燃一跟烟》《夜空》《小雨》等美好旋律的回味,淡出歌坛。歌迷也只能在她老歌里去回味她。正应那句离别却是为了相聚。2004年她结束与旧东家的合约,加入豪记旗下,推出了新专辑《女人心.想厝的人》,同时拍摄了《小雨》的MTV令无数喜欢她的歌迷为之兴奋。但是专辑发行后她又消失在歌迷的视线,没有大肆的宣传张扬,只是平淡的归去。也许又在准备下一个惊喜,不要忘了离别却是为了相聚,愿她有更好的作品献给喜欢她的歌迷。

  龙飘飘

  龙飘飘并不漂亮,但是有很多人喜欢她,喜欢她的歌重剑无锋,大巧不工,所以真正的高手不会让你看到她外表的华丽。她是甜歌皇后里甜度最低者,她的卡带几乎统称为《龙腔雅韵》,相貌平平但是充满了气质,嗓音浑厚有力,其质感与爆发力,摇滚也来得,偏偏一辈子在小调中厮混,正因如此,那种独特韵味也无人取代,独步江湖;她虽然在歌坛有很高的地位,但是她并不霸道,她用她独特的龙腔在保证质量的前提下给龙迷们带来一曲曲好听的歌曲,让我们看到一个歌坛常青树的大气行为。

  高胜美

  一个歌手出道20年才首开个唱,而且一唱就是40首,这不叫狂妄,这叫实力,有实力才有魅力,她就是高胜美,她的歌声中带有山地的味道,给人一种野性的美。从《青青河边草》《千年等一回》到《刻骨铭心》她给我们带来了数不尽的好歌,她几乎一直停留在我们的视线,不曾离去,走过20年。正是她那魅力的歌声和自信使她依然走在今天的流行乐坛。

some intersting sites

http://zhbssn.bokee.com/1226042.html

http://zzwen.bokee.com/1239526.html

http://community.studyez.com/

http://www.ifstar.net/bbs/

几个经典的数学资源下载网站(ZZ)

http://www.numdam.org
这个是法文的网站,可以下载大量的法文文章,甚至包括Poincare等一流数学家的文章。
http://arxiv.org
美国洛斯阿拉莫斯核物理实验室的论文预印本服务器,全世界物理学研究者最重要的交流工具,覆盖几乎全部的物理学,大部分计算机科学和一部分数学。不过现在数学覆盖面也很广了,Perelman的那三篇著名文章就在这里!
ftp://202.38.70.51
中科大的ftp。里面有大量的数学书籍下载。甚至包括高斯全集和SGA。
http://www.ams.org
这是美国数学会网站,不用我说了吧!
http://historical.library.cornell.edu/math/index.html
Cornell大学历史书籍图书馆,里面可以免费下载自古至今数百位数学家的著作。
http://www.sub.uni-goettingen.de/gdz
Goettingen大学的,大量数学杂志,包括高斯全集。
http://lib.mexmat.ru
这个得俄文好的才能进入哦!
http://en.wikipedia.org/wiki/
这个不用我说,只管去上就好了!
http://www.mathunion.org/
地球人都知道,国际数学联盟!
http://www.grothendieckcircle.org/

代数几何学习经验(ZZ)

古典代数几何起源于19世纪末,20世纪初得到充分的发展。这篇帖子没有借助任何参考书目,仅仅是我头脑中的记忆堆积出来的,因此,如果有不同理解,或者我讲错了,请见谅。因为我忘了很多了。
古典代数几何的发展主要是仿射簇和投射簇的研究,以及后来渐渐发展的代数簇。直到现在,代数簇理论仍然是非常有用的方法,所以喜欢代数几何的不要盲目的崇尚现代代数几何理论,因为概型的直观性要大大少于代数簇。
最先引起我们注意的是仿射簇(affine variety),用几何的语言叙述,那是affine space An里面由一些代数方程的公共零点集(zero locus set)。因此我们考虑An上的代数方程构成的多项式环k[x1,..xn]及其理想,容易定义V:{I/I为理想}->An 为公共零点集, I:An->{I/I为理想} 为生成理想。 (k为代数闭域!)
我们得到的第一个重要理论是nullstellensatz定理(零点定理):I(V(I))=rad(I) (即I取radical)这个使得我们将理想和代数集一一对应。另一个较弱的形式是说对于任何极大理想m,k[V]/m总是k的代数扩域,由于我们已经假设k是代数闭的,因此k[V]/m同构于k,所以任何仿射簇V,k[V]总是k和m的直和(作为k模),这是我们研究局部性质的基础。
我们不能总是将V作为嵌入在放射空间的子集来看待,我们需要更本质更内蕴的方法。(我认为这是很重要的数学思想,寻找内蕴的性质)现在大部分参考书采用的方法是给与一个structure sheaf来定义。于是,我们说一个affine variety,总是指一个ringed space(具有层结构的拓扑空间)。通过一系列形式推导(具体看任何一本参考书),我们得到了一个很漂亮的最基本的定理:
affine variety范畴反变(contravariant)等价于affine k-algebra范畴。
范畴等价意味着我们可以抛开几何,只看代数范畴,可以弄清全部具有范畴性质的几何结构(比如product,coproduct,zariski拓扑结构,维度等)特别的,我们观察monic和epic可以发现,代数簇间一个象稠密的映射是epic,对应一个单代数同态,同样,代数簇间一个open immersion是monic,对应一个满代数同态。
更广泛的,我们不仅考虑投射簇,考虑更一般的代数簇,使得投射簇作为它的特例。我们定义:一个代数簇就是一个T0 ringed space,在每一点拥有一个开集ringed isomorphic to an affine variety.这个定义显然包含了投影簇,于是我们利用类似的方法可以得到大量投影簇的性质和定理。
最后,我想说的是,通过古典代数几何的发展,我们第一次得到代数和几何的紧密交融,几乎全部交换代数定理都有明显的几何意义,比如noether正规化定理意味着任何不可约仿射簇能够满射到同等维度的放射空间,going-up,going-down定理,zariski主要定理(都是重要的定理)的几何解释也是明显的。不停的交换“代数和几何的观点”有助于融合它们,因为它们基本上是交汇的。
借用eisenbud交换代数书的开篇语作为结束:algebra is written geometry, geometry is drawn algebra. (本人水平有限,请不要过于苛责,哈。)

强烈推荐一本
[Iversen]的cohomology of sheaves
非常强悍的工具,其他书里很多大定理可以象切豆腐一样搞定。
看完后能够让你手中的剑变得锋利无比。
这个帖子已被 huzhengyu 于 2006年11月09日 16时56分 编辑

  概型,层论和平展上同调

同古典代数几何帖子一样,这也是我个人的记忆堆积出来的,我尽量写的更好一点,如果有错误和偏见,望见谅,这只是属于我自己个人的一篇短文。
在grothendieck创造scheme之前,sheaf theory已经有了巨大的进步,sheaf cohomology被完好的定义出来。这对于上同调理论是一个巨大的进步,和之前的de rham cohomology, cech cohomology, cellular cohomology, singular cohomology可以被极好的统一在sheaf里面,特别的,任给一个sheaf能够构造一个cohomology,这使得上同调变得象函数一样重要且可构造。构造上同调已经成为一种数学思维,如algebraic K-theory等。
简单说一下定义,对于C,D两个范畴,定义presheaf范畴为D^C^op,就是C^op到D的函子范畴(functor category)。进一步,我们定义sheaf范畴。设C为grothendieck site(具有grothendieck topology的范畴),则sheaf cat为presheaf cat的一个fully faithful subcat。其中的object满足0->F(U)->productF(Ui)-> productF(Ui fibre product(U)Uj)->0是正合的,当Ui是U一个covering。
在这里我们假设C是拓扑空间U的开集范畴,D是模范畴。
构造sheaf cohomology的关键一步:derived functor是什么?认识到最重要的一点是:sheaf exact是一个局部性质,而presheaf exact要更强,具有整体性质。所以对于一个sheaf I,我们构造一列injective sheaf sequence:
0 ->I->I1->…
(细心的人会发现,这其中需要定理enough injectives)
然而,0->I(U)->I1(U)..不是exact的,因此我们就有了cohomology。

接下来,scheme的出现带来了层论的活跃,也把代数几何推到了新的高度。然而,grothendieck发现了尴尬的情况:
grothendieck theorem:scheme的coherent sheaf cohomology全部为0。
coherent sheaf是一种很好的sheaf,在affine的情形下,它相当于structure sheaf F和关于模M的constant sheaf(细心的人会发现这只能定义在irreducible space上)的一个张量积。

这说明了什么?很明显,这是zariski topology的不足造成的。因为这个拓扑太粗了。我们需要更精细的结构。一项浩大的工程被激发起来了,把sheaf定义到一个范畴上(我们前面已经这么做了,然而在那个年代还没有),并且从一个概型上诱导出一个grothendieck site,在此之上我们就得到了一种上同调,它被称为etale cohomology(平展上同调)。

这个名字的来源是grothendieck形容自己做数学的方式就像漫升的海洋,etale在法文中有缓慢涨潮的意思。他说,海洋的前进无声无息,好象什么事情都没有发生,什么都没有被打搅,海水是如此之远人们几乎听不到它。但结果它却包围了最顽固的物体,其渐渐变成了半岛,然后是岛屿,然后是小岛,最终被淹没了,就好象被无边无际伸展的大洋溶解了一样。这种形式化的思维正是他能够统治代数几何领域近12年的原因,并且在这之后,抽象化和形式化的浪潮越来越大。

上同调的计算是评价一个上同调的核心内容,在复代数几何的情况下,平展同调具有和作为复流形的同调相关性,特别的etale fundamental group和complex manifold fundamental group具有称为completion的一种关系。详细的内容可以看[milne]的网上讲义。

最后,给朋友们推荐两本书:
希望了解层论和上同调的,
[Iversen] cohomology of sheaves 是一本优秀的“层论使用手册”
希望了解抽象概型理论的,
[Hartchorne] algebraic geometry (chapter 2,3)
(基础不够的咨询 [shafarevich] basic algebraic geometry 2)

同调代数 范畴论 交换代数 然后就可以找本简单的来看了
看这些肯定是很花时间的 没办法
最快路径:
同调代数 GTM4 前10章
范畴论 GTM5 前8章
交换代数 Atiyah Macdonald 全
然后看 harris写的 GTM133 和shafarevich

我暂时想不出更快的 如果那些书看不懂 就找些基础书 另外一点点流形论 代数拓扑 谱序列和黎曼曲面也是必要的 至少要知道定义 单值化定理 kunneth formula ,fiber product
另外,懂一点点示性类会让你读代数几何的例子更轻松点

怎样学习代数几何?(初级)

代数几何作为现代数学的核心分支,囊括了数论,复几何,流形,交换代数,同调,代数拓扑,谱序列等数学分支,几乎无所不包(universal),为了学习并精通这门课程,3-6年是必要的。因此这是一个艰苦的过程,但是通过一定量的练习,有一定数学基础的人还是能够学习的。

初级阶段:
需要交换代数和同调代数的基础([AM] [HS]等读完各一本),有一些书籍是入门的,在这里 我强烈的推荐
[Harris]1992 Algebraic Geometry:A First Course
非常通俗的一本书,例子很多,如果没有足够的基础,不要随便跨越阶段!
另外,由于该书的理论较少,下面一本书可以做为补充
[Shafarevich] Basic Algebraic Geometry 非常容易阅读的书 内容主要是古典代数几何的内容,另外,网上有[Gathman]的讲义,名字忘了,也是讲古典代数几何的。
接下来,我们用一些更现代的的语言。
[milne] Algebraic Geometry 网上的讲义,简洁并且容易阅读,需要一些较好的交换代数和域论,Galois theory(如[milne]的网上讲义)的知识
[Mumford] The Red Book 初级阶段的最后一本代数几何教程
另外 为了中期的准备 代数拓扑(如[Hatcher][Rotman][Fulton][May],四选一,最后一本需要很好的同调代数和范畴论,如GTM5[MacLane],才能够阅读)
示性类也是必要的,这里非常推荐[Milnor]的经典教材Characteristic Classes,还有[Hatcher]的网上讲义。重点要看陈类。

这里我建议把所有列的书看完,因为这是很必要的。最好能把所有习题做完。另外,我尽可能的列网上的讲义是因为他们对所有人免费,并且持续更新,错误较少。
好了,喜欢代数几何的朋友们,开始学习把,如果基础不够的别忘了先补交换代数和同调代数啊。
中级教程的帖子很快我会写出来。

交换代数:针对代数几何的学习路径

交换代数的两个主要的动机是代数几何和代数数论。我先发一篇针对代数几何的。事实上,代数几何现在已经包含代数数论的绝大多数内容。
[Atiyah&McDonald] An Introduction to Commutative Algebra 入门 最常用的文献 集中的下面那些讲义最主要的东西,习题非常多
[Bourbarki] 法文的名字 忘记了 也很不错 内容翔实 60,70年代的大作
[Eisenbud] Commutative Algebra:A view toward algebraic geometry 特点是很多讲构造的动机,是为了和[Hartshorne](1977)的代数几何配套。
[Matsumura] Commutative Algebra中等水平的教材 长度适中 又很好的几何化
[Matsumura] Local Ring Theory 需要[AM]作为基础
[Nagata] Local Rings 简洁 但比较难读
[Serre] Local Algebra 简单的入门书 重点是同调方法
建议是如果学代数几何最好都看看,不学的话第一本看完也差不多了。

利用同调对于证明The Jacobian Conjecture的想法

我自己有一个很有趣的想法,就是利用上同调的工具来证明The Jacobian Conjecture,其中核心的想法是构筑所谓的topoids groupoids homotopy of topoids等 另外还涉及category和representable functor。有兴趣的朋友可以来交流
需要阅读的材料除了猜想本身的文献,还有:
EGA1(elements de geometrie algebrique) SGA1 SGA4(seminaire de geometrie algebrique) 和[hartshorne]的二,三章 [milne] etale cohomology
如果大家讨论成功的话,我们共同以笔名发表

一个新课题:同伦代数

同调代数无与伦比的成功促使Quillen思考另一类代数拓扑的重要结构:同伦论。一维同伦群我们知道就是所谓的基本群,是一个非常好的量。为什么好呢?
1functorial
2geometric intuition
详细的见论坛另一篇贴 我的数学方法,这两个条件决定了基本群函子pi是性质非常好的构造,但是不够强,因此我们考虑同调论,同调的直观性要弱很多。
还有一类构造称为高维同伦群,现在对这个的研究比较艰难,这也是促进同伦代数发展的一个动机。
但是同伦代数的难度远远大于同调,因为同调结构是天生有很多代数的样子,可是同伦是拓扑结构,因此从范畴论的角度来考虑就相当难了。后来我们有了一个方法,cofibrant和fibrant(和我们今天学习的顺序相反,历史上是fibrant先出现的)结构。在这个结构上,Quillen构筑了同伦代数的雏形,这门学科沉寂达10多年,最近开始热门起来了,而且在K理论和多个代数结构中都体现出威力。
不过和它的初衷不同,同伦代数在代数几何中的应用已经远远超过代数拓扑本身了。不过在我看来这是个好现象,进一步现实了现代数学的语言是有可能统一的,尽管需要时间。
好了,介绍就到这里,打击有兴趣的快点去学把,感受那份继承Grothendieck的优美数学。

同调代数的入门途径

同调的方法自从代数拓扑中引进之后已经成为现代数学的核心方法,我介绍几本书供大家参考。
[Hilton&Stambach]A Course in Homological Algebra GTM4不错的入门书 重点是module范畴。
[Osbourn]Basic Homological Algebra GTM196喜欢代数几何的可以看这本 上手很快 并且后半部分是抽象同调理论
[Eilenberg]Homological Algebra 抽象同调代数 建立在Abelian Category上面的
[Iversen] Cohomology of Sheaves 层的上同调,一本使用手册,重点在应用,强烈推荐。
[Schapira] Categories and Homological Algebra 一本范畴和同调融合,从范畴观点看同调的小册子。
[Weibel] An Introduction to Homological Algebra 常用的参考书,最好应该看一遍的。
[Gelfrand] A Metheods in Homology 名字有点忘了 比较难的书 我没有看过不能评价
大家自己看吧,入门的话就GTM4比较好把,初等代数几何的话GTM196 如果是EGA等高难度的代数几何,Iversen的书是必要的,如果可能的话 最好能懂抽象的层(比如[Kashiwara&Schapira]Categories and Sheaves 06年4月的新书 难度稍大 内容过于抽象)

一个新课题:同伦代数

同调代数无与伦比的成功促使Quillen思考另一类代数拓扑的重要结构:同伦论。一维同伦群我们知道就是所谓的基本群,是一个非常好的量。为什么好呢?
1functorial
2geometric intuition
详细的见论坛另一篇贴 我的数学方法,这两个条件决定了基本群函子pi是性质非常好的构造,但是不够强,因此我们考虑同调论,同调的直观性要弱很多。
还有一类构造称为高维同伦群,现在对这个的研究比较艰难,这也是促进同伦代数发展的一个动机。
但是同伦代数的难度远远大于同调,因为同调结构是天生有很多代数的样子,可是同伦是拓扑结构,因此从范畴论的角度来考虑就相当难了。后来我们有了一个方法,cofibrant和fibrant(和我们今天学习的顺序相反,历史上是fibrant先出现的)结构。在这个结构上,Quillen构筑了同伦代数的雏形,这门学科沉寂达10多年,最近开始热门起来了,而且在K理论和多个代数结构中都体现出威力。
不过和它的初衷不同,同伦代数在代数几何中的应用已经远远超过代数拓扑本身了。不过在我看来这是个好现象,进一步现实了现代数学的语言是有可能统一的,尽管需要时间。
好了,介绍就到这里,打击有兴趣的快点去学把,感受那份继承Grothendieck的优美数学。

什么是同调?

同调homology
首先确定一个范畴C,假设我们需要构筑一类关于C的上同调群,令G为群范畴(或某个阿贝尔范畴,如模范畴等)
我们通过构筑一个入射(或投射,如果是构筑同调)正合列生成函子F:C->C[ch] 一个非正合函子S:C->G
I为C中一个物体.则通过函子F和S[ch] I-> {I->I1->I2->…}-> {G->G1->G2->..}  则H0(I)=im(i0)/ker(i1)… Hn(I)=im(in)/ker(in+1)
其中im_=ker(cok_)=cok(ker_)

接下来举个具体例子:拓扑空间层的上同调
令F为拓扑空间X上的一个层,S为F打到F(X)的函子,最后获得的上同调是容易看出的.
另外一提的是如果X是光滑流形M,F为光滑函数层,最后获得的上同调是De Rham cohomology(这就是从另一个角度解释微分几何的一个重要定理:de rham上同调与微分结构无关,只与拓扑结构相关)

同调的方法自从代数拓扑中引进之后已经成为现代数学的核心方法,我介绍几本书供大家参考。
[Hilton&Stambach]A Course in Homological Algebra GTM4不错的入门书 重点是module范畴。
[Osbourn]Basic Homological Algebra GTM196喜欢代数几何的可以看这本 上手很快 并且后半部分是抽象同调理论
[Eilenberg]Homological Algebra 抽象同调代数 建立在Abelian Category上面的
[Iversen] Cohomology of Sheaves 层的上同调,一本使用手册,重点在应用,强烈推荐。
[Schapira] Categories and Homological Algebra 一本范畴和同调融合,从范畴观点看同调的小册子。
[Weibel] An Introduction to Homological Algebra 常用的参考书,最好应该看一遍的。
[Gelfrand] A Metheods in Homology 名字有点忘了 比较难的书 我没有看过不能评价
大家根据自己需要看吧,入门的话我个人觉得GTM4比较好,初等代数几何的话GTM196(我有习题答案,自己做的) 如果是EGA等高难度的代数几何,Iversen的书可能是必要的,如果可能的话 最好能懂点抽象的层(比如[Kashiwara&Schapira]Categories and Sheaves 06年4月的新书 难度稍大 内容过于抽象 我根本没法看)
交换代数的两个主要的动机是代数几何和代数数论。我先发一篇针对代数几何的。事实上,代数几何现在已经包含代数数论的绝大多数内容。
[Atiyah&McDonald] An Introduction to Commutative Algebra 入门 最常用的文献 集中的下面那些讲义最主要的东西,习题非常多
[Bourbarki] 法文的名字 忘记了 也很不错 内容翔实 60,70年代的大作 不过我没有能力读法文书
[Eisenbud] Commutative Algebra:A view toward algebraic geometry 特点是很多讲构造的动机,是为了和[Hartshorne](1977)的代数几何配套。经常看了就忘的人(比如我)适合这本,因为几何背景较多。
[Matsumura] Commutative Algebra中等水平的教材 长度适中 又很好的几何化 我正在看
[Matsumura] commutative Ring Theory 需要[AM]作为基础
[Nagata] Local Rings 简洁 但比较难读 我没有能读懂
[Serre] Local Algebra 简单的入门书 重点是同调方法
建议是如果学代数几何最好都看看,除AM外可以不做习题。

[Atiyah&McDonald] 够了,把习题做70%左右,就去读Hartshorne.

[Bourbarki] Element de mathematique, Livre *, Algebre Commutative 如果没记错的话,这个是字典,不要读

[Eisenbud] 这本书太长了,适合用来查字典,其实学了一些基本的代数几何以后,这书可以用来算算例子

[Matsumura] Commutative Algebra 字典,读[Ha]时查下,不多微分那一带要读一些

[Matsumura] Commutative Ring Theory 好像名字是这个,这书太强了,读起来有自虐的感觉……

[Serre] Local Algebra Serre的书是用来享受的,太完美了

中文书可以参考的是李克正,虽说极度不适合作教材,但是读完[AM]之后可以从里面学一些更多的技术,比如depth, differential和一些同调方法

某个人的藏书(ZZ)

Zimmer, Ergodic theory and semisimple groups
Margulis, Discrete subgroups of semisimple Lie groups
Starkov, Dynamical systems on homogeneous spaces
Bekka, Mayer, Ergodic theory and topological dynamics of group actions on
homogeneous spaces
Handbooks of dynamical systems, Ch 1
Handbooks of dynamical systems, Ch 9, 11
Hochschild, The structure of Lie groups
Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representaions
Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces
Borel, Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and
representations of reductive groups
Hilton, A course in homological algebra
Cartan, Eilenberg, Homlogical algebra
Encyclopaedia, Lie groups and Lie algebras I, II, III
Rosenlicht
Waterhouse, Introduction to affine group schemes
Runde, Lectures on amenability
Ratner, I, II, III
Knapp, Lie group beyond an introduction
Knapp, Representation theory of semisimple groups
Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory
Onishchik, Lectures on real semisimple Lie algebras and their representations
Babillot, Feres, Zeghib, Rigidite, groupe fondamental et dynamique
Burger, Iozzi, Rigidity in dynamics and geometry
Morris, Ratner’s theorems on unipotent flows
Raghunathan, Discrete subgroups of Lie groups
Onishchik, Vinberg, Lie groups and algebraic groups
Borel, Introduction aux groupes arithmetiques
Humphreys, Arithmetic groups
Gantmacher, On the classification of real simple Lie groups
Gantmacher, Canonical representation of automorphisms of a complex
semi-simple Lie group
Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups
Hochschild, Basic theory of algebraic groups and Lie algebras
Springer, Linear algebric groups
Borel, Linear algebric groups
Humphreys, Linear algebric groups
Serre, Galois cohomology
Brin, Hasselblatt, Pesin, Modern dynamical systems and applications, Part I
Feres, Dynamical systems and semisimple groups: an introduction
Brocher, tom Dieck, Representations of compact Lie groups
Walters, An introduction to ergodic theory
Robert, A course in p-adic analysis
Serre, A course to arithmetic
Auslander, Flows on homogeneous spaces
Atiyah, Introduction to commutative algebra
Weil, Basic number theory
Miyake, Modular Forms
Iwaniec, Spectral methods of automorphic forms
Venkov, Spectral theory of automorphic functions
Iwaniec, Topics in classical automorphic forms
Moeglin, Waldspurger, Spectral decomposition and Eisenstein series
Cogdell, Lectures on automorphic L-functions
Land, Algebraic number theory
Ramakirshnan, Valenza, Fourier analysis on number fields
Bump, Automorphic forms and representations
Gelbart, Automorphic forms on adele groups
Borel, Automorphic forms on SL_2(R)
Platonov, Rapinchuk, Algebraic groups and number theory
Lubotzky, Discrete groups, expanding grhphs and invariant measures
Borel, Essays in the history of Lie groups and algebraic groups
Borel, Casselman, Automorphic formn, representations and L-functions, I, II
叶扬波,模形式与迹公式

Dani, Lie groups and ergidic theory
Dold, Lectures on algebraic topology
Davis, Kirk, Lecture notes in algebraic topology
Vick, Homotopy theory
Steenord, The topology of fiber bundles
Kobayashi, Transformation groups in Differential geometry
Milnor, Characteristic classes
Wells, Differential analysis on complex manifolds
Griffiths, Principles of algebraic geometry
Kobayashi, Foundations of differential geometry I, II
Nadkarni, Basic ergodic theory
Mackey, Ergodic theory and its significance for statistical mechanics and
probability theory
Varadarajan, Geometry of quantum theory
Borel, Collected papers, IV
Matsumura, Commutative ring theory
Mahammed, Some applications of topological K-theory
Karoubi, K-theory: an introduction
Bott, Lectures on K(X)
Hahn, O’Meara, The classical groups and K-theory
Mumford, Geometric invariant theory
Mumford, Algebraic geometry I: complex projective varieties
Jantzen, Neeb, Lie theory: Lie algebras and representations
Anker, Orsted, Lie theory: unitary representations and compactifications of
symmetric spaces
Jantzen, Representations of algebraic groups
Warner, Harmonic analysis on semi-simple Lie groups, I, II
Voskresenskii, Algebraic groups and their birational invariants
Tits, Sur certaines classes d’espaces homogenes de groupes de Lie
Doran, Varadarajan, The mathematical legacy of Harish-Chandra
Artin, Tate, Class Field Theory
Parshin, Shafarevich, Number theory I
Koch, Algebraic number theory
Lang, Number theory III
Serre, Lie groups and Lie algebras
Encyclopaedia, Topology I, II
Bourbaki, Lie groups and Lie algebras, Ch 1-9
Cohn, Measure theory
Foreman, Descriptive set theory and dynamical systems
Howe, Tan, Non-abelian harmonic analysis: applications of SL(2,R)
Mackey, Unitary group representations in physics, probability and number
theory
Mackey, The scope and history of commutative and noncommutative harmonic
analysis
Mackey, The theory of unitary group representations
Satake, Algebraic structures of symmetric domains
Taylor, Several complex variables with connections to algebraic geometry and
Lie groups
Hilgert, Positivity in Lie theory: open problems
Brown, Cohomology of groups
Bump, An introduction to the Langlands program
Husemoller, Fibre bunbles
Brown, Buildings
Ronan, Lectures on buildings
Garrent, Buildings and classical groups
Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups
Wallach, Harmonic analysis on homogeneous spaces
Folland, A course in abstract harmonic analysis
Cohn, A classical invitation to algebraic numbers and class fields
Gelfand, Representation theory and automorphic forms
Mimura, Toda, Topology of Lie groups, I and II
Bruhat-Tits (2本)
Borel-Tits,
Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions
Mahler, p-adic numbers and their functions
Bachman, Introduction to p-adic numbers and valuation theory
Schikhof, Uitrametric calculus: an introduction to p-adic analysis
Dieudonne, A panorama of pure mathematics
Thurston, Three-dimensional geometry and topology
Ballmann, Gromov, Manifolds of nonpositive curvature
Allday, Puppe, Cohomological methods in transformation groups
Hsiang, Cohomology theory of topological transformation groups
tom Dieck, Transformation groups and representation theory
Bak, Current trends in transformation groups
Bredon, Introduction to compact transformation groups
Petrie, Transformation groups on manifolds
tom Dieck, Transformation groups
Kawakubo, The theory of transformation groups
Bauer, Probability theory and elements of measure theory
Shub, Global stability of dynamical systems
Barreira, Lyapunov exponents and smooth ergodic theory
Switzer, Algebraic topology
Spanier, Algebraic topology
Munkres, Algebraic topology
Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions
Bump, Lie groups
Guivarc’h, Ji, Taylor, Compactifications of symmetric spaces
Hewitt, Ross, Abstract harmonic analysis, I, II
Vogan, Unitary representations of reductive Lie groups
Vogan, Representations of real reductive Lie groups
Cassels, Local fields
Onishchik, Topology of Transitive transformation groups
Collingwood, McGovern, Nilpotent orbits in semisimple Lie algebras
Varadarajan, An introduction to harmonic analysis on semisimple Lie groups
Encyclopaedia, Invariant theory and algebraic transformation groups, I–IV
Hofmann, Morris, The structure of compact groups
Wallach, Real reductive groups, I, II
Matsumura, Commutative algebra
Knapp, Vogan, Cohomological induction and unitary representations
Adams, Lectures on Lie groups
Heyer, Probability measures on locally compact groups
Helgason, Groups and geometric analysis
Helgason, geometric analysi on symmetric spaces
Jacobson, Lie algebras
Harish-Chandra, Automorphic forms on semisimple Lie groups
Winter, The structure of fields
Mumford, The red book of varieties and schemes
Eisenbud, Commutative algebra
Fesenko, Vostokov, Local fields and their extensions
Eisenbud, Harris, The geometry of schemes
Kammeyer, Rudolph, Restricted orbit equivalence for actions of discrete
amenable groups
Kechris, Miller, Topics in orbit equivalence
Chevalley, Theorie des groupes de Lie, II, III
Chevalley, Classification des groupes algebriques semi-simples
Tits, Lectures on algebraic groups
Silberger, Introduction to harmonic analysis on reductive p-adic groups
Harish-Chandra, Harmonic analysis on reductive p-adic groups
Serre, Complex semisimple Lie algebras
Satake, Sugiura, Classification theory of semi-simple algebraic groups
Carter, Segal, Macdonald, Lectures on Lie groups and Lie algebras
Akhiezer, Lie group actions in complex analysis
Sally, Wallach, Representation theory and automorphic forms
Bailey, Knapp, Representation theory and automorphic forms
Demazure, Gabriel, Groupes algebriques, I(1,2)
Demazure, Gabriel, Introduction to algebraic geometry and algebraic groups
Nicholls, The ergodic theory of discrete groups
Parshin, Shafarevich, Algebraic geometry IV
Steinberg, Conjugacy classes in algebraic groups
Humphreys, Conjugacy classes in semisimple algebraic groups
Borel, Mostov, Algebraic groups and discontinuous subgroups
Neukirch, Algebraic number theory
Godement, Notes on Jacquet-Langlands’ theory
Kapovich, Hyperbolic manifolds and discrete groups
Cassels, Frohlich, Algebraic number theory
Weil, Adeles and algebraic groups
Hecke, Lectures on the theory of algebraic numbers
Borel, Semisimple groups and Riemannian symmetric spaces
Serre, Algebraic groups and class fields
Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry
Hirsch, Differential topology
Lang, Algebra
Serre, Local fields
Katok, Introduction to the modern theory of dynamical systems
Fuks, cohomology of infinite-dimensional Lie algebras
Encyclopaedia, Dynamical systems, ergodic theory, and applications
Preface of the Collected papers of Harish-Chandra
Knapp, Trapa, Representations of semisimple Lie groups
Akhiezer, Homogeneous complex manifolds (encyclopeadia)
Pollicott, Lectures on ergodic theory and Pesin theory on compact manifolds
Mane, Ergodic theory and differentiable dynamics
Hida, Elementary theory of L-functions and Eisenstein series
Seinnerton-Dyer, A brief guide to algebraic number theory
Hilgert, Lawson, Lie groups, convex cones, and semigroups
Hilgert, Neeb, Lie semigroups and their applications
Kirillov, Introduction to the theory of representations and noncommutative
harmonic analysis (encyclopeadia)
Eastwood, Sawon, The Borel-Weil theorem for complex projective space
Wallach, Induced representations of Lie algebras and a theorem of Borel-Weil
Bott, Homogeneous vector bundles
Letter form McMullen
Adams, Vector fields on spheres
Atiyah, K-theory
Bott, The stable homotopy of the classical groups
Howe, Discrete groups in geometry and analysis
Dixmier, Enveloping algebras
McMullen, Complex dynamics and renormalization
McMullen, Renormalization and 3-manifolds which fiber over the circle
Arthur, Simple algebras, base change, and the advanced theory of the trace
formula
Kirillov, Elements of the theory of representations
Hsiang, Lectures on Lie groups
Bott, Tu, Differential forms in algebraic topology
Hartshorne, Algebric geometry
Shafarevich, Basic algebraic geometry, I, II
村上信吾, 齐性流形引论
姜伯驹,同调论
项武义,李群讲义
伍洪熙,黎曼几何初步
伍洪熙,黎曼几何选讲
张恭庆,泛函分析讲义,上下
张筑生,微分拓扑讲义
方企勤,复变函数教程
严志达,实半单李代数

Borel, Topics in the homotopy theory of fiber bundles
Browder, Surgery on simply-connected manifolds
Eliashberg, Thurston, Confoliations
Coxeter, Regular complex polytopes
Coxeter, Regular polytopes
McMullen, Abstract regular polytopes
de Rham, Differentiable manifolds
Morrow, Kodaira, Complex manifolds
? Chapter 1, Principal fiber bundles and connections
? Chapter 11, Connections on fiber bundles
Atiyah, The geometry and physics of knots
Koszul, Fiber bundles and differential geometry
Griffiths, Topics in algebraic and analytic geometry
米尔诺, 莫尔斯理论
Matsumoto, An introduction to Morse theory
Chern, Complex manifolds without potential theory
Tian, Canonical metrics in Kahler geometry
Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory
Hempel, 3-manifolds
Kirby, The topology of 4-manifolds
Milnor, Lectures on the h-cobordism theory
Moore, Lectures on Seiberg-Witten invariants
Fulton, Introduction to intersection theory in algebraic geometry
Abbondandolo, Morse theory for Hamiltonian systems
Fulton, Introduction to toric varieties
Steenrod, Cohomology operations
EGA
SGA3
Bourbaki, Algebre commutative, Ch 1-10
Bourbaki, Varietes–differentielles et analytiques
Hsiang, Least action principle of crystal formation of dense packing type
and Kepler’s conjecture
Kifer, Ergodic theory of random transformations
Woodhouse, Geometric quantization
O’Neill, Semi-Riemannian geometry
Guillemin, Pollack, Diffenential topology
Encyclopaedia, General topology, I
Nagata, Modern dimension theory
Engelking, Dimension theory
Hurewicz, Wallman, Dimension theory
Morita, Geometry of differential forms
Morita, Geometry of characteristic classes
Arnol’d, Givental, Symplectic geometry
Lawson, Spin geometry
Zheng, Complex differential geometry
Neretin, Categories of symmetries and infinite-dimensional groups
Montgomery, Zippin, Topological transformation groups
Huckleberry, Infinite dimensional Kahler manifolds
Omori, Infinite dimensional Lie transformations groups
Ismagilov, Representations of infinite-dimensional groups
Conner, Floyd, The relation of Cobordism to K-theories
Snaith, Algebraic cobordism and K-theory
Hilton, General cohomology theory and K-theory
Krantz, Parks, A primer of real analytic functions
Kirillov, Lectures on the orbit method
Pukanszky, Characters of connected Lie groups
Corwin, Greenleaf, Representations of nilpotent Lie groups and their
applications
Shiota, Geometry of subanalytic and semianalytic sets
Dixon, Analytic pro-p groups
Bell, Complex manifolds
Fields, Several complex variables and complex manifolds, I, II
Fritzsche, From holomorphic functions to complex manifolds
Gunning, Introduction to holomorphic functions of several variables, I, II,
III
Gunning, Rossi, Analytic functions of several complex variables
Atiyah, Representation theory of Lie groups
Harris, Morrison, Moduli of curves
Weil, Foundations of algebraic geometry
Enock, Schwartz, Kac algebras and duality of locally compact groups
Kosinski, Differential manifolds
Wall, Surgery on compact manifolds
Novikov, Homotopical equivallent smooth manifolds, I
Ferry, Novikov conjectures, index theorems and rigidity, I, II
farrell, Surgical methods in rigidity
Adachi, Embeddings and immersions
Rourke, Sanderson, Introduction to piecewise-linear topology
Stong, Notes oon cobordism theory
Madsen, Milgram, The classifying spaces for surgery and cobordism of
manifolds
Kirby, Siebenmann, Foundational essays on topological manifolds, smoothings,
and triangulations
Hirsch, Smoothings of piecewise linear manifolds
Arbarello, Geometry of algebraic curves, I
Griffiths, Morgan, Rational homotopy theory and differential forms
Evens, The cohomology of groups
Gruenberg, Cohomological topics in group theory
Stammbach, Homology in group theory
Adem, Milgram, Cohomology of finite groups
Lang, Topics in cohomology of groups
Loday, Cyclic homology
Aguilar, Algebraic topology from a homotopical viewpoint
Arveson, Ten lectures on operator algebras
Tent, Tits buildings and the model theory of groups
Bosch, Non-archimedean analysis
Fresnel, Rigid analytic geometry and its applications
Neukirch, Cohomology of number fields
Lusztig, The discrete series of GL_n over a finite field
Jantzen, Neeb, Lie theory: Lie algebras and representations (桂处也有)
Knapp, Lie groups, Lie algebras, and cohomology
Jacobson, Basic algebras, I, II
Lojasiewicz, Introduction to complex analytic geometry
Chirka, Complex analytic sets
Hofer, Zehnder, Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics
Adams, Algebraic topology–a student’s guide
严加安, 测度论讲义
吕以?, 复解析动力系统
Griffiths,代数曲线
张筑生,数学分析新讲
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伍洪熙,紧黎曼曲面引论
Koszul, 辛几何引论
丘维声,高等代数
Armstrong, 基础拓扑学
姜礼尚,数学物理方程讲义
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丁同仁,常微分方程教程
汪仁宫,概率论引论
陈维桓,微分流形初步

Borel, Seminar on transformation groups
Procedings of the second conference on compact transformation groups, I, II
(LNM298,299)
Transformation groups Poznan 1985 (LNM1217)
Kawakubo, Transformation groups (LNM1375)
Kharazishvili, Transformation groups and invariant measures: set-theoretical
aspects
tom Dieck, Algebraic topology and transformation groups (LNM1361)
Schultz, Group actions on manifolds
Katz, Sarnak, Random matrices, Frobenius eigenvalues, and monodromy
Pedersen, C^*-algebras and their automorphism groups
Fillmore, Mingo, Operator algebras and their applications, I, II
Bhat, Elliott, Fillmore, Lectures on Operator theory
Davidson, C^*-algebras by example
Fillmore, A user’s guide to operator algebras
Wermer, Banach algebras and several complex variables
Zhu, An introduction to operator algebras
Sakai, Operator algebras in dynamical systems
Sunder, An invitation to von Neumann algebras
Dixmier, Von Neumann algebras
Dixmier, C^*-algebras
Blackadar, K-theory for operator algebras
Valette, Introduction to the Baum-Connes conjecture
Takesaki, Theory of operator algebras, I, II, III
Kadison, Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras, I, II
Kadison, Operator algebras and applications, I, II
Tomiyama, Invatation to C^*-algebras and topological dynamics
Fell, Representations of *-algebras, locally comopact groups, and Banach
*-algebraic bundles, I, II
D’Atri, Ziller, Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact
Lie groups
Kaneyuki, Homogeneous bounded domains and Siegel domains
Azencott, Wilson, Homogeneous manifolds with negative curvature, II
Howard, The kinematic formula in Riemannian homogeneous spaces
Hermann, Lie groups for physists
Jensen, Higher order contact of submanifolds of homogeneous spaces
Borel, Representations de groupes localement compacts
Robert, Introduction to the representation theory of compact and locally
compact groups
Tricerri, Vanhecke, homogeneous structure on Riemannian manifolds
Brezin, Harmonic analysis on compact solvmanifolds
Agranovskii, Invariant function spaces oon homogeneous manifolds of Lie
groups and applications
Connes, Noncommutative geometry
Arverson, An invitation to C^*-algebras
Grauert, Several complex variables
Halmos, Measure theory
Silverman, The arithmetic of elliptic curves
Harris, Algebraic geometry: a first course
Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms
Faraut, Analysis and geometry on complex homogeneous domains
Klingenberg, A course in differential geometry
Lusztig, Characters of reductive groups over a finite fields
tom Dieck, Transformation groups(桂也有)
Encyclopeadia, Geometry, I
McDuff, Salamon, Introduction to symplectic topology
Pressley, Segal, Loop groups
Selick, Introduction to homotopy theory
Tan, Zhu, Representations of real and p-adic groups
Beauville, Complex algebraic surfaces
Gromov, Partial differential relations
Berger, Riemannian geometry during the second half of the twentieth century
Guillemin, Symplectic fibrations and multiplicity diagrams
Guillemin, Symplectic techniques in physics
Karasev, Maslov, Nonlinear Poisson brackets: geometry and quantization
Mackenzie, Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry
Omori, Infinite-dimensional Lie groups
Taubes, Seiberg Witten and Gromov invariants for symplectic 4-manifolds
Polterovich, The geometry of the group of symplectic fiffeomorphism
Banyaga, The structure of classical diffeomorphism groups
Friedman, Morgan, Gauge theory and the topology of four-manifolds
Donaldson, Kronheiimer, The geometry of four-manifolds
Morgan, The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of
smooth four-manifolds
Joyce, Compact manifolds with special holonomy
Rolfsen, Knots and links
Milne, Algebraic groups and arithmetic groups
Lang, Introduction to algebraic and Abelian functions
Crowell, Introduction to Knot theory
Cohen, A course in simple-homotopy theory
Golubitsky, Stable mappings and their singularities
Massey, Algebraic topology: an introduction
Massey, Singular homology theory
Olver, Applications of Lie groups to differential equations
Sachs, Wu, General relativity for mathematicians
Beardon, The geometry of discrete groups
Das, The special theory of relativity: a mathematical exposition
Ebbinghaus, Numbers
Moise, Geometric topology in dimensional 2 and 3
Edwards, Galois theory
聂灵沼,丁石孙,代数学引论
尤承业,基础拓扑学讲义
曹锡华,群表示论
黎景辉,二阶矩阵群的表示与自守形式
张筑生,微分动力系统原理

我认识的七个理想主义者(ZZ from 吴舫 )

(一)桂漓江

  前两天听广播说,最近一期太阳风刚刚大规模爆发。我不知道这和最近天气如此变态的热有没有关系,反正我们作为世界上离太阳最近的人,热浪来临时一定会比常人受到更多的苦痛。每到这种时候,理教的空调教室总是人满为患。不过比起去年暑假,学校能毅然将理教开放,还是很值得掌声鼓励的。我想起百年校庆的时候,大礼堂落成不久,尚只允许所谓的党和国家领导人参观,而今里面已开始上演电影和话剧了。

  两个月前中芭在大礼堂演出,桂漓江兴致勃勃地邀我同看。我早想瞻仰礼堂里的豪华座椅,没及细想就草草答应。谁知在接下来的一个星期里,我竟因为此事陆续地受到亲朋好友的嘲讽。一般大家听说我要与人一起去看芭蕾,总是很自然地产生一些不太好的联想,然后兴致盎然地打探我那个同伴的生辰八字。等我报出桂漓江的大名,这关心却又马上转为揶揄。华明更是举出黄颉和国际著名美女tricky同去的事实来证明我这人是如何地缺乏情调。

  本来我没觉得和桂漓江一起看芭蕾有什么不妥,但人言可畏,最终我还是把票送了同学,以免遭流言侵袭。其实桂漓江除了长得粗放了一点,也没犯什么错。有谁规定过鲁智深不能看艺术体操么?我现在每每想起这件事,都还有点后悔,觉得辜负了他的一片美意。

  当然,桂漓江未免也太粗放了一点。举例说,我文曲星里的所有头像之中,数他的最为好画:只要先选出最大的脸盘,再添上最大的嘴和鼻子,进一步配上少许硬硬的短发就行了。再举例说,我不止一次见到他四面八叉仰躺在三教走廊的地板上吞云吐雾。

  我认识他是在去年的毕业书市上,那天他先我半步从一个研究生手里抢走一本李政道的《统计力学》。虽然我当机立断拍出天高转会费,他还是全然不为所动。我无奈说既然买卖做不成,那咱们交个朋友吧,他欣然应允。两分钟后他就从另一个摊上淘了本王竹溪的统计,说这书他已经有了,送给我当见面礼。我问,你的那本是第几版?他傻傻地问,难道这书还分版吗?我说当然,王竹溪的统计总共出过两版,你手里这本是小32开,所以是第二版。他哇哇大叫道,我的那本好像是第一版,这本我不给你了。我坚持说不行,你答应送给我了。他于是只好眼睁睁地看着我把书夺过,掸了掸灰,挑衅似地一点一点藏进包里。事后我听说他的那本果然是第一版,他确认后欲哭无泪,万念俱灰,连着好几天没吃饭呢。

  这以后我就经常在世界各地的书摊书市上碰到他。他和我一样,都是不折不扣的聚书癖,而且着重收集物理书。我的眼光比他敏锐,版本知识也远比他丰富,因此和他一块挑书从没吃过亏,甚至还能从他挑剩的书里拣出金子。但是我喜欢睡懒觉,加之信奉晚起的虫不被鸟吃,所以往往被他先下手为强。最恶劣的一次他抢在我前面从一个清华书商手里端了四百块钱的货。

  因为搜书的关系我们一天天越来越熟。我逐渐了解到他是江西人,家住庐山脚下。他小时候天资聪颖,十五岁上了当地的一所大学,主修电子,毕业后因为喜欢物理,只身来到北京,立志要考北大的研究生。这样算来他也不过只比我大两岁,可看起来却比我历练得多。有一段时间我们哥俩每天晚上等三教熄了灯都要一起蹲在农园小吃部外面的空地上大啃羊肉串,嚼到爽处他就会向我描述庐山风景如画,谈他上小学时如何恶作剧地把同桌女孩的辫子系在椅子背上,讲他和他老爹一起在江里钓了大鱼大卸八块分给左邻右舍。有几次他还给我展示他颈中挂着的一块贴身碧玉,那是他妈妈在他出远门前给他的护身符。我惊奇地发现他其实是个感情细腻的人,只不过这细腻在平时被他外表的大大咧咧掩盖了,而且似乎是被他有意地掩盖着。每当他眼看着自己的乡愁即将决堤,就会刻意地中止话题——哪怕是刚讲到最精彩的环节——挥着手里早已光秃秃的签子,大叫吃串,吃串。

  他在朗润园租了一间小屋,一个人住,倒也其乐无穷。那房子我去过一次,里面挤了一床一桌一柜一架,再挤个他,我就几乎进不去了。一开门墙上迎面一帖《兰亭集序》,吓我一跳。他很得意地说还有还有,说着就去撬桌子下头的柜门。好容易弄开,里面哗啦啦流出一泉 CD,大部分都是贝多芬。他把贝多芬刨开,胳膊捅进柜子,半天摸出一个大牛皮信封,打开的一刹那冒出浓郁的墨香。他展开里面一张皱巴巴的宣纸,介绍说,这是张旭的狂草,专门请人到碑林拓的。看了这些宝贝我才明白他为什么老在三教黑板上龙飞凤舞唐诗宋词。再看他的书架,物理书之外还有很多文艺,从《诗经选注》到《谈美》,应有尽有。床头散着一本破烂不堪四分五裂的《史记》,他不好意思地解释,前一天晚上睡觉时候翻了个身,早上起来就发现前一半在床底下了。灯后的墙上贴着几张活页纸,上面用钢笔写了很多自勉的话,故事大意是说只要我每天坚持艰苦奋斗,我的理想就一定能实现。我问他他的理想是什么,他回答说想当物理学家。一霎之间他的形象伴随着那陋室里的一切在我面前爆米花似地膨胀起来。

  自从去过他的小屋之后,我比以往更加认真地回答他的物理问题。他跟着我们上四大力学,上课听得很专心,但是因为以前的基础比较差,总还有很多东西弄不明白。老实说他问我的问题绝大多数都很弱,有的甚至很滑稽,我回答完之后他自己都会自嘲似地笑起来,好像是不明白自己为什么会问出这么弱的问题。后来他问我问题的频率日趋降低,我怀疑他是不愿在我面前暴露自己的弱智。我觉得我特别能体会他的这种心情,因为我问冉鹰问题的时候就总觉得自己是一个不折不扣的弱智。无论如何,他从没有丧失过自信,仍日复一日顽强地学着。上个学期学量子力学,就我观察他有很多基本概念混淆不清,果然他期中没有考好。考完试那两天他心情很不好,羊肉串也很少吃。终于他给我看他的一个活页本,上面潦草地写了一首诗,就是抒发他内心的郁闷。我跟他说不要气馁,一次考试没什么大不了,有什么话吃完串再说。听我说完他的脸色看起来变晴了不少。他大着嗓门在教室里旁若无人地问,今天该你请客了吧。我笑着回答一定一定,你小点声,心里知道已无大碍。又过了几天我偶然在他那个活页本上读到他写的量子力学半学期总结,开头写道,这次期中考试我没有考好,我觉得我前半个学期学得还不够扎实,接下来是一份详细的补救计划,一二三四有板有眼,简直就是一个理想主义者实现自己理想的过程。看到这份计划我对他的敬佩较之先前就又深了一层。

  但是在由衷的敬佩之余,我还曾为他感到一丝悲哀。坦率地说,我认为他不适合学物理。他完全可以做别的事情,并且可以做得很好,但他终于还是凭兴趣选择了物理。他自己也许认识不到自己的能力不够,我作为局外人却能看得很清楚。我进一步想到自己又何尝不是如此!也许冉鹰之类早就在圈外看得分明,出于怜悯不跟我说罢了。这个想法一度让我很难受,毕竟我怀疑自己的能力也不是一天两天了。有一天我忍不住给我女友讲了桂漓江的故事,并由此提到我的顾虑。她听罢安慰我说,过程才是最重要的,就算能力不足最后一无所获也没什么关系。我突然从心底涌出一种理解万岁的感觉。我意识到我对桂漓江的同情简直一点道理也没有,当初为他付出的悲哀随即烟消云散。沐浴在心上人鼓励的目光中,我想,我大概是在杞人忧天吧。

下面这个人的名字其实我已经记不大清楚,不过姓刘是肯定的。反正名字只不过一个符号,叫什么其实是无所谓的。

(二)刘进

  如果说桂漓江的失败还很有些悲壮的话,那么刘进的失败就是不折不扣的悲哀。

  我的这个想法,自从大一那年暑假与他首次不期而遇以来,就从来没有改变过。那天我没招谁没惹谁,在三教愉快地上着自习,忽然见到一个神态猥琐的青年,不打招呼,理所当然地进了教室,在黑板前站定,从容地卸下肩上发白的挎包,轻放在讲台上,对着下面成排的天然听众,鼓足真气,远远送出一句话:我叫刘进,耽误大家一点时间,给大家介绍一下我的数学发现……

  底下的注意力于是不约而同地被调动起来。我记不太清楚这后来他都说了些什么话,总之没过多久他就开始散发一些油印的资料。其中一张传到我手里,破破烂烂的篇子,挤满数学符号,一下子激发起我鉴赏的冲动。可我跟着推敲了没两分钟,就忍不住想要笑出声来,因为那上面大书特书的一种所谓“数字空间”的东东,说穿了就是一个复杂点的杨辉三角,小学就学过的玩艺。这么一个简单粗暴的把戏,居然被他用个硕大名词包装得金光闪闪,还煞有介事地拿到北大这样的科学殿堂来兜售,不沦为众人笑柄才怪。事实上我的前后左右绝大多数连看都没看就把那些数学公式丢在一旁,就向对付街头广告那样。面对这样的局面,刘进似乎并不在意,资料发完一圈,重回到前面,不慌不忙地说,我发的这些资料,大家如果感兴趣,可以花一块钱买下来。话音未落,教室里已是躁动一片。他见状赶忙解释说,别看印得很破,都是我自己花的钱,很不容易,大家买一份也算是对我的支持吧。下面的喧哗才渐渐平息。在我的印象里,那天他成功地回收了所有的资料。

  第二次见到他是在一年之后,新东方化学所的GRE教室里。上课前十分钟这位老朋友大模大样地坐到投影仪前面,对着麦克风,镇定自若地说,大家好,我是青年数学家刘进……台下学生已经差不多到齐,闻听此言顿时一阵嘘声。他竟分毫不受干扰,自顾自地拿起桌上备的水笔在投影仪上写写画画起来,边画边讲解,于是教室前方的大屏幕上接二连三地出现一个个扭曲的圆圈,里面填满阿拉伯数字。时值盛夏,满屋的GRE同仁早就背词背得烦燥,恰碰到这么一个不识趣的家伙不合时宜地谈什么“数字空间”,都觉得遇上一个黄金机会发泄心中的郁闷,随即嘘声四起,声震屋瓦。我真的很佩服刘进的定力,居然就能那么无动于衷地于四面楚歌之中把他的理论从二维推广到三维,再从三维推广到四维。正当他攒足勇气要向n维进军之时,忽然全场欢声雷动,原来是填空主讲陈圣元驾到。我恐怕陈圣元这辈子也没受过如此的拥戴,因为他完全是凭着本能兴奋地挥舞上半身向广大同学致敬,进一步诱使下面的掌声更加汹涌地爆发,全然没有意识到这慷慨的喝彩有多一半是在赶刘进走人。陈就这么被众人的掌声推搡着上了台。这时刘进终于有点认识到自己的尴尬了,呆呆地僵在台上。我正在想他有何妙计脱身,就见陈颇具姿态地伸出自己的小胖手,嘴里咕哝着你好你好,要和刘进亲热。刘进慌忙起身被动地和陈握了手,在众人哄笑声中仓皇逃离。

  虽然周围都在幸灾乐祸地议论着方才发生的一切,我却无论如何笑不出来。在我看来,刘进的无知已经到了一种让人悲哀的程度。好像一个无家可归的流浪汉,恭恭敬敬地举着一个分文不值的瓦罐,一本正经地逢人便讲这是他从某个孤坟荒冢里挖出的商朝军用水壶。陈圣元看到投影屏幕上的圆圈和数字,大概判断出刘进的演讲内容,很严肃地说,大家不要笑,我最敬佩数学家。接下来便给大家讲他小时候如何立志要当数学家,后来如何又放弃了。他说,数学家是应该得到社会尊重的。刚才那个人能到台上来讲数学说明他很有勇气,这种勇气是值得肯定的。慢慢地大家听着他的话就不笑了。我在新东方的诸多任课老师中一直不怎么喜欢陈圣元,我觉得他油滑,但是那次他说的话我十分支持。我也很尊敬数学家,所以刘进在台上现眼的时候我没有笑。他好歹说的是数学。就算他这个人很无知,看在他向社会宣扬数学的面子上,我想我也不应该笑话他。当然,实事求是地说,我认为出现刘进这样的人,无疑是社会的悲哀。

  记得我刚进北大的第一个月,在某次力学课上,听舒幼生老师讲“学而不思则罔,思而不学则殆”是学生们易犯的两个错误。当时他举了几个民间物理学家妄图推翻相对论的例子,作为“思而不学则殆”的教材。数学系的赵春来老师也讲,华罗庚先生生前有一个麻袋,专门用来盛这类“数学爱好者”们的精妙证明。我还看过一本Landau传,那书后面附了Landau的一些私人信件,其中有一篇是他写给一个民间物理学家的。大意说,我很愿意指引你进入物理学圣殿,但是物理并非你想象的那么简单,它建立在成千上万先辈的智慧之上,需要长期循序渐进的学习才能初窥门径……可以看出,你尚未掌握最基本的物理学研究方法,要指出你文章中的错误是很困难的,因为你从一开始就几乎没有对的地方……如果是在两年前,我也许会认为 Landau有失刻薄,但是现在我觉得他说得恰如其分,因为这两年我自己就在书店里读过几本这样的书。一本《旋转Lorentz力和力的统一》,试图用一个很简单的模型统一自然界中的四种力。且不说那个模型本身就很粗糙,单说书中居然只字不提八十年代以来的高能QCD实验,还谈什么力的统一!那个作者是学电子出身的。这里我没有任何瞧不起电子工程师的意思,我只是很难想象一个三十岁出头、学电子学到研究生的人,能同时掌握现代高能物理的必要知识,至少我没从书中看出该作者运用了任何一点量子场论的语言。还有一本批判相对论的书,那就真如Landau所言,从一开始就几乎没有对的地方。作者开篇即指明的 Einstein犯的一个“错误”,刚好暴露出作者本人连0/0型的极限都不知道的浅陋。思而不学则殆,果然无虚。刘进何尝不是如此?

  我没有钻研过刘进的文章,不敢妄评对错。但是我敢说,他的“数字空间”理论,即便是对的,在数学上也不会有很大的意义,不能算作一个重大的发现,更不值得他如此费力地推销。我知道他为了提高“数字空间”的知名度吃了很多苦,比如给饭店打下手,给人蹬三轮,但是这些苦吃得完全没有价值。刘进的悲哀就在于他认为他在做一件很有意义的事情!他有这个时间完全可以认真地学一点真正的数学。无可否认,他是一个理想主义者。他的理想就是坚持他的理论,希望得到大家的承认。但是这个理想不值得我们仿效。而且这几年他除了四处做广告,并没有什么新的工作,不由得让人怀疑他是不是想吃这个“数字空间”一辈子。如果真是这样的话,那他就连起码的科学精神都丧失了。

  今年春天我又一次在三教聆听到他的演说。这回他画的圆圈明显比一年前有进步,油印资料也比上次的清楚多了。那资料上面说,他发现数字空间的那个晚上,从学校图书馆出来的时候,觉得空气格外新鲜,立志要把它推广出去。看到这句话,我献给这位理想主义者的,刨却同情,就真的不剩什么了。

(三)钱江

  李敖先生说:“神话有两种。一种是神话,一种是国民党反攻大陆。”

  李敖先生一定不认识钱江。

  最近一次和钱江通信是在上学期,我向他询问有关申请Harvard的事宜。其时他刚到Harvard不久,正在做着高等量子力学的TA,收到我的求救,忙里偷闲,很快批示说,如果没有研究背景,申请Harvard会很难,美国佬不看GRE的。三言两语之间将我吓退。哼,我记得他在Stanford的时候可没有那么意气风发,还要四处求人写推荐信,并且总不满意。毕竟,三封推荐信里只有两个诺贝尔奖,也真够让人耿耿于怀的了。还有不争气的GRE语文,是不是400分出头?呵呵……连那个教授都不得不承认:“钱江的GRE确实不太好……不过话说回来,我本人的英语也不大好,可这并不妨碍我得诺贝尔奖。”小时候看杨朔的散文,横竖就一个“欲扬先抑”,没想到老外玩起来也一样笔法娴熟。

  我就是不明白,Stanford比Harvard差在哪儿了。按理说,Stanford对他也够仁至义尽的了。97年诺贝尔奖Laughlin收他当徒弟,带他去Washington参加国际会议,大三就让他判研究生作业,能做的都做了,就是留不住。难怪 Laughlin要哀叹:“Stanford快要没有好学生了……你要走就走吧,我也不拦你。不过你记住,别的地方不要你,Stanford保底。”我怎么听怎么就不像人话。

  要说Harvard也算是钱江的一桩夙愿了。他大二刚申请transfer那会,每天中午在学一吃饭,左手一部《孟子》,右手一把勺子,嘴里念念有词,Harvard快来……我问,你现在还有心情看《孟子》?他答,没办法,哲学系一哥们托他写稿子,平时没空,只好利用饭前便后了。我于是想起他大一时候写了篇论文送哲学系参评,得过二等奖的。不光哲学,文史也巨牛。一次他去听中文系的课,末了和教授探讨一个问题,满嘴经籍,周围中文系同仁个个听得目瞪口呆,那教授见状慨叹中文系今不如昔。偶然一次我和他谈起我们家楼里住了些大牛,报出金岳霖卞之琳钱钟书夏鼐,他就激动得瞳孔紧缩,浑身抽搐,迫不及待地大声问道:叶秀山在不在?贺麟在不在?沈有鼎呢?我一一据实回答,贺麟在三单元,叶秀山原来在平房后来搬出去了,还有那个沈什么来着的?我没听说过。他惊讶地问,沈有鼎!沈有鼎你没听说过?我说,没听说过,不过四单元还有一个搞哲学的叫周礼全。他立刻纠正说,周先生是搞数理逻辑的。我说,哦,他给我讲过理发师悖论,别的我就不知道了。他从椅子上弹起三丈多高,连连大叫:哇!你太幸福了!竟然有机会聆听周先生教诲!太幸福了!半天才冷静下来,用稍缓和的语气问,你们那儿还有什么比较年轻的牛人吗?我说,我们家楼底下刚搬进一位五十多岁的,好像叫张家龙,不知道干什么的。他连连说,我知道我知道,他也是搞逻辑和哲学的,我小学时候就看他的书了。说着从书包里掏出一本图书馆的书,翻到中间一页,指着上面的一个脚注说,喏,就是这本。我探头过去瞅了一眼,见一个冗长的书名后头跟着“张家龙”三字,在我看来和黄家驹也没什么区别。我得意地炫耀说,我还去过他家呢。他马上又不行了,掐着我的脖子拷问道,哇!你跟他探讨什么问题了么?我说,有的有的。他红着腮帮子逼问,是康德还是黑格尔?我终于有点不好意思,老老实实地答道,张先生问我,“小朋友,我们家电费这月多少钱?”

  说过文史哲,还得回到钱江的老本行,数学和物理。相传钱江小学升初中的时候,被人大附中校长面试。那变态校长对钱江的天才早有不满,一时头脑发热,狞笑着出了一道微分,不想竟被钱江做出,登时晕厥。钱江有个邻居是我高中同学,告诉我说钱江打小每个周末被他爸关在书店里不让出来,久而久之,数学物理什么的就都练出来了。我听到这个说法之后第一个反应是他爸够狠,第二个反应是他爸一定看过武状元苏乞儿。我去钱江家做客,见他书架床头桌上脸盆里无一处不是书。枕畔一本厚厚的柏拉图,希腊原文加英文注释,是他在北大选学希腊文的辅助教材,吓得我不小心打了个喷嚏,又从书架顶端震落一本形散神不散的外斯科夫《二十世纪物理学》,一打听又是他小学时候看的。他小学时已如此生猛,到中学就更加不可收拾,竞赛获奖无数,高中时候还去罗马尼亚拿了块牌(不是IPhO)。待进了北大物理系,那更是公认的大才子,师生皆尽叹服。我每次听他跟我讲物理都觉得是一种享受。大二的某一个晚上我酒足饭饱之后在三教走廊里溜达,碰到他急匆匆下楼,就把他拦住,随便聊了几句,怎么的就说开了去,一路谈到人生观世界观,最后他心潮澎湃地给我讲起他的终极理想,那就是做Einstein、Godel那样纯粹的思想者。为此他立誓做物理到三十,再视能力修正进一步的方向。他整整两个小时的旁征博引苦口婆心,终于让我信服我们学物理不仅仅是从兴趣出发,有时候甚至是一种责任,因为这个世界从被创造出的那一刻起,就需要有专门的人来理解它,即物理学家。其实在钱江给我灌输这些道理之前,我早就认识到他是一个高级趣味的人。举例说,一次理论力学课间,96的一个师兄很客气地管我借望远镜。我不明所以,顺手递过,却没想到警觉的钱江马上在一旁叫起来,你们想干什么!可惜为时已晚,话音未落,三教教室窗前已是万头攒动,近半个班的男生挤成一团,争先恐后地抢夺我那个简陋的望远镜观察下面游泳池中的无辜女生。钱江见势不妙,横刀立马一夫当关,妄图用血肉之躯堵住汹涌的人潮,可怜还不及站稳,就被大众的车水马龙淹没,只剩一个脑袋浮在人群之上,仿佛还要叫几声,却又被周围“美女!”“调焦距!”的呐喊盖过,终于细不可闻了。叹钱江一代物理系正选守门员,堂堂北大校运会百米第四,竟落得如此下场!惨案过后三月有余,大家念起钱江,仍不由得拇指一竖,赞道“是条汉子!”“道德高尚!”——所以说,我早就知道钱江高尚,只是在那天晚上正经听他大谈个人理想之前,我想不到他竟然高尚至斯。从那天起我就衷心祝愿他transfer成功,尽早出去为中国学生挣脸。果然不久他就如愿以偿,奔Stanford去也。一年后GRE考2400的黄颉偶然读到他申请时写的essay,惊惶无措,再不敢称学过英语,那是后话。

  钱江去美国之后,和我联络减少。中途他曾回来几次,我却只见了他一面。听说他在Stanford选了无穷多门物理数学课,还选学拉丁文,期末考试前一个礼拜住在图书馆里,每天只睡三两个小时。后来就是他不幸被一个从架子上翻落的沉重仪器击中头部,一时血流不止,支撑着摸到电话机旁奋力拨出911。所幸警卫和医护人员及时赶到,方无大碍。一位警官还煞有介事地问他被何人袭击,他无奈指了指身旁那个沾血的仪器。饶是他一贯身体强健,这次也不免住院一月。再后来,就是他去Harvard读博,音信渐无,再不知晓。

  哦,忘了说我们是怎么认识的。那是一次电视台举办的名为“著名科学家和青少年见面”的无聊活动,我和他一同作为著名青少年应邀参加。会上他听说我是北大附中的,第一句话就是冉鹰怎么没来?我解释说冉鹰参加化学竞赛去了。他接着就评论说,冉鹰很厉害,“雷达杯”第一。我那时已经知道“雷达杯”在北京上海广州三地一年一届,考试范围极广,数理化天地生无所不包。冉鹰是第三届的第一,光奖金就有一万,钱江则比他低两名,亦是名声大噪。我一时找不出别的话题,干脆顺着他的话线接下去说,雷达杯的题目很难啊,我记得有一道题给了几种怪鸟,然后问哪些擅长爬树,哪些擅长游泳。钱江被问得愣了一下,茫然地看了我一会,终于很不解地说,你难道不知道鸟是分作鸣禽、猛禽、攀禽、游禽、涉禽的么?

关于《我认识的七个理想主义者》写不下去了的声明

  在传说中的32楼绝顶,住着一群离上苍最近的人们……
                          ——姚坤

  我的《理想主义者》系列原定写七人:桂漓江、刘进、钱江、姚坤、王彦、肖笛、华明,至今已写完三个。后四人集体定居在32楼绝顶,平日里个个和我青梅竹马,亲密无间。我原以为越近的人越好写,就把他们留到后面,结果终于酿成惨剧。姚坤开了一个头就难以为继;想想肖笛之类,更是难于上青天。我这人写文章,一旦文思枯竭,绝不强写,最怕用力过猛,故此次见势不妙,毅然壮士断腕,就此打住,并遵华明建议,发此通告,算是对大家有个交待。痛定思痛,这件事给我的教训是:

  一、永远不要在题目里使用确定性的数词,万不得已的时候可以用n。古龙写《七种武器》,写完了只有六种(“拳头”不算),我比古先生还少一半,惭愧惭愧。

  二、距离产生美,远一点的人反而好写。亲朋密友因为知之甚深,写的时候总想面面俱到,一旦功力不足,就是我这个下场。Dirac有一个理论,任何美女都有最佳观赏距离。道理很简单:当距离为零时,观察者贴在美女脸上,只见一寸肌肤,盲人摸象,无所谓美;而当距离为无穷大时,美女近似为一质点,连形状都丧失,更无所谓美。综合以上两种极端情况,由连续函数性质,命题即得证。美女如此,朋友亦如此。

  下面随便说说我这几位朋友。

  姚坤天生豪杰。豪杰若非天生,则一定假冒伪劣。黄颉最喜欢的一句英语“Gentleman is, rather than does.”,意思说绅士与生俱来,而非后天修得。豪杰同理。《雪山飞狐》中胡斐刚出生就不哭不闹躺在老爸怀里抿酒,视迎面歹徒若无物,即为绝好范例。

  王彦一脑袋政治理想。如果现在再来一次政治漩涡,首当其冲被卷进去的肯定是他。北大的招牌。

  肖笛是那种把什么事情都看得很简单,以至于有点不切实际的理想主义者。为快乐不惜付出任何代价。

  华明正直磊落。他办事,我放心。

  常有人问我,什么样的人才算“理想主义者”?理想主义者通常是指那些为了个人理想不惜放弃酒池肉林的变态,我这里说的却还包括那些用理想化眼光看世界的人。物理系四年课程设置,专教人干这个。比如数学物理方法,一学期下来,只会解方块、圆柱和球,碰到复杂一点的情况,就只好做以上三种的近似。这还不算夸张的,运动力学里,人一律简化为杆架系统。比如脑袋是一块球形刚体,大臂是一根刚杆,膝盖是铰链。物理学家看伏明霞跳水,就是一堆杠啊球啊什么的,之间拧了几个螺丝,以一定初始角动量做落体运动。这样的人就是我定义下的“理想主义者”。按照这个扩充定义,我本人也应该算是一个不折不扣的理想主义者。举例说,我很显著的一个毛病就是喜欢给东东按理想化标准分类。大物理学家中,喜欢分类的有不少,最出名的大概是 Landau。Landau曾把物理学家按对数级分类(就是说2级物理学家的贡献是3级物理学家的10倍)。他把Einstein归为1/2级, Bohr、Heisenberg、Schrodinger、Dirac归为1级,把自己归为2 1/2级。事隔多年之后,才把自己升到2级。我喜欢分类,却和物理无关,而是中国人的天性。中国古代一贯有分类的传统,两仪四象八卦,无一不是例证。有时候甚至显得繁琐,比如“池塘”,方为池,圆为塘,不能乱了规矩,所以我们家的洗手池学名叫洗手塘。印象最深的是《封神演义》,那里面宝贝和兵器是分开的,比如番天印、九龙神火罩、太极图都是宝贝,红缨枪、熟铜棍、打神鞭则是兵器。某一集出来一个小孩,有个物品叫“落宝金钱”。别人使出多厉害的宝贝打他,他只需祭起这“落宝金钱”,对方的宝贝就会掉进他手里。后来有个什么人扔了一截兵器打他,他如法炮制,祭起“落宝金钱”,结果自己反被打死,因为兵器不是宝贝,“落宝金钱”失效了。即便是姜子牙的打神鞭,也不是百发百中,虽然可以遍打诸神,但是碰到仙、佛甚至人,就没脾气了。中国古代“神”这个概念很复杂,连姜子牙自己都经常搞错,打神鞭扔出去,才知道对方原来不是神。大家知道定义一个集合的方法有两种:一种是穷举,还有一种是描述集合中元素的性质。《封神演义》中用的是前一种,把所有的“神”列了一个长长的名单,起名为“封神榜”,从此以后想知道一个家伙是不是神,查表即可。之所以要用这么土的法子,并非作者想赚稿费,实在是神族群体良莠不齐,性质不均,赤胆忠心者如比干,人面兽心者如申公豹,一齐榜上有名,除穷举外别无他法。时下电视台做洗衣粉、空调 “上榜品牌”广告,罗罗嗦嗦一大串牌子念下来,跟“封神榜”的道理一样,并非不懂观众心理,而是确有难言之隐,各类品牌间差距过大,不得已而穷举的。

  感谢华明长期帮我文字校对。感谢吴俊宝的精神支持。感谢大家自去年暑假以来对我的不断鼓励。这次Fang准备不足,不自量力,对不起大家了。<完>

牛人故事:唐翔 (zz)

唐翔是我认识的最牛的人。

这句话得好好解释一下:首先,什么叫做认识?认识当然指的是相互关系。比如说,我的老板姜伯驹和王诗宬,一个是两院院士,一个是长江学者,都曾获得过陈省身数学奖。我当然跟他们彼此认识,甚至可以说熟悉。那他们有没有唐翔牛呢?窃以为没有。又比如说,我还是见过几位当代一流数学家的:陈省身、丘成桐、Smale、Atiyah,但他们根本不知道我是何许人,所以他们不能算我认识的人。那他们有没有唐翔牛呢?我觉得不好比较。

不光是我觉得不好比较,很多人都有类似的感觉。有一次老谢(这是一个精通数学物理和数论的家伙)说:”二十世纪中国最伟大的三位数学家是陈省身、华罗庚、唐翔。”

“不对!”何旭反驳道。这位几个月后将坐在MIT里研究李群的表示论的好吃懒做的不敢吃辣的重庆人意味深长地说道:”应该是唐翔、陈省身、华罗庚。”

另外一个需要澄清的概念是”牛”。很多认识唐翔的人都认为,唐翔除了数学牛以外,再没什么长处了。但我这里说的”牛”是把各个方面:数学、物理、化学、语文、外语、泡mm、灌水、切星际……都加到一起。在每个领域中定义一个牛指标,然后把它们生加到一起。我将之称为”综合牛指标”。所谓某甲比某乙牛,就是说某甲的综合牛指标大于某乙的综合牛指标。容易证明,我认识的其他人的综合牛指标都是有限数,但唐翔在数学领域的牛指标是趋于+∞的,而他在别的领域的牛指标至少是非负数,所以唐翔的综合牛指标大于我认识的其他人的综合牛指标,也就是说唐翔是我认识的最牛的人。证毕。

对于一个学数学的人来说,认识唐翔是他的不幸。这个不幸很不幸地降临在了96级数学系除了唐翔以外的师兄师姐们身上,也降临在了97级数学系大部分同仁的身上。我的不幸始于大二下学期。那时我们年级好多人都一窝蜂地去选大三的拓扑课,我也跟着去选,然后就认识了唐翔。唐翔身材魁梧,膀大腰圆,戴眼镜,坐前排,听讲非常认真。看不出来是一个牛人,因为通常牛人都是不大听课的,比如我的偶像Smale,据说大学期间常翘课,而且经常坐在台阶上很深沉地望着夕阳。

我们年级有一位mm也选了拓扑课,也总坐在前排,于是乎就经常向唐翔请教问题,没想到两年后这位mm会成为唐翔的gf……当然这位mm跟唐翔大概并不是在拓扑课上认识的,因为他们都担任一定职务,平时可能经常一起开会什么的。至于其中细节我并不大清楚,所以还是不说的好。但可以肯定的是,唐翔泡mm的牛指标是一个充分大的正数。

一学期转眼就过去,期末考试的时候,尤承业出题照例很简单,但对于我这种头脑不灵活的人来说做起来就很是费劲了。考完后出考场,我跟唐翔聊起试题,说有一小题没做出来。唐翔说:”很简单呀,这是书上一道习题,你把……”三言两语就把做法讲清楚,顿时让我感觉一学期的拓扑课算是白上了。

那时候才发现原来唐翔是个牛人,后来又陆续听到各种有关他的传说。一个流传很广的说法称,唐翔是一个绝对的完美主义者。有一次他考泛函,一个地方可能被扣1分,于是痛苦了一下午;还有一次他考测度论,一个地方可能被扣2分,于是别扭了一整天。通常来说,如果有一次数学考试连唐翔都没有得满分,那这次考试最后的成绩一定要经过若干次开方乘10的处理。也有人说唐翔的长处是记忆力好,所以他即使政治考试分数也很高。最后算平均分的时候,唐翔的各科成绩(包括政治)平均起来超过了95分。

我以前上高中的时候,老师经常跟我们说他以前的某个学生在北大数学系期间有七门功课是满分,创了北大的纪录。到了北大后,才觉得他十有八九是在吹牛,因为七门满分不大可能是北大数学系的纪录。不过我相信唐翔的13门功课满分一定是纪录。有一次我曾很不幸地看到了唐翔的成绩单的一页,在一堆100分中很刺眼地夹杂着一个90分,仔细一看,那门课是”ProbabilityTheory”,主讲教师为”QianMinping”.

其实13门专业课满分并不能说明一个人的数学有多牛,充其量只能说明他很会考试。比如说99级一个师弟现在的专业平均分是99.x,还有一个师妹的专业平均分是98.x,虽然这样高的分数我考不出来,但光凭这个也不能让我佩服。因为大一大二的基础课还比较简单,数分高代解几等课程要拿满分也不算太困难,另外陆果的物理课又纯属是考背书,所以分数高一点儿并不奇怪。而唐翔的长处就是大一的时候还不很突出,大二起就习惯于考满分了。

另外,考试考得好跟研究作得好是两回事,这一放之四海而皆准的真理早已为无数事实所证明。像Smale从小数学成绩就不突出,上大学时系主任追着要他退学。还有JohnF.Nash,自小就被目为天才,但他参加两次普遍特别难的数学竞赛,都没进前五名,备受打击,连Harvard的offer都不敢要。到如今,谁还记得当年的前五名呢?

所以说虽然唐翔成绩好,但还不能成为让人佩服的理由。打个不太恰当的比方,就像是中国足球队友谊赛灭了无数强队,但也没人因此把你当根葱。

大二下学期末的时候,听说周民强金盆洗手,下学期的实变课改由一位年轻老师教。无庸隐讳,这位年轻老师科研虽然不错,但讲课肯定比不上有三十多年实变教学经验的强强。那会儿我正感觉前两年虚度时光,所以决心暑假待在学校,疯狂自学实变,下学期就找老师要求免修。

没日没夜地读书、做题,最后书上的习题大概还剩下不到十题没做出来,自我感觉非常之好,巨有成就感。那些没做出来的题,每道想的时间都超过了十个小时,最后不得不放弃。一日从图书馆出来时遇见了唐翔,谈起自己近日来的活动,不免吹起了牛:”大概还剩不到十道题没做出来吧!”唐翔说:”很不错啊!那本书上的习题,我至今还没听说有谁能全部做完的。”

我听后十分得意,顺势拿一道不会做的题,”虚心”向他请教。唐翔听后,不假思索地说道:”我现在记不太清楚了。这种题就用那个什么定理,Egorov定理吧,找一个函数逼近一下就行了。”我说:”Egorov定理是有条件的,得是有限测度的集合。”唐翔说:”你可以取一个□□□(以下略去若干字)”

锵哉锵哉锵锵哉,一句话惊醒我梦中人!再回到图书馆一做,果然立刻就搞定了,而且用同样办法又解决了两三道题,另外以前有些我做得很麻烦的题,现在很简单就能做出来了。真是听唐翔一席话,胜读半月书啊!

后来有什么问题做不出来,要是能碰见唐翔的话,就直接问他了。不过没敢跟他一起自习,因为怕得神经衰弱。而且好象跟牛人一起自习是mm的习惯……

按lonekite的说法,96、97级不少人都养成了问唐翔问题的习惯。老谢曾跟唐翔一起上过黎曼几何,他说唐翔脑子很活,做题时很不少想法。这大概确是真的吧。一般来说,一道题如果连唐翔都做不出来,那就是真做不出来了,当然偶尔也有例外,这是后话。

唐翔最让人佩服的是他的刻苦。每天早上六点他就起床,到图书馆自习,晚上11点从三教回来。四年如一日,从不间断。后来图书馆的门卫都认得他了,所以他不用证件也能进去。他曾告诉flying说自己每天工作的时间是16小时。

当代数学家里最刻苦的是Erdos,每天工作19个小时,其次就得数丘成桐这样的人了,但他们年轻时平均每天工作也达不到16个小时。这样算来,唐翔之刻苦实在是让人瞠目结舌。有一次,我们年级一个到MIT的家伙突出豪言:”我要是有唐翔那么刻苦,早就是博士了!”此言一出,众人均ft,然后无数臭鸡蛋烂土豆都向那人扔过去了。

flying声称唐翔到图书馆最晚的一次是他离开北大的前一天,那天早上7:20时flying看见他进入图书馆。不过我怀疑flying弄错了,因为那段时间我天天早上都在学五看见唐翔,我估计flying看见唐翔是他从学五吃完早饭后进入图书馆。

让人奇怪的是,尽管唐翔这样没日没夜地学习,但身体还那么好。中午不睡觉也照样精神奕奕,晚上头一沾枕就能入睡,然后鼾声如雷。我们这些人要是不午睡,自习或上课的时候必定犯困,看看唐翔,实在让人既羡且妒。有时跟唐翔比较起自习时间,发现差得实在太远,只好乘上一个午睡系数什么的,因为要是不午睡的话,学习效率会低得多。

唐翔在国内的时候就决定出去学非交换几何。NoncommutativeGeometry这门学科是近一二十年兴起的,发展得非常热闹,跟弦理论有密切联系。这东西到底讲什么的我也不清楚,只知道国内搞的人非常少,而Atiyah将它称为二十一世纪最有前途的两个数学分支之一。

大概算子代数在非交换几何中起到了重要的作用,正如交换代数是代数几何的基本语言一样。非交换几何领域里的头号牛人AlainConnes当初就因为算子代数方面的工作获得的Fields奖。唐翔嫌自己的算子代数水平不高,就找了一本这方面的专著来读。那可是真正的学术专著,而非一般的入门教材。书名就特别长,又是”representations”,又是”*-Algebra”,又是”locallycompactgroups”的,总之都是正常人没法学懂的东西。

其实如果光是题目吓人倒也没什么,看看那本书吧:共两卷,加起来一千四百八十余页。这个数字是什么概念呢?G.W.Whitehead写过一本臭名昭著的”ElementsofHomotopyTheory”,厚七百四十多页,重一公斤。这书已经被圈内人士认为过于厚重,不适合当教材,只能作为工具书查一查。而唐翔看的那书,每一卷的厚度都和Whitehead的书相当!

据说唐翔把那本两卷的书分成了四个部分,每两个月看一部分,用了将近一年的时间全部看完。老谢说,每当他在图书馆看见唐翔啃那本书时,他就流汗。

现在的人过于浮躁,一个个都恨不得两年就把本科课程学完,再用一年就写出博士论文,很少有人肯下苦功夫练一练基本功的。谁还会花上一年的时间,啃一本一千四百八十多页的书呢?

唐翔深受钱敏的赏识,后者把唐推荐给了丘成桐。据说发offer的那段日子,丘成桐不在学校,所以唐翔只被列入了Harvard的waitinglist,尽管是第一位。后来唐翔waiting不下去了,就去了Berkeley,然后Harvard的offer就来了……

个人认为,丘成桐没有招到唐翔,是丘的不幸而非唐翔的不幸。唐翔和丘成桐其实有很多相似之处:两人都有做数学的硬功夫,天资都不能算是太高,但都以刻苦而闻名。不同的是唐翔比丘成桐更刻苦,但丘比唐更有名,至少现在是这样。

顺带说一下,在Fields奖得主中,丘成桐的天资不算高,但刻苦程度绝对没几个人能比得上他。有人曾请陈省身评论几位当代数学家,问到某人时,陈说:”他很用功。”问到另外一人时,陈也说:”他很用功。”但问到丘成桐时陈不说话了,因为丘成桐的用功是出了名的。据说丘吃饭的时候也要想数学问题,想着想着连饭都吐出来了。丘如今五十多岁,早已功成名就,但每天仍工作八小时以上,系里所有的数学会议都参加。另外他对自己的学生也极严格,要求每四天读一篇高质量的论文。可以想象,要是丘成桐得到了像唐翔这样刻苦的学生,一定会喜极而泣。

唐翔到了Berkeley,导师是Weinstein,——也是陈省身的学生和钱敏的朋友。Weinstein是搞Poisson几何的,对非交换几何估计肯定不懂,所以在那里是他教唐翔Poisson几何,而唐翔教他非交换几何。自然唐翔的非交换几何是自学的,以他的算子代数功底和刻苦程度,要自学这种东西肯定是小菜一碟。

唐翔写信回来说,在Berkeley几乎人人看过的书都比他多。那是自然,想来也没有谁会花一年的时间看一本一千多页的书。有那一年的时间,牛人们肯定至少看完了几十本书了。不过一年看几十本书的只是小牛,唐翔才是真的大牛。

一位叫“Quillen”的网友的一些对数学的看法以及一些书评(ZZ)

最後一段對閱讀 EGA SGA 有一些反對意見, 筆者也認為如此, 現在除了 Hartshorne 可以取代 EGA 一部分之外, 關於 Etale Theory 有 Milne 的 “Etale cohomology” 取代, 其他專題也有專書取代, 沒有必要一定去念法文.

算術幾何最重要的三個工作, 分別是 Deligne 證明的 Weil 猜想, Faltings 證明 Mordell 猜想, Wiles證明 費瑪猜想, Wiles 學生證明 Modularity 猜想.

Silverman 有 Arithemetic of Elliptic curves 一二冊, 第一冊介紹橢圓曲線的基本知識, 第二冊有一些進階的內容, 比如 CM 曲線, Tate 曲線, Neron 模型. 兩本書寫的很基礎, 很值得對算數幾何有興趣的人一看. 筆者只唸過第一冊和第二冊的一點點, 感覺非常好.

上述的 Diophantine Geometry 也是 Silverman (銀人)的專著, 內容是 Roth 定理 和 Vojta 用估計方法重新證明 Mordel 猜想的內容, 其時寫得還可以, 但是內容不是如帖子中講的那麼深, 只要學過一點點袋鼠幾何就可以看了.

費馬問題有一本書 Modular Forms and Fermat’s Last Theorem by Gary Cornell, Glenn Stevens, and Joseph H. Silverman , 是一堆人合寫的好書, 把費馬問題的周邊問題一章一章的講了, 當然把 Wiles的證明也介紹了, 是相當難的書,但是很棒,值得下功夫.

Algebraic Groups and Class Fields, Translation of the French Edition (Graduate Texts in Mathematics) by Jean-Pierre Serre 是早期的 函數體上類域論的書, 聽說很精采.

Weil Conjecture的標準書就是上述的 Milne 寫的 Etale cohomology theory. 需要對 scheme 理論很熟悉, Hartshorne 整本書都應該看完而且習題作完才能讀這本書.

Arithmetic Geometry by M. Artin, C.-L. Chai, C.-L. Chinburg, and G. Faltings 提到 Faltings 證明 Mordel 猜想所用到的各個分支, 書的結構也是一章一個步驟(專題), 讀完書可能會略知 Faltings 的證明大要 而且會知道更多的分支, 也需要 Harshorne 跟底

David Mumford 的 Abelien Variety 是介紹 Abelien Variety 的標準書, 需要Hartshorne 第二章的知識, 這本書寫的很好, 學幾何的話也可以參考其 1,2章來學 abelien variety和 cohomology and base change. 第三四章講 group scheme 和其 自同構環的算數,如果看的董會對學習數論很大幫助.

Diophantine Approximation and Abelian Varieties: Introductory Lectures by Bas Edixhoven and Jan-Hendrik Evertse 是專門講Faltings 的証明, 把一些太抽象的方法用估計代替, 不需要多少袋鼠幾何, 但是一點 Abelien Variety 還是需要的.

Lectures on Arakelov Geometry by C. Soulé, D. Abramovich, J. F. Burnol, and J. K. Kramer 是比較難的 Arakelov 理論的書, Arakelov 講算數曲面上的性質,所以需要相當多的袋鼠幾何. 另外 Introduction to Arakelov Theory by Serge Lang 是比較早的書. 這些書如果讀了(花個一兩年) 就可以進到算數幾何的最新研究領域, 對Falting 的證明也可以輕鬆掌握.

另外還有 Drinfeld module 的書 是函數體上的橢圓曲線的推廣, Crystalline cohomology 的書 (在下不知是什麼東東, 和 etale cohomology) 有關, 還有所謂 geometric laglands program 的書, 是現在挺紅的方向.. 但是在下認為算數幾何比純數論還美, 只是可以做的大問題比較少罷了..

 to Quillen:
   “Grothendick” 应该是“Grothendieck”吧。你的“Topo”指的是“Grothendieck Topology”还是“Topos”?
  “但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,”我不同意你的这种说法,你的意思可能是:Grothendieck只是给数学建立了一种新的形式语言,使得很多问题的阐述更加方便和直观(一种抽象的简洁)。但是,我觉得这种新的语言本身就包含了许多革命的思想,例如,以前,Riemann-Rohn只是纯粹关于簇的一个定理,而他却把它看作是一个关于簇间映射的定理,这样的话,就等于开创了一片新的天地,而不仅仅是一种阐述上的语言的不同,还有很多这样的例子。

“他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家” ,你指的“直觉”是一种抽象的直觉吗?以前我也不相信有这个东西,直到最近突破了一些东西后,才稍有体会,确有此存在。关于Grothendieck崇尚抽象,有一些是Mumford,Hartshorne等人的歪曲,他们当时根本不理解Grothendieck的思想。Grothendieck的道路还没有走完,现Deligne他们正在努力把凡是适合于Scheme的性质改造成适合于Champs,这是一件艰难的工作。Grothendieck带来了整个数学思考方式的革命化。

“據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質,”,学代数几何要不要学EGA,SGA以及FGA,这个问题我以前请教过一个在IHES游荡的朋友,他的意见是,若你想成为Faltings这样级别的人,你就得念这几千页手稿。至于对其中的精髓的领悟,就全靠个人造化了,当然,前辈高人的指点也是一个重要的条件。其实,世界上真正念这3G的人,可能比学非交换几何的都还要少(Connes曾估计全世界有300多人干NCG),所以,代数几何领域很久没有出Faltings这样的同党了。
 
“抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.”
只要不是人为的Vain Abstract,那么抽象永远是数学发展的动力。关键是要从抽象里领略大自然的构造,在数学观上我承认数学概念或者思想不是我们的发明,而是存在一个先验的绝对的数学世界,或许是柏拉图所谓的数学理念(亦或数学实体?)吧。算子代数已经够抽象了,Connes能够看出隐藏其中的非交换结构居然能够改造我们传统的测度,谁又能想到事情会来个神龙摆尾呢?其实非交换几何现象早就存在了,光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理,早年Gelfand 研究 Banach 代数的时候也发现, 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 “谱” (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种: 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至,而现在的形式表明,Grothendieck的这种发展是极为重要的。 一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何。Connes 就是从某一类 Banach 代数 — von Neumann 代数的研究出发来发展非交换几何的。
代数几何研究的主要对象,簇,是相当刚性的东西,怎样使它稍微软化到能够充分或者肆无忌惮的使用分析的工具,这是一个比较深的领域。有人开始改造经典的代数几何,什么同伦代数几何,非交换代数几何通通出炉了,可是,在思想上仍然没有突破,代数几何仍然笼罩在Grothendieck的阴影下。

  

代數幾何,過去五十年 和未來一百年

我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持:

1940-1965
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論 和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態. 在1950到1965年間 出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序 描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.:::
她們是 Hodge(加一堆人) 開創複幾何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象語言及新定義(問題):

讓我先講第一項工作.

Hodge + Lefschetz + Kaehler 考慮了複流形的定義和一般的性質, Kaehler 引入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的”Elliptic regularity” 對Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解, 並且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理, 用以連結一平滑代數促和其截面的同掉群.

這是一連串故事的開始, 這個故事到現在,甚至以後一百年內 都不會結束.
(2)

Kodaira 的三大工作:

(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 “Kodaira dimension” 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,

這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形.

配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)

嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理

對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具

變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想.

Kodaira 是神..
1965-1980

這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:

(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間,

(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.

(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,

接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作

(1)
Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.

Grothendick

Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ

他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式

關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 “概形”,另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念.

這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多.

Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.

Topo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的”拓墣中的開集合”, 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.

Grothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.

畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數…

而方法..只因為研究的對象而重要…. ]

(huzhengyu

还有他的标准猜想,至今是不可接近的。stacks现在有很多新的工具了,象源于代数拓扑里的operads,A无穷代数,D模这些。
我觉得抽象化肯定是很核心的数学技术,不然同伦代数不可能会诞生,同伦代数几何就更不必说了。数学的对象有些一直没有变,有些却是全新的。
现代物理学家有不少已经倾向时间和空间都是想象的产物,不是实在仅仅只是心理学概念,那么如果想看一眼最原初的“没有时间和空间的世界”,所需要的数学肯定是抽象的可怕的。
好像是哈代说得,除了自然数一切都是人创造的,不过就现在来看,我个人认为可能自然数也是人创造而不是自然本质具有的,因为集合和数数的概念很可能是人的特征而非自然的本质特征,所以以有理数为对象的数论也许也会慢慢改变它的对象。
不过我非常赞同你对复几何的重视。我也觉得现在代数几何的核心内容是与解析几何的内在联系。
这些只是我的个人感觉,我水平较低,各位请勿见怪。

回答2楼,grothendieck没有自己的学派。他在自传中称此为“葬礼”,认为他离开后的数学界又再次把精力投向技术性的问题而不是开创一个新的几何纲领。他所想象的“新几何”“新数学”被埋葬,因为他之前太过乐观,EGA写到第四本的时候,大家已经开始觉得沮丧,离他的“新几何”的目标似乎遥不可及,尽管他自己坚持认为“只差没几步”了。

就现在来看,做stacks的人还是不少,但是需要巨大的数学基础,而且所有的目标都遥不可及。个人还是认为应该做“炉中烧着的铁”,除非你觉得自己一人之力能够战胜以前在这个目标前失败所有的数学家。

[grothendieck] harvesting and sowing
没有出版的 可以去数学所资料室借复印版的 里面还有pursuing stacks的手稿
不过standard conjecture比hodge猜想推广多了 里面还有他的一篇关于一般意义下hodge猜想推广不成立的简单理由

)。

1965-1980 Part Two

既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見.

David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:

(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構.

這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..

(2) 曲線和 Abelian Variety 的模空間的緊化問題: 模空間的緊化一直是備受關注的問題, 人們想知道幾何物件的退化會變成什麼樣子, Mumford 研究了上述兩種物件模空間的緊化, 並証明了對任意幾何物件退化的 ” Semistable Degeneration” 定李, Mumford 也對 Abelien Group Scheme 作了一些貢獻 , 對算數幾何起了重大的影響.

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Phillip Griffith 相較之下 ,並沒有這麼傑出, 他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作, 他帶領了一堆學生和工作夥伴, 對霍奇結構的變形理論,和霍奇結構退化時的理論,作了相當的貢獻, 他主要的動機是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 問題. 但是他 失敗了 (ps: 霍奇猜想可看成是 torelli 的特例) 他也因此離開了數學界, 留下了他的兩個著名著作: (a) 和 Joe Harris 合寫的 Principles in Algebraic Geometry (b) 和他的團隊合寫的 Topic in Transcendal Geometry

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