第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）
吴思皓（男） 上海向明中学确规定 铜牌 上海交通大学
王 锋 （男） 北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件
第27届IMO（1986年，波兰华沙）
李平立（男） 天津南开中学 金牌 北京大学
方为民（男） 河南实验中学 金牌 北京大学
张 浩（男） 上海大同中学 金牌 复旦大学
荆 秦（女） 陕西西安八十五中 银牌 北京大学，现在美国哈佛大学任教
林 强（男） 湖北黄冈中学 铜牌 中国科技大学
第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）
刘 雄（男） 湖南湘阴中学 金牌 南开大学
滕 峻（女） 北京大学附中 金牌 北京大学
林 强（男） 湖北黄冈中学 银牌 中国科技大学
潘于刚（男） 上海向明中学 银牌 北京大学
何建勋（男） 广东华南师范大学附中 铜牌 中国科技大学
高 峡（男） 北京大学附中 铜牌 北京大学，现在北大任教
第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二
陈 晞（男） 上海复旦大学附中 金牌 复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授
韦国恒（男） 湖北武汉武钢三中 银牌 北京大学
查宇涵（男） 南京十中 银牌 北京大学，在中科院数学所任副研究员
邹 钢（男） 江苏镇江中学 银牌 北京大学
王健梅（女） 天津南开中学 银牌 北京大学
彭建波（男） 湖南师范大学附中 金牌 北京大学
何宏宇（男） 以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。
第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一
罗华章（男） 重庆水川中学 金牌 北京大学
俞 扬（男） 吉林东北师范大学附中 金牌 吉林大学
霍晓明（男） 江西景德镇景光中学 金牌 中国科技大学
唐若曦（男） 四川成都九中 银牌 中国科技大学
颜华菲（女） 北京中国人民大学附中 银牌 北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。2001年获得Sloan fellowshep。颜华菲教授的主要研究领域为代数组合，组合计数和概率方法。主要在以下几个方面开展研究工作：(1) Lattice theory for commuting Boolean subalgebras (2) Enumeration of parking functions and Goncarov polynomials (3) Combinatorial properties of Apollonian circle packings (4) Linear lattices and Grassmann-Cayleyalgebras (5) Ranom geometric grahs and the Ulam’s pathological liar game
将步星（男） 新疆石河子五中 金牌 清华大学
第31届IMO（1990年，中国北京）团体总分第一
周 彤（男） 湖北武汉武钢三中 金牌 北京大学
汪建华（男） 陕西汉中西乡一中 金牌 南开大学，美国麻省理工数学博士，现在美国陈省身数学研究所工作。
王 菘（男） 湖北黄冈中学 金牌 北京大学
余嘉联（男） 安徽铜陵一中 金牌 清华大学
张朝晖（男） 北京四中 金牌 北京大学
库 超（男） 湖北黄冈中学 银牌 北京大学
第32届IMO（1991年，瑞典斯德哥尔摩）团体总分第二
罗 炜（男） 黑龙江哈尔滨师范大学附中 金牌 北京大学，在浙江大学数学科学中心任博士后
张里钊（男） 北京大学附中 金牌 北京大学
王绍昱（男） 湖北黄冈中学 金牌 北京大学，在耶鲁大学任Gibbs Assistant Professor (non tenure-track)
郭早阳（男） 湖南师范大学附中 银牌 清华大学
刘彤威（男） 北京大学附中 银牌 北京大学
第33届IMO（1992年，前苏联莫斯科）团体总分第一
沈 凯（男） 江苏南京师范大学附中 金牌 上海交通大学
杨保中（男） 河南郑州一中 金牌 北京大学
罗 炜（男） 黑龙江哈尔滨师范大学附中 金牌 北京大学，在浙江大学数学科学中心任博士后
何斯迈（男） 安徽安庆一中 金牌 中国科技大学
周 宏（男） 北京大学附中 金牌 北京大学
章 寅（男） 四川成都七中 金牌 北京大学，首届华林赛四川省二等奖全国初中数学联赛四川省第三名，1989年高二全国高中联赛三等奖。北京大学计算机系，后到美国康乃大学
第34届IMO（1993年，土耳其伊斯坦布尔）
周 宏 北京大学附中 金牌 北京大学
杨 克 湖北武汉武钢三中 金牌 清华大学
袁汉辉 广东华南师范大学附中 金牌 清华大学，Cal-Thec的硕，麻省理工（MIT）的博，现在在华南师大数学科学学院工作，2005年的女子数学奥林匹克他也供题一道
刘 炀 湖南师范大学附中 金牌 上海交通大学
张 镭 山东青岛二中 金牌 北京大学
冯 炯 上海向明中学 金牌 上海交通大学
第35届IMO（1994年，中国香港），团体总分第二
张 健（男） 上海市建平中学 金牌 北京大学
姚健钢（男） 北京中国人民大学附中 金牌 北京大学奚晨海（男） 北京大学附中 银牌 北京大学
王海栋（男） 上海华东师范大学二附中 银牌 复旦大学
李 挺（男） 四川内江安岳中学 银牌 北京大学
第36届IMO（1995年，加拿大多伦多）
常 成 哈尔滨师范大学附中 金牌 北京大学
柳 耸 山东实验中学 金牌 北京大学
朱辰畅 湖北武汉武钢三中 金牌 北京大学
王海栋 上海华东师范大学二附中 金牌 复旦大学
林逸舟 山东实验中学 银牌 清华大学
姚一隽 上海复旦大学附中 银牌 复旦大学
第37届IMO（1996年，印度孟买）团体总分第六
陈华一（男） 福建省福安一中 金牌 北京大学
闫 理（男） 北京二十二中 金牌 北京大学
何旭华（男） 重庆十八中 金牌 北京大学
王 列（男） 辽宁沈阳育才学校 银牌 北京大学
蔡凯华（男） 江苏启东中学 银牌 中国科技大学
刘 拂（女） 上海复旦大学附中 铜牌 北京大学
第38届IMO（1997年，阿根廷马德普拉塔）团体总分第一
邹 瑾（男） 湖北武汉武钢三中 金牌 北京大学
孙晓明（男） 山东青岛二中 金牌 北京大学
郑常津（男） 福建福安一中 金牌 北京大学
倪 忆（男） 湖北黄冈中学 金牌 北京大学
韩嘉睿（男） 广东深圳中学 金牌 北京大学
安金鹏（男） 天津一中 金牌 北京大学
第39届IMO（1998年，中国台北）因故未参赛（以下六人为当年欲参赛名单）
邹 瑾 湖北武钢三中
许钧天 湖北武钢三中
刘若川 沈阳东北育才学校（高二）
艾颖华 湖南师大附中
王 佳 湖北武钢三中
李 鑫 华南师大附中（高一）
第40届IMO（1999年，罗马尼亚布加勒斯特）
瞿振华（男） 上海市延安中学学生 金牌 北京大学
李 鑫（男） 华南师范大学附中学生 金牌 北京大学
刘若川（男） 东北育才学校学生 金牌 北京大学
程晓龙（男） 湖北武汉武钢三中学生 金牌 北京大学
孔文彬（男） 湖南师范大学附中学生 银牌 北京大学
朱琪慧（男） 华南师范大学附中学生 银牌 清华大学
第41届IMO（2000年，韩国大田）
恽之玮（男） 江苏常州高级中学学生 金牌 北京大学
李 鑫（男） 广州华南师范大学附中学生 金牌 北京大学
袁新意（男） 湖北黄冈中学学生 金牌 北京大学
朱琪慧（男） 广州华南师范大学附中学生 金牌 清华大学
吴忠涛（男） 上海中学学生 金牌 北京大学
刘志鹏（男） 长沙一中学生 金牌 北京大学
第42届IMO（2001年，美国华盛顿）
肖 梁 北京人大附中 金牌 北京大学
张志强 长沙市一中 金牌 北京大学
余 君 湖南师大附中 金牌 北京大学
郑 晖 湖北武汉武钢三中 金牌 北京大学
陈建鑫 江苏启东中学 金牌 清华大学
瞿 枫 东北育才学校 金牌 北京大学
第43届IMO（2002年，英国格拉斯哥）
王博潼 东北育才学校 金牌 北京大学
付云皓 清华大学附中 金牌 北京大学
王 彬 西安铁路第一中学 金牌 北京大学
曾宪乙 湖北武汉武钢三中 金牌 北京大学
肖 维 湖南师大附中 金牌 清华大学
符文杰 上海华东师大二附中 金牌 清华大学
第44届IMO（2003年，日本东京）
付云皓 清华大学附中 金牌 北京大学
向 振 长沙市一中 金牌 清华大学
王 伟 湖南师大附中 金牌 北京大学
方家聪 华南师大附中 金牌 北京大学
万 昕 四川彭州中学 金牌 北京大学
周 游 湖北武汉武钢三中 银牌 北京大学
第45届IMO（2004年，希腊雅典）
黄志毅 华南师大附中 金牌 清华大学计算机系
朱庆三 华南师大附中 金牌 北京大学
杨诗武 黄冈中学 金牌 北京大学
李先颖 湖南师大附中 金牌 清华大学
彭闽昱 鹰潭市一中 金牌 北京大学
林运成 上海中学 金牌 北京大学
第46届IMO（2005，墨西哥梅里达（MERIDA））
任庆春 （天津市耀华中学，满分、金牌）、
刁晗生 […]
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历年中国参加ＩＭＯ选手（ZZ）
花落水逝春还在 人事流谢难空怀
Sir Aurobindo说：抑郁闭塞，启开了邪力来侵之路。最近，倍感抑郁闭塞，为免邪力来侵，自沉回忆，面朝往事，以临心中的春暖花开。大学时买书不精纯，从而庞杂，费钱颇多，入不敷出，只得寻另一资补之路，考量再三，周虑诸事，稍觉投稿和做家教尚有所为，此二事皆不费时，且收益适中，颇合我意。自从有此二事，我腰包小鼓，虽大钱不来，却也小钱不断，更富意义处，乃成就了一些俗缘，于我平静的生命中，迎入了一些有味的人，有趣的事，造就了一匹缘尘。原来，生活的紧迫深处，也能生发出一丝淡淡的温馨，萦绕着我，随过一段灰暗的时光。
记得我第一次去她家，是晚上，那时她儿子在上初二。夜间，尚留有残春的寒意。给她儿子补习数理英三科，化学，要待初三了。辅导初中学生，一般在我是不可能的，于此却终究已成实情，个中因由，在此不表。见面，自我介绍，寒暄，随后大概授了一个小时课，对象还是一个很幼稚，单纯的小孩，对我颇为敬畏，我以一贯的激情对他唾沫横飞。最后，他接纳了我，此乃情理中之事。首次的照面和交谈，所能回忆者少，惟留她的样子在我心中逗存，挥之不散。她的额头很高，头发很蓬松，略带卷意，但显得非常顺滑，让你甚觉安静。整个人生得很精致，在古书里可唤为小巧雅致。当时她丈夫也在，是个商人，或者是个企业家，称谓无妨，反正人好。两人轮流与我交谈，间或参差错落，搭配比较和谐，使人速觉舒服。我讷于言谈，大多在听，我们之间的默契就这样发生了。最后商定，我呼他们为：刘叔叔，陈阿姨；讲授对象唤我为李老师。
每星期我去两次，都是晚上。头几次，我上完课皆乘公交车回校，随后她就开始开车送我。那车是红色的，以致我现在一看到红色的小车就想起她。由于公司不在长沙且事繁，她丈夫经常不在家，所以我和她的交流最多，对她也了解得比较深。心思细腻，善解人意，通情达理，察人观物，时具见地，虚怀敏学，柔善尔雅，在古典时代，绝对是个才媛。我欣赏她，从她那里学到了很多东西，当时不觉，而今溯想，其音容笑貌，文采风流，对生活的洞明，对人情的练达，皆已入我澄明的心思和沉静的情命，让我深深的怀念那已逝的时光。她和我妈皆是六十年代生人，大约比我妈小三来岁。她与我之交流，却使我感觉辈分的阻隔业已消融，让人心生“君生我未生，我生君已老；恨不生同时，日日与君好”之感慨，此皆非因我之老沉，实乃她之新健。有些事情，儿子和母亲之间是永远都不会谈及的，偶尔寻得某个时机，我却可以和她说说，于我，她真正兼任了朋友和母亲的角色，此种平衡被赋予的相当和谐，我们之间的相互理解成就了朋友之德，而我对她的尊敬则感会于她予我的关怀和挂念以及对我的信任。与她相遇，我慢慢的学会了世俗的表达。对她的话语量可能是我前二十年的总和，她给我带来了言辞的镜像和福祉。由于人能够在话语中企慕到心灵的谦柔和虔敬以及无限的自我纯粹所圆成的离执，等观的宁静，所以，我深深的感激她。人之心灵高尚与卑贱，皆秉持于神圣权能的开启，真是一念天堂，一念地狱。
她和她丈夫给过我很多帮助，不仅来自有形的钱财，而且精神上的资助更多，但那时，我最需要的是钱，买书，从国外邮购书，以及去其他大学旁听高等课程，都是需要银子的事，而他们给我的上课费也远远超出了我份内应得的。我是很对不起她的，主要是没有教好她的儿子，数理化有所好转，但英文一塌糊涂，最后，中考终究没有考上雅礼，一想起这事，我就顿生浓浓的愧疚。由于某些原因，后来我还去她永州的家里住了几个月。昔我往矣，杨柳依依；今我来思，秋风漫漫。每晚与她河边的散步，是那段日子最惬意的事情，如今亦时常令我遐往。她内心深处某些令我承纳之物，亦渐渐步入我心灵的幕帐，随滔滔逝水，将伴我踏上那修远的漫漫长路。我是个有浪子情结的人，我将远行，我要去寻求属于我的名相和神圣者。衷心的祝福她快乐，幸福；祝愿她丈夫的事业越来越顺利；希望他儿子能早点感知自己有位难得的母亲，从而拥抱这份无微不至的母爱所赐予的幸福和感动。伊人曾在，与我相知；凭君寄辞，慰我相思！
（请勿转载，谢谢）
不老歌 甜歌皇后――华语歌坛最美的人(传奇之一）
甜歌在流行音乐中被称作爱情小调，从30年代的旧上海，这种爱情小调，就开始流传，同时也出现了大批的优秀的歌手，她们的歌影响了一代代人。但是，虽然同属于甜歌流派，由于各自的嗓音不同，所以即使对同一首歌的演绎，也给人别样的感觉。另外这些歌手有的曲风多样，对语言的掌握也很全面，各种风格的歌曲都能很好的演绎出来，但是她们也有共同的特点，就在于对甜歌的演唱，每个人都用自己的方式把爱情小调，演绎到了极致。可谓是甜歌史上的标志。
邓丽君
在歌坛有这样一道风景，一位身着中国标志服装旗袍的女子面带笑容在各地演唱。不论是在台湾还是香港，不论是在日本还是东南亚，她脸上一直挂着像她歌声一样甜美的笑容，她就是邓丽君。单论脸蛋，甜而不腻，娇俏嫩滑，完美无瑕，也无愧“甜歌皇后”。细看邓丽君的演唱会，你会发现她的笑容一直挂在脸上，微笑着演唱，微笑着和歌迷说话打招呼，她的笑不是装出来的，是发自内心的。因此人们记住了她的笑，更记住了邓丽君和她的歌。她用她的笑和她自身的魅力征服了人们。
李玲玉
李玲玉也许就是为甜歌而生的歌手。因为甜歌李玲玉在80年代迅速走红，从87年到91年出了多张个人专辑，每张的销量都很好，也使李玲玉稳坐大陆甜歌皇后的宝座。连续三年登台春节晚会，可见她当时在大陆歌坛的地位。但是92年后李玲玉签约大地，转变风格，由甜妹子转型为都市女性，留给人们的甜美形象没有了，而她最卖力的专辑《女人心绪》并没有得到歌迷和市场的肯定，随着李玲玉转型，从此杨玉莹做上了甜歌皇后这个空位，李玲玉的转型第二张专辑《我心依然》也停止制作，随后淡然出国。她可谓因甜歌而生，因甜歌而去。但是十年后李玲玉再次带着她甜歌《美人吟》再次出现，希望她还可以依旧灿烂。
林翠萍
第一眼看林翠萍的照片，给我的感觉是娇小可爱，听她的歌会觉得像一杯陈年的酒，你得会品其中的滋味，他没有邓丽君的温柔深情，也没有李玲玉的甜美娇艳，但是她用自己略带沧桑的声音唱出了属于自己风格的甜歌。她的甜歌在这几个歌手里并不算多，但是都很经典，正如彩虹一样美丽，她过早的息声歌坛便再无消息，也正如彩虹一样短暂，令人难忘。
韩宝仪
韩宝仪的声音给人一种很纯很清的感觉，嗓音绝对是人间极品，甜润无比，带点童声，仿佛仙乐不染尘污。她的《粉红色的回忆》、《你潇洒我漂亮》曾经响彻中国大地。《留不住斜阳》唱出了多少人的无奈；《舞女泪》唱出了舞女的心酸；《我心若玫瑰》唱出了多少对爱情的期待；还记得她有一首冷门歌曲《相思的滋味》，真能把人唱到浑身酥软。当今这个物欲横流的世界上，听听韩宝仪的歌声，你会感受到现实中没有的多情。
林玉英
林玉英，从表面上看，我绝对想象不到她有那么好的嗓音。林玉英的台语歌和国语歌都唱的很好，她的山地情歌尤其令人喜欢。早前她留给歌迷对《点燃一跟烟》《夜空》《小雨》等美好旋律的回味，淡出歌坛。歌迷也只能在她老歌里去回味她。正应那句离别却是为了相聚。2004年她结束与旧东家的合约，加入豪记旗下，推出了新专辑《女人心．想厝的人》，同时拍摄了《小雨》的MTV令无数喜欢她的歌迷为之兴奋。但是专辑发行后她又消失在歌迷的视线，没有大肆的宣传张扬，只是平淡的归去。也许又在准备下一个惊喜，不要忘了离别却是为了相聚，愿她有更好的作品献给喜欢她的歌迷。
龙飘飘
龙飘飘并不漂亮，但是有很多人喜欢她，喜欢她的歌重剑无锋，大巧不工，所以真正的高手不会让你看到她外表的华丽。她是甜歌皇后里甜度最低者，她的卡带几乎统称为《龙腔雅韵》，相貌平平但是充满了气质，嗓音浑厚有力，其质感与爆发力，摇滚也来得，偏偏一辈子在小调中厮混，正因如此，那种独特韵味也无人取代，独步江湖；她虽然在歌坛有很高的地位，但是她并不霸道，她用她独特的龙腔在保证质量的前提下给龙迷们带来一曲曲好听的歌曲，让我们看到一个歌坛常青树的大气行为。
高胜美
一个歌手出道20年才首开个唱，而且一唱就是40首，这不叫狂妄，这叫实力，有实力才有魅力，她就是高胜美，她的歌声中带有山地的味道，给人一种野性的美。从《青青河边草》《千年等一回》到《刻骨铭心》她给我们带来了数不尽的好歌，她几乎一直停留在我们的视线，不曾离去，走过20年。正是她那魅力的歌声和自信使她依然走在今天的流行乐坛。
樽酒慰飘零
三月,烟雨,江南.春色四处流溢,可是,这朦胧的季节里,有人,心中却没有春天,只有孤灯,深深庭院,锁得住春意,却锁不住眉间的惆怅和迷茫.于是,重拾那尘封已久的侠客梦,以古龙为酒,一醉解千愁.
“冷风如刀,以大地为砧板,视众生为鱼肉.万里飞雪,将穹苍作烘炉,溶万物为白银.”
“雪将住,风未定,一辆马车自北而来,滚动的车轮碾碎了地上的冰雪,却碾不碎天地间的寂寞.”
武侠写到这种层次,殊近烛照三才,晖丽万有之境,雪白大地,轻舞飞扬人独立,天地寂寞,无量无边.古龙是一个天才,一个寂寞的天才,他的作品总是弥漫着孤独和萧索,笔下的那些天涯浪子,边城刀客,风月佳人,全是些人间的惆怅客.在他们身上,古龙种着自己的才情,哀寞和欢愉,可惜,斯人已逝,无缘与君把酒话桑麻.人的一生,遗憾实在太多,烦恼加身,剪不断理更乱,不知自度度己,他度度人的我佛如来,在色空俱尽的世界里,一颗菩提心,是否惹尘埃?其实,我们都是江湖人,江湖在哪里?在你我的心中,在历史中,它还会生长,绵延,直至你生尽而方央.一入江湖岁月催,我又能做些什么呢?我什么都不能做,什么也没有做成.沉思往事立残阳,百无一用是书生,一阵晚风,也能卷起我惆怅的思绪,沉浸在故人旧事的追忆之中.独自神伤,其实是人生失败的一抹投影.我有两个忠实的朋友,一个是失败,另一个还是失败.年少气盛,纵古论今,指点江山,看沧海横流,而今,默然回首,寄身天地之间二十年,只留得几片黄页悬枯枝,西风独自凉.
历史上,曾有人唱”向死而生”,而今,我却找不到我的存在之家,我连一句抽象的话都不如,一句抽象的话还能向世人陈述一个真理.我梦想着在一个春暖花开的日子里,伴着温阳,毫无牵挂的读着古龙,读着Grothendieck,读着Wittgenstein,悠悠的怀想着世上那些动人的事情.
对往事的沉思(ZZ)
在这个版上看到很多考中科院的同学,但大多数都是失败者,我自己也是一个失败者.有失败,就会有抱怨,所以就看到了一些过激的话语.06年第一次考中科院,那时我读大三.由于本科学校的数学系不是很好,所以大一大二看了两年哲学和古典文学,大三时认识了一个学物理的朋友—-我这学物理的朋友,今年投奔复旦去了.他运气比较好,英语没上复旦线,但复旦还是收了他.他也算略成小果,学了两年建筑后,转系去学物理,尽管家中富足,但诸多压力犹存,能够于风浪之中,觅一藏身之所,我衷心的为之祝福,也为天下所有理想主义者的前程祈福—-和他讨论量子力学,由于对其中的Hilbert空间不是很了解,于是去查了一下泛函分析的书,记得是一个苏联人写的,立刻被吸引,觉得很有意思,于是又重新激发了念数学的兴趣,重新翻出那些尘封已久的黄皮书,就这样踏上了自学的征途.现在的感受是,打基础的时候,自学是相当艰苦的,总的感受是,自学的话,直接去找一本比较适合自己程度的外文书念,不要读中文书,中文书错误太多,作者的技术性错误和印刷错误都相当多.在备考的过程中,重新学了一下高等代数和数学分析,仔细的把中科大的那本<线性代数>和<数学分析>看完了,前者是查建国等写的,后者分两卷,是常庚哲,史济怀编写的,都是好书,值得一看.我看数学,不注重习题,不足之处是显然的.成绩也在意料之中,高代141,数分123,英语四十几,政治也没及格,自然是没的学上了.中科院的卷子就是高代还有一点水平,数学分析试卷没什么特色,题目都是东抄西抄的.大四时.恶补分析,自我评价是:对抽象精神的把握尚好,但分析功夫不足,计算能力尚待加强.于是认真的看了一本测度论,一本交换调和分析,然后复习了一下ODE,读了一本特殊函数论,再去翻了一下Milnor的那本使人能够沿测地线进入大范围变分学的Morse函数论,竟然感觉不难,可能分析确实有点进步,自然是信心十足的挺进07年的中科院的考场,没想到考场竟然与06年的一样,当时顿生一种不良之兆.结果,真正的打击来了.复习了四个月,英语比06年多了四分,一个月长一分,还是有进步.政治也及格了,高代持旧,数分竟倒退了几分,颇感惶然.中科院07年的数分,应该算得上很简单,几个稍微难一点的带技巧性的题目,在裴礼文的书上都找得到,但两道积分题目和一道应用题目我硬是没有做出来,自食其果,不怨天,不尤人,只是隐约的觉得出题人不过尔尔.若换我出题,我会多加注意含参变量积分和无穷级数,会考察蕴藏在多元微积分中的一些简单的拓扑性质.尽管微积分的精髓在一元的情形下可以被阐述的淋漓尽致,,但是,若论与其他分支的联系,比如微分拓扑,流形上的分析,PDE等,相较之下,一元则差远矣.进而言之,我觉得没必要如此重的考察计算能力,要做好数学,逻辑能力当然第一,抽象的直觉洞察力往往能够四两拨千斤,计算能力只是底线,不宜过分关心.玩计算,谁又玩得过搞密码,做函数论的那些人?当年,Hilbert的计算能玩过Gordan吗?再回到细节上来,我觉得题量也没必要这么大,六道题足够了,题太多了,就有考察对知识的熟练程度之嫌.再来看07年高代,这份试题似乎是个搞动力系统的人出的,有人觉得高代做到130比较困难,为何?我想,若你能念完一本正经的矩阵论,高代就不会难了.当然,有人背杨子胥的那两册习题集,也能得高分,其中得失,暂且不表.选矩阵论书的时候,看看作者对向量算子的存在性有没有证明,若没有,此书不读也罢.看书的话,于小细节中能观得大宗旨.多念一点有关矩阵的知识,有利无害.Ringel曾说,关于矩阵运算背后的本质,人们还所知不多.读有限群的常表示的时候,矩阵的Jordan理论是很有帮助的.
总之,我是一个失败者,两次考中科院,都未遂愿.由于一些个人的原因,一毕业直接去法国不可能了,所以要继续连着读的话,只能在国内了.当初为何选择中科院呢?举其要义,大概有二:其一,基础数学实行硕博连读制,能够安下心来扎实的念五年书,也是件好事.我同意丘先生的看法,打基础是相当重要的.现代数学,日益深广,何况我要学的又是算术代数几何,通俗的讲,就是在代数曲面上做数论,这当然是摄众妙的学问了,分析,几何,拓扑,代数,数论,统统得上,自然,对预备知识的要求也就苛刻一些了.所以,我需要一段古井不波的心境来读书,想一些事情,对于后Grothendieck时代的代数几何之面貌,Quillen(这个版上的网友,而非真Quillen)的意见是,已经改朝换代了;李克正的意见是,旧旗依然飘扬,没做过前沿的研究,无法自断;其二,现在国内,真正称得上是搞代数几何的人,不出三五.扶磊,李克正,孙笑涛,谈胜利大概算得上,而我真正感兴趣的又限于前面三人,所以,只能投南开或中科院了,而一友曾劝我勿奔南开,其缘由不便予人.于是只好铁了心挤中科院了,结果两次都没排上队.三月,分数已出,复试无望,受居京一友之邀,致京游学,其间,混迹于中科院,旁听,讨论,交游,间或道听了一些潜规则,而今,开始怀疑自己当初的决定.我现在的意见是:考中科院之前,最好到这里来看看,实况与转播,所差甚大!
上这个论坛,也是很偶然的事情,为了查Quillen的一篇论文,居然查到了这个论坛上Quiilen网友发的一些高水平的帖子,甚感意外,决定进来看看,后来又看到了一些同学发的帖子,他们对数学的热爱和激情,令我感动.既是同修,相逢何必曾相识.我是走了弯路的人,我也曾经得到过别人的指点,于数学,我现在才能稍微登堂入室.所以,我又有什么理由不把自己的一些经验或者教训告之于人呢?
现在,我的前途一片茫然,不知何去何从.最近几天,读Gothendieck的<Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passé de mathematicien>让我更加强烈的感受到,纯粹数学,像理论物理一样,是一个天才玩的游戏,我还不知道自己是否玩得起.真的,有时候感觉自己就是一个赌徒.让一种理想式的激情葬送自己的一生,真的不是一件好事.近来给朋友讲交换代数,有些异样的感觉.大多数学数学的人,将来充其量只是一个人民教师,或许我也是,又或许,我会成为Grothendieck或者Wittgenstein那样的人,谁晓得命运女神会把我抛向何方.很多事情,当时只道是神圣,随着流年如逝水,当你沉思往事立残阳的时候,可能只剩下一抹西风独自凉了.
Quillen,你的话,令我很感动,真的,谢谢你!龙应台说:”在整个华人世界里,素质最高,行动力最强的公民群体,其实就在台湾.”深以为然.中国大陆,现在快变成一个文化荒漠了,一个不动人的国家,是不可能产生传奇人物和伟大数学家的.今时局潜变,世风浮陋,皆待改造,如何取道,弟深觉愁闷.能遇Quillen兄,甚感荣佩.环视当今学界,中国数学,落后不止一二,吾侪当团结共图未来之辉煌.受人鄙视之感,实在难受痛苦.
回其余诸位:英文和法文之好坏并无必然联系.大学四年,因喜好古希腊文,Michel Foucault和Emmanuel Levinas,以及甲骨之学,故其上用力甚勤,致使英文几乎荒疏,数学本业亦无多大修养.而今顾想,彼时之为,实乃附庸风雅,本末倒置,幸而毕业之际已后觉,亡羊补牢,未为迟也.总之,辛勤的工作,不断的努力吧,年轻，天赋,勇敢,运气,忧伤的年轻人都可能拥有,我们正在路上.
要学好数学,英文是一定要学好的.而今补习英文,发觉英文实在是简单,比汉语,法语和德语要易学多了,语法系统和单词变位,较之前三者,难易之间,天上地下.英文,词汇是王道,我想,背一下GRE词汇是有好处的,多阅读亦必不可少,不过,不要寄希望于阅读英文数学书来提高英文水平,此举实乃徒劳,因为英文数学书的英文太简单了.若视之为一个文本,则英文之作用半也,另一半自然是数学语言了,释义已得半数,如稍通英文,另一半则其意自见(此为一己之体会,聊作参考,不必当真,惶恐误人子弟).最好阅读英文的文学和哲学,不羁数量,多多益善,若能完整的看完一部较长的英文小说,我想,对英文的信心和感觉是会有所增强的.当前,在下正在践行.
我的<Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passé de mathematicien>是朋友从法国给我带回来的,你如果愿意看电子版的,如下链接可以下载:http://bb.kosmos.cn/(数学).
谢谢一些同修的鼓励,但愿诸位旅途顺利!记得高中时看poincare\’的传记,就对自己立誓:将来一定要成为一个比poincare\’更伟大的数学家,于是,我过了三年苦行僧般的生活.回想当年那段烟花般寂寞的岁月,而今只能轻淡的一笑.滔滔逝水,急急流年,大地上行色匆匆的人群和自己颛蒙默止的求为之路,使我感悟,不能太执著,执著非大德,一切随缘吧.大师,只能在历史的暗处生长,他需要来自天外的运气和大地赐予的天赋,这些,我都有吗>这仿佛是向遥远的星辰发问.
Moi,qui je pense je Suis,以此与大家共勉.
语言和思想
语言和思想
语言的高境界是达到“言有尽而意无穷”，让意义在语言的尽头引发出人一言难尽的无奈和惆怅。意义从语言的尽头漫溢出来这一过程，是怎样发生的？在冲破语言的牢笼走向终极存在的过程中，以行动表演思想的方式会比语言走得更远吗？以行为来参悟世界，物我两忘，是否就真的能洞察世界的本质？这样就称得上是与世界的融合？修行，体悟，就是与世界的亲近。此时，不仅仅是我观世界，同时，我也在观世界的观我，亦即对彼察的反观。显现世界的真实，果真有此顺序：语言，形象，行动？思想的戏剧真的那么重要？我也不知道。所谓思想的戏剧以及由此带来的后果，就是要让思想者冲破一切关于人自身和世界的限定，让他们的行为最大限度的去彰显语言，形象所无法达到的切意的自由。
与陈果就题意讨论一番，虽有所触，可该澄清的还是没有澄清。他说：1，语言能启发思维；2举以自然数系统为例，讨论它的发生以及本质，并且把它看成一种表意的工具，由此而申述，一种基本的语言的产生实际上是人类在与世界打交道的过程中不断进步，心中产生了一种更高级的抽象观念，然后运之于世；3，一个真正的创造者在生发其语言，乃因对此世界的理解，体会和更深的抽象上，所以，体会是基础，抽象是进步，而语言是在抽象的涵义已经发生之后的事情，就像人们先有”下一个“的体会，后有自然数之观念的向世而生一样；4，涵义是发生在先，语言的发生在后，此亦即所能切证到的与所能言说出的先后之顺序；5，他转述的一君的说法，即展开语言和展开含意之关系。这些议论皆可增益我关照语言所携的诸种可能性。
我为什么关注语言和思想这一问题？因为我觉得，数学，本质上是一种语言，是对概念，观念以及隐藏在宇宙深处的世界本质的一种言说，而且我将会著书立说，以立言的方式，将我对数学新的理解，对世界的新的认识延续下来。有人把数学当作一种工具，亦有人把语言当作一种手段，在我，却不作如是观。每一语词或者概念，本无对错，深浅之分，关键在人之摆放，运置。语言系统中的一句言说是否切中了世界意义空间中的某种本质，须放在整个存在之史中来观会，所以，操心语言的目的，是言清当下之思想，尽量避免客观误解，让思想在此生能得以文字上的完成。我们能否通过语源分析达到真理？是否可以仅凭语词来洞悉事物的本性？是否能够不借语词来认识事物？不变的本质和流变的现实是何关系？到底如何界定一种言说是错误还是无意义？这些古希腊人对语言的追问，于今意义愈增。而中国古哲的看法是，除人语之外还存在物语，甚至连沉默也是一种语言，而且是一种能开显无限真实的元语言，如禅宗的以心传心，默照，打坐和禅悟，道家的心斋和坐忘，得意而忘言。慧能在《坛经》中感慨：“若全著相，即长邪见；若全执空，即长无明。”庄子则认为：“可以言论者，物之粗也；可以意致者，物之精也。”无论何种解法，若放眼整个知识谱系和精神史，则必须以语言打捞真相，人之思想无所逃于语言，岂不相类于人无所逃于天地之间也？为了言说尽量切中世界深处的本意，中国古哲制造了“象”这个概念，表达的格局由此而变为言，象，意。首论三者之关系从《易-系辞上》出，其曰：“圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言。”老子进而申述：“道之为物，惟恍惟惚。惚兮恍兮，其中有象。恍兮惚兮，其中有物。”庄子更进一步，把“象”生长为“象罔”，在《庄子-天道》篇中如此寓论：“黄帝游乎赤水之北，登乎昆仑之丘而南望。还归，遗其玄珠。使之索之而不得，使离朱索之而不得，使口契诟索之而不得也。乃使象罔，象罔得之。黄帝曰：‘异哉！象罔乃可以得之乎？’”这里，庄子以喻为筏，世界隐藏的秘密托为玄珠，而只有象罔能得之。何谓“象罔”？宋人吕惠卿：“象则非无，罔则非有，不敫不昧，玄珠之所以得也。”清人郭嵩焘：“象罔者若有形若无形，故眸而得之。即形求之不得，去形求之也不得也。”最完论者乃晋人王弼：“夫象者，出意者也。言者，明象者也。尽意莫若象，尽象莫若言。言出于象，故可寻言以观象；象生于意，故可寻象以观意。意以象尽，象以言著。故言者所以明象，得象而忘言；象者所以存意，得意而忘象。”执“象”，“象罔”者，以为“象”立而“言”尽，应得意而忘言，得意而忘象。执“象”而求者，于“忘言”“忘象”之后续事情无所立论，仅禅门中人有所余探，所得之路，即为禅定，禅观，修行，澄怀味道，致虚极，守静笃，净心自悟，在“不坠二边，于相离相”中达到用言而不坠于言，让思想永远向高处迈登。
这真的是条达思的精纯之路吗？
数学.概念.人—–通过概念的长征
大致可以把伟大的数学家分为两大类;一类为宇型的,一类为宙型的.何谓宇型?如同哲学长河中的亚里士多德,柏拉图,康德,胡塞尔等建立了伟大体系的人,数学中如此之人有哪些呢?自古以降,廖若疏星,Newton,Gauss,Galois,S.Lie,E.Cartan,A.Grothendieck,Kolmogorrov,丘城桐,Kodaira,Euclid,Fourier,Cantor,Riemann.何谓宙型?像哲学门中的那些形而上的先知们,他们的洞见穿越了时空中的迷雾而辉丽万有,烛照三才.有点类似于古希腊残篇断简中吐放的绵绵密密的智慧的幽光,照了古人照今人,以那种不朽的寂静的方式驱散着一代又一代人心的黑暗和孤独.如哲人中的苏格拉底,基尔凯廓尔,尼采,Wittgenstiein,Heidgger等,数学中这样的人,大概也如这世界上有趣的人一样少!毕达哥拉斯,阿基米德,Fermat,祖冲之,刘徽,朱载堉,Poisson,Abel,Ramanujan,ЧебbIшев.ПaфHутийЛbвович,I.Schur,Poincrae,Langlands,Shimura,Harish-Chandra,Weil,Witten,E.Noether,I.M.Gelfand,Selberg,Siegel,Hilbert,Markov,他们大概可以位列其中.如果以武学的手法论数学,宇型数学家有点类似于洪七公,王重阳,逍遥子,扫地僧,李寻欢之类, 宙型数学家则有点类似于风清扬,胡不归,叶孤城,陆小凤,燕十三一类.不管是武学的江湖还是数学的江湖,都是这些人的血,汗和才情所构成.他们的思想和功业,使数学这个伟大的宇宙得以运转,这些宇宙般永恒的英雄们的事迹,好似那些绝代侠客们的铁血柔情,在江湖的每个角落里不息的流传着,一朝江湖人,千古侠客梦.那些天才的公式带给人的一瞬间的灿烂和兴奋,只有天涯边那一剑的寂寞,明月下那一刀的风情才能媲美.这种美能在刹那间燃烧我所有的欲望,碾碎天地间所有的寂寞,洗掉身上这万丈红尘,而得以聆听那广陵瑶琴为我奏响的三千绝响,在一种纯粹的境界中我步入了群星驰舞的莽莽高山.数学与哲学的目的一样,都是要从逻辑上澄清思想.数学不是一门学说,而是一项活动,一种不断揭示宇宙新结构的进程,本质上,它是由一系列的概念和解释所构成,数学的成果不仅是些或新或旧的命题,而且也包括对这些命题的澄清.若没有数学,这个世界会相当混乱和嘈杂,关于世界的图画不会像而今这般的绚烂和动人.上面这些,是些须关于数学和数学人的故事,也包含了我的隐喻,我冀望着在某些余霞漫天的黄昏,淡淡的晚风寂寞的吹着,在我的感觉边上,坐着一位人淡如菊的女子,温情脉脉的守侯着玉壶中的香茗,我却沉醉在这胜似月色的温柔里,沉醉在那些人,那些人的动人的数学,动人的故事里,恰似那天外飞鸿,对苍茫大地,万古长空的沉醉.故事已尽,梦亦醒,我们该上路了.数学中最重要的是”道”,古人云:阴阳之变之谓道,显示了”道”本身包含了思想,命题,概念以及它们的不断更新,正所谓:江山代有人才出,数学贵在道之易.窃以为,无论创造新的数学还是学习旧的数学,”概念”都是核心,整个数学,就是对其概念的组合,运动和阐释.数学中我们关心的所有重要事情,都是由对概念的天才操作所生发.接下来,将是一个通过概念的长征,因为学识的局限或俗事的缠绕,可能,我最终走不完它,但,作为一种仪式,或者一种象征,第一步,绝对要迈.
人生相当虚幻,最终,尘归尘,土归土.我愿像燕十三一样被自己的那一剑所毁灭.那一剑是不朽的,足以烛照千古.数学,像武学一样,需要绝对的诚心正意,值得耗尽自己一生的心血,为的是什么?为了一种境界,一种瞬间的绚烂.
在征程启始之际,我喜欢首先为自己造一个机器,或者说,搭建一个脚手架,然后,我就心安理得地在其中细致的劳作.
我将陆陆继续地讲述下面这些迷人的概念的故事,或许,这”陆续”会拖得很长,长得令人愤怒.
1,Variety:当然,最常听到的是Algebraic Variety,当然,在AG(algebraic geometry)和AAG(arithmetic geometry)里,最重要的,经常被提到的簇是:Shimura Variety, Jacobian Variety, Abelian Variety,Hodge Variety,Piard Variety,Modular Variety,etc.其中Shimura Variety和Abelian Variety又格外重要,一维的Abelian Variety便是椭圆曲线,而Shimura Variety是Langlands计划中的核心研究对象.
2,Scheme:它是Algebraic Variety的推广,这是一个重要性无论被估计多高都不为过的概念,我将会详细的对它进行阐述,因为,在它上面屹立着许多辉煌的大厦,比较常见的有Abel Scheme,有限群概形,形式群概形,等等.
3,Cohomology:这是一个搞数学的人必须掌握的一种技术,威力无穷,当然,它可能会有一个相当悲凉的下场,Motif 横空出世的那天,或许就是它的末日.常见的,非常重要的一些上同调有:Galois Cohomology,Cech Cohomology,(它是所谓的Cohomology of Sheaves的一种特殊化),etale Cohomology, Crystalline Cohomology, L-adic Cohomology,Quantum Cohomology,De Rham Cohomology,Cyclic Cohomology(这是Connes发展的NCG里面的一个重要的概念,当然,在同调代数中也比较有用),Motivic Cohomology,这是Vodvoesky最近几年才发展起来的一种新的上同调,他通过借助Algebraic-K Theory和Homotopic algebra等工具,然后再构造一系列复杂而抽象的关于 motives的triangulated category ,初步的实现了格先生当初的一些梦想,建立起了一个所谓的bigraded motivic cohomology theory H^p,q(X) for algebraic varieties.
4, Group:这是Galois的天才工作,里面最重要的是Lie Group和Galois Group.现在,高阶K Group已经越来越重要了..
5,Module,这是现代数学中一种很重要的看待数学的观点,里面相当重要的是Galois module.这可说是现代数论的核心研究对象.
6,Algebra:这里的algebra指的是一种数学结构，在逻辑学里，有Boolean algebra ，Heyting algebra，在集合论里，有algebra over […]