Category Archives: 数学
The solutions of Hartshorne’s book（小心谨慎地参考）
十一月 1, 2007 – 2:44 上午
http://modular.fas.harvard.edu/AG.html
http://www.lomont.org/Math/Solutions.pdf
http://math.berkeley.edu/~reb/courses/alggeom/
http://modular.fas.harvard.edu/AG.html
http://www.math.lsa.umich.edu/~bcais/Cours…horne_Solutions
.pdf
http://www.math.purdue.edu/~jinhyun/sol2/hart.html
一位叫“Quillen”的网友的一些对数学的看法以及一些书评（补遗）
十月 29, 2007 – 9:42 下午
RR兄您好:
Griffith Harris 是很棒的書, 不過第零章有一個關卡 就是 Hodge 分解的証明 , Warner 的最後一章可以做為小替代方案 另外您提的多複變其實 該書並沒有要很多 , 只除了前二十頁有用到之外後面就幾乎不用到了 強烈建議把第一章給讀了.. 不會是太困難的工作
我的 Email 是 hlchang@math.stanford.edu 不知道您有否寄錯, 不過也有可能你寄對但是因為是中文信件被系上自動標示為”spam” 於是就被我不小心刪掉 如果要寄的話可否寄往 chhwli@hotmail.com
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“是否能够谈谈现在的代数几何里哪些方向是最有发展前途的?我想,与数论的联系大概是取基域为有限域的原因.”:
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這是個有點大的問題 讓我區分為以下兩種:
代數幾何但是偏向複幾何: 最大宗的分支現在是圍繞在 Calabi-Yau 流形的研究 代數幾何中的各種理論 包括 Gromov Wittem 理論, Donaldson-Thomas 理論, Variation of Hodge Structure(霍奇結構變形理論), Toric variety 的領域, 簇的 Degeneration 理論(退化理論), Derived Category (誘導範疇)的理論, 非交換幾何的理論, 等等都在 Calabi Yau 流形上起了相互影響的現象. 這些影響有些是物理學家猜測然後被數學家以例子證實, 有些直接是數學家猜測 […]
some intersting sites
十月 8, 2007 – 8:14 上午
http://zhbssn.bokee.com/1226042.html
http://zzwen.bokee.com/1239526.html
http://community.studyez.com/
http://www.ifstar.net/bbs/
几个经典的数学资源下载网站（ZZ）
九月 29, 2007 – 7:09 上午
http://www.numdam.org
这个是法文的网站，可以下载大量的法文文章，甚至包括Poincare等一流数学家的文章。
http://arxiv.org
美国洛斯阿拉莫斯核物理实验室的论文预印本服务器，全世界物理学研究者最重要的交流工具，覆盖几乎全部的物理学，大部分计算机科学和一部分数学。不过现在数学覆盖面也很广了，Perelman的那三篇著名文章就在这里！
ftp://202.38.70.51
中科大的ftp。里面有大量的数学书籍下载。甚至包括高斯全集和SGA。
http://www.ams.org
这是美国数学会网站，不用我说了吧！
http://historical.library.cornell.edu/math/index.html
Cornell大学历史书籍图书馆，里面可以免费下载自古至今数百位数学家的著作。
http://www.sub.uni-goettingen.de/gdz
Goettingen大学的，大量数学杂志，包括高斯全集。
http://lib.mexmat.ru
这个得俄文好的才能进入哦！
http://en.wikipedia.org/wiki/
这个不用我说，只管去上就好了！
http://www.mathunion.org/
地球人都知道，国际数学联盟！
http://www.grothendieckcircle.org/
代数几何学习经验(ZZ)
九月 5, 2007 – 7:48 上午
古典代数几何起源于19世纪末，20世纪初得到充分的发展。这篇帖子没有借助任何参考书目，仅仅是我头脑中的记忆堆积出来的，因此，如果有不同理解，或者我讲错了，请见谅。因为我忘了很多了。
古典代数几何的发展主要是仿射簇和投射簇的研究，以及后来渐渐发展的代数簇。直到现在，代数簇理论仍然是非常有用的方法，所以喜欢代数几何的不要盲目的崇尚现代代数几何理论，因为概型的直观性要大大少于代数簇。
最先引起我们注意的是仿射簇（affine variety），用几何的语言叙述，那是affine space An里面由一些代数方程的公共零点集(zero locus set)。因此我们考虑An上的代数方程构成的多项式环k[x1,..xn]及其理想，容易定义V:{I/I为理想}->An 为公共零点集， I:An->{I/I为理想} 为生成理想。 （k为代数闭域！）
我们得到的第一个重要理论是nullstellensatz定理（零点定理）：I(V(I))=rad(I) (即I取radical)这个使得我们将理想和代数集一一对应。另一个较弱的形式是说对于任何极大理想m，k[V]/m总是k的代数扩域，由于我们已经假设k是代数闭的，因此k[V]/m同构于k，所以任何仿射簇V，k[V]总是k和m的直和（作为k模），这是我们研究局部性质的基础。
我们不能总是将V作为嵌入在放射空间的子集来看待，我们需要更本质更内蕴的方法。（我认为这是很重要的数学思想，寻找内蕴的性质）现在大部分参考书采用的方法是给与一个structure sheaf来定义。于是，我们说一个affine variety，总是指一个ringed space(具有层结构的拓扑空间)。通过一系列形式推导（具体看任何一本参考书），我们得到了一个很漂亮的最基本的定理：
affine variety范畴反变(contravariant)等价于affine k-algebra范畴。
范畴等价意味着我们可以抛开几何，只看代数范畴，可以弄清全部具有范畴性质的几何结构（比如product,coproduct，zariski拓扑结构，维度等）特别的，我们观察monic和epic可以发现，代数簇间一个象稠密的映射是epic，对应一个单代数同态，同样，代数簇间一个open immersion是monic，对应一个满代数同态。
更广泛的，我们不仅考虑投射簇，考虑更一般的代数簇，使得投射簇作为它的特例。我们定义：一个代数簇就是一个T0 ringed space，在每一点拥有一个开集ringed isomorphic to an affine variety.这个定义显然包含了投影簇，于是我们利用类似的方法可以得到大量投影簇的性质和定理。
最后，我想说的是，通过古典代数几何的发展，我们第一次得到代数和几何的紧密交融，几乎全部交换代数定理都有明显的几何意义，比如noether正规化定理意味着任何不可约仿射簇能够满射到同等维度的放射空间，going-up,going-down定理，zariski主要定理（都是重要的定理）的几何解释也是明显的。不停的交换“代数和几何的观点”有助于融合它们，因为它们基本上是交汇的。
借用eisenbud交换代数书的开篇语作为结束：algebra is written geometry, geometry is drawn algebra. (本人水平有限，请不要过于苛责,哈。)
强烈推荐一本
[Iversen]的cohomology of sheaves
非常强悍的工具，其他书里很多大定理可以象切豆腐一样搞定。
看完后能够让你手中的剑变得锋利无比。
这个帖子已被 huzhengyu 于 2006年11月09日 16时56分 编辑
概型，层论和平展上同调
同古典代数几何帖子一样，这也是我个人的记忆堆积出来的，我尽量写的更好一点，如果有错误和偏见，望见谅，这只是属于我自己个人的一篇短文。
在grothendieck创造scheme之前，sheaf theory已经有了巨大的进步，sheaf cohomology被完好的定义出来。这对于上同调理论是一个巨大的进步，和之前的de rham cohomology, cech cohomology, cellular cohomology, singular cohomology可以被极好的统一在sheaf里面，特别的，任给一个sheaf能够构造一个cohomology，这使得上同调变得象函数一样重要且可构造。构造上同调已经成为一种数学思维，如algebraic K－theory等。
简单说一下定义，对于C，D两个范畴，定义presheaf范畴为D^C^op，就是C^op到D的函子范畴（functor category）。进一步，我们定义sheaf范畴。设C为grothendieck site(具有grothendieck topology的范畴)，则sheaf cat为presheaf […]
某个人的藏书（ZZ）
九月 5, 2007 – 6:53 上午
Zimmer, Ergodic theory and semisimple groups
Margulis, Discrete subgroups of semisimple Lie groups
Starkov, Dynamical systems on homogeneous spaces
Bekka, Mayer, Ergodic theory and topological dynamics of group actions on
homogeneous spaces
Handbooks of dynamical systems, Ch 1
Handbooks of dynamical systems, Ch 9, 11
Hochschild, The structure of Lie groups
Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representaions
Helgason, Differential geometry, Lie groups, […]
一位叫“Quillen”的网友的一些对数学的看法以及一些书评（ZZ）
九月 5, 2007 – 5:32 上午
最後一段對閱讀 EGA SGA 有一些反對意見, 筆者也認為如此, 現在除了 Hartshorne 可以取代 EGA 一部分之外, 關於 Etale Theory 有 Milne 的 “Etale cohomology” 取代, 其他專題也有專書取代, 沒有必要一定去念法文.
算術幾何最重要的三個工作, 分別是 Deligne 證明的 Weil 猜想, Faltings 證明 Mordell 猜想, Wiles證明 費瑪猜想, Wiles 學生證明 Modularity 猜想.
Silverman 有 Arithemetic of Elliptic curves 一二冊, 第一冊介紹橢圓曲線的基本知識, 第二冊有一些進階的內容, 比如 CM 曲線, Tate 曲線, Neron 模型. 兩本書寫的很基礎, 很值得對算數幾何有興趣的人一看. 筆者只唸過第一冊和第二冊的一點點, 感覺非常好.
上述的 […]
Kontsevich的工作（ZZ）
九月 5, 2007 – 5:28 上午
谈1998年菲尔兹奖获奖者Kontsevich的工作
Kontsevich能拿下Fields奖，当然不是闹着玩的。
Maxim Kontsevich,1964年出生，16岁时获数学竞赛全苏联第二名，85年从Moscow
大学毕业（没拿到本科学位），然后在莫斯科信息传输研究所工作5年，其间他有
很多时间花在音乐上，还在业余的法语强化班上认识了后来的夫人Rosanova。
插一句，Drinfeld得菲尔兹奖的工作是在低温物理研究所作出的，可见苏联的
学术环境有其独到的一面。
1985-1990是苏联政治文化大动荡的时期，许多苏联科学家离开了苏联，包括
Galfand去了Rutgers，Drinfeld去了Chicago，Margulis和Zelmanov去了Yale。
Kontsevich后来说他自己在这段做数学的时间非常少，但他还是坚持在数学上
做出了不少好的工作。当然和他后来的工作没法比。
（一）Max-Plank研究所，一生的转折点
1990年德国波恩大学Max-Plank数学研究所邀请他访问3个月，就在他准备回莫斯科
的之前，他参加了Max-Plank研究所的一个为期5天的国际会议，第一个报告是
Atiyah，介绍了Witten的一个曲线模空间相交数的猜测，Kontsevich放弃几个晚上
参加宴会的机会，想出了一个证明的思路，在会议结束前，Kontsevich报告了他的
想法，引起很大的反响。Max-Plank研究所所长Manin于是把他的访问期限
延长到了3年。这是Kontsevich一生的转折点，一年后他就完全证明了Witten猜测，
还证明了两个量子重力模型的数学等价性，开始跻身世界一流数学家行列。
就是下面两篇文章
[1]Intersection theory on the moduli spaces of curves，
Func. Anal. Appl. 25, No 2, 123-129(1991)
[2]Intersection theory on the moduli spaces of curves and the matrix
Airy function， Comm.Math.Phys. (1992) 147, 1-23
1992年Bonn大学授予Kontsevich博士学位。在Max-Plank研究所期间Kontsevich还
到Harvard,Princeton,Berkeley,Rutgers等大学访问。
Kontsevich的数学天赋展露无遗，下面这片文章引入了著名的Kontsevich积分，
并用之构造了新的扭结不变量。是目前公认的扭结分类最有效的不变量。
[3]”Vassiliev’s Knot Invariants.”
Adv. Soviet Math. 16, Part 2, 137-150, 1993.
（二）关于Gromov-Witten不变量
1993年的时候阮勇斌和田刚合作发表了一篇重量级的文章
Mathematical Theory of Quantum Cohomology，其中证明了量子上同调环的
结合律，并且对一类所谓半正定辛流形构造了后来被称为Gromov-Witten class
的不变量。他们的工作主要是基于Gromov的辛流形伪全纯曲线的开创性工作和
Witten在拓扑sigma模型方面的一些物理思想。Gromov-Witten不变量的叫法
最早应该是Kontsevich和Manin的文章
[4]Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry
Comm.Math.Phys.,164:3 (1994), 525-562
Kontsevich和Manin推广了Ruan和Tian的工作，并且给出了GW不变量的全新解释，
他们的文章有不严格的地方，有一些是“直觉上”和“概念上”的论证，留下了
被人攻击的口实。但其中的许多思想还是很值得研究的。“严格性”是数学家一
直遵循的一条戒律，但现代数学的发展，以及物理学思想对数学的影响日益显著，
特别是某些物理学家，可以从直观的物理想法上预测深刻的数学结论，然后把证
明的细节抛给数学家们。似乎在许多大家看来，想法是最最要紧的，技巧嘛，只
要想法对头，总能推出来的拉。
其实Kontsevich等人的文章还是很推崇Ruan和Tian的工作的。也看到过有人用
Gromov-Ruan-Witten不变量的，反正同行是清楚Ruan和Tian的贡献的。就象提到
Atiyah-Singer指标定理，人们也不会忘了Hirzbruch和Bott一样。
GW不变量有很多问题现在还是研究热点，特别是C.Taubes的工作
建立了GW不变量和SW不变量的联系。
（三）同调镜象对称，离菲尔兹奖一步之遥
Kontsevich最重要的工作之一同调镜象对称是在1993年作出来的，Kontsevich那时
在Berkeley任教。
镜象对称是弦论研究里发现的关于3维Calabi-Yau流形的对偶关系，物理学家用
镜象对称原理可以预测射影流形上曲线的条数公式，这个是意大利老一辈代数几何
学家就研究过的问题，但是难度太大，一直没有进展。没想到却在物理上发现了
一线曙光。一下子镜象对称就成为弦论里研究最多的分支，但是直到Kontsevich的
工作出炉以前，这个领域里到处都是猜测，只有一些零星的结果，特别是对于镜象
对称的数学解释没有一点头绪。
Kontsevich的以下两篇文章是巨大的贡献。
[5]Enumeraion of rational curves […]
代數幾何參考書目及其評論 （ZZ）
九月 5, 2007 – 5:24 上午
代數幾何偏向複幾何的參考書籍
Complax Manifolds Kunihiko Kodaira ( 小平邦彥) , James Morrow
這本書最大特色是講複變流形上的 deformation theory。另外也介紹一些複幾何的基礎，比如複變流形上的微分幾何以及橢圓偏微分方程的應用。(蔡宜洵老師)
Principles of Algebraic Geometry Phillip Griffith, Joseph Harris
這本書很大本而且很厚，前兩章(第零章及第一章)有值得一念的基礎知識。第零章比較特別的是Hodge定理的證明。第一章處理一些基礎而且重要的主題如 Kodaira embedding 。這一部分可以和 Kodaira 的書互相對照，有些地方它講的比較清楚。另外這本書在拓樸上的方法也介紹的比較多一些，比如它介紹 sheaf 理論以及應用此理論很快地證明 Cech cohomology 和 de Rham cohomology 兩者之間的一些等價關係。 這本書有關代數曲面的部分寫的不錯，這也是有別於 Kodaira 那本書的地方。黎曼面以及代數曲面分別出現於本書的第二章以及第四章，那些內容也走出 Kodaira 那本書的範圍。(蔡宜洵老師)
代數幾何偏向Grothendieck style的參考書籍
The Red Book of Varieties and Schemes David Munford
這本書的特色在於作者寫書的時候就好像他是一位老師在教學生那樣，相對起來並不像是再寫一本數學書。即使這是一本層次很高的書，但在行文中就像家教這樣，告訴你什麼東西為什麼要這樣定義。因此這算是一本比較看的下的書，或者說念下去會比較能感覺到一些精華所在，會覺得那個主題是很精采很深刻的東西。可惜 Munford 沒有繼續寫書，所以本書就停留在 scheme 的層級。(蔡宜洵老師)
Algebraic Geometry Robin Hartshorne
從很多方面來講，最接近 Grothendieck 代數幾何的書就是 […]