对宇宙的沉思

最後一段對閱讀 EGA SGA 有一些反對意見, 筆者也認為如此, 現在除了 Hartshorne 可以取代 EGA 一部分之外, 關於 Etale Theory 有 Milne 的 “Etale cohomology” 取代, 其他專題也有專書取代, 沒有必要一定去念法文.

算術幾何最重要的三個工作, 分別是 Deligne 證明的 Weil 猜想, Faltings 證明 Mordell 猜想, Wiles證明 費瑪猜想, Wiles 學生證明 Modularity 猜想.

Silverman 有 Arithemetic of Elliptic curves 一二冊, 第一冊介紹橢圓曲線的基本知識, 第二冊有一些進階的內容, 比如 CM 曲線, Tate 曲線, Neron 模型. 兩本書寫的很基礎, 很值得對算數幾何有興趣的人一看. 筆者只唸過第一冊和第二冊的一點點, 感覺非常好.

上述的 Diophantine Geometry 也是 Silverman (銀人)的專著, 內容是 Roth 定理 和 Vojta 用估計方法重新證明 Mordel 猜想的內容, 其時寫得還可以, 但是內容不是如帖子中講的那麼深, 只要學過一點點袋鼠幾何就可以看了.

費馬問題有一本書 Modular Forms and Fermat’s Last Theorem by Gary Cornell, Glenn Stevens, and Joseph H. Silverman , 是一堆人合寫的好書, 把費馬問題的周邊問題一章一章的講了, 當然把 Wiles的證明也介紹了, 是相當難的書,但是很棒,值得下功夫.

Algebraic Groups and Class Fields, Translation of the French Edition (Graduate Texts in Mathematics) by Jean-Pierre Serre 是早期的 函數體上類域論的書, 聽說很精采.

Weil Conjecture的標準書就是上述的 Milne 寫的 Etale cohomology theory. 需要對 scheme 理論很熟悉, Hartshorne 整本書都應該看完而且習題作完才能讀這本書.

Arithmetic Geometry by M. Artin, C.-L. Chai, C.-L. Chinburg, and G. Faltings 提到 Faltings 證明 Mordel 猜想所用到的各個分支, 書的結構也是一章一個步驟(專題), 讀完書可能會略知 Faltings 的證明大要 而且會知道更多的分支, 也需要 Harshorne 跟底

David Mumford 的 Abelien Variety 是介紹 Abelien Variety 的標準書, 需要Hartshorne 第二章的知識, 這本書寫的很好, 學幾何的話也可以參考其 1,2章來學 abelien variety和 cohomology and base change. 第三四章講 group scheme 和其 自同構環的算數,如果看的董會對學習數論很大幫助.

Diophantine Approximation and Abelian Varieties: Introductory Lectures by Bas Edixhoven and Jan-Hendrik Evertse 是專門講Faltings 的証明, 把一些太抽象的方法用估計代替, 不需要多少袋鼠幾何, 但是一點 Abelien Variety 還是需要的.

Lectures on Arakelov Geometry by C. Soulé, D. Abramovich, J. F. Burnol, and J. K. Kramer 是比較難的 Arakelov 理論的書, Arakelov 講算數曲面上的性質,所以需要相當多的袋鼠幾何. 另外 Introduction to Arakelov Theory by Serge Lang 是比較早的書. 這些書如果讀了(花個一兩年) 就可以進到算數幾何的最新研究領域, 對Falting 的證明也可以輕鬆掌握.

另外還有 Drinfeld module 的書 是函數體上的橢圓曲線的推廣, Crystalline cohomology 的書 (在下不知是什麼東東, 和 etale cohomology) 有關, 還有所謂 geometric laglands program 的書, 是現在挺紅的方向.. 但是在下認為算數幾何比純數論還美, 只是可以做的大問題比較少罷了..

 to Quillen:
   “Grothendick” 应该是“Grothendieck”吧。你的“Topo”指的是“Grothendieck Topology”还是“Topos”？
  “但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,”我不同意你的这种说法，你的意思可能是：Grothendieck只是给数学建立了一种新的形式语言，使得很多问题的阐述更加方便和直观（一种抽象的简洁）。但是，我觉得这种新的语言本身就包含了许多革命的思想，例如，以前，Riemann-Rohn只是纯粹关于簇的一个定理，而他却把它看作是一个关于簇间映射的定理，这样的话，就等于开创了一片新的天地，而不仅仅是一种阐述上的语言的不同，还有很多这样的例子。

“他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家” ，你指的“直觉”是一种抽象的直觉吗？以前我也不相信有这个东西，直到最近突破了一些东西后，才稍有体会，确有此存在。关于Grothendieck崇尚抽象，有一些是Mumford，Hartshorne等人的歪曲，他们当时根本不理解Grothendieck的思想。Grothendieck的道路还没有走完，现Deligne他们正在努力把凡是适合于Scheme的性质改造成适合于Champs，这是一件艰难的工作。Grothendieck带来了整个数学思考方式的革命化。

“據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質,”，学代数几何要不要学EGA，SGA以及FGA，这个问题我以前请教过一个在IHES游荡的朋友，他的意见是，若你想成为Faltings这样级别的人，你就得念这几千页手稿。至于对其中的精髓的领悟，就全靠个人造化了，当然，前辈高人的指点也是一个重要的条件。其实，世界上真正念这3G的人，可能比学非交换几何的都还要少（Connes曾估计全世界有300多人干NCG），所以，代数几何领域很久没有出Faltings这样的同党了。
 
“抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.”
只要不是人为的Vain Abstract，那么抽象永远是数学发展的动力。关键是要从抽象里领略大自然的构造，在数学观上我承认数学概念或者思想不是我们的发明，而是存在一个先验的绝对的数学世界，或许是柏拉图所谓的数学理念（亦或数学实体？）吧。算子代数已经够抽象了，Connes能够看出隐藏其中的非交换结构居然能够改造我们传统的测度，谁又能想到事情会来个神龙摆尾呢？其实非交换几何现象早就存在了，光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理，早年Gelfand 研究 Banach 代数的时候也发现， 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 “谱” (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种： 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至，而现在的形式表明，Grothendieck的这种发展是极为重要的。 一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何。Connes 就是从某一类 Banach 代数 — von Neumann 代数的研究出发来发展非交换几何的。
代数几何研究的主要对象，簇，是相当刚性的东西，怎样使它稍微软化到能够充分或者肆无忌惮的使用分析的工具，这是一个比较深的领域。有人开始改造经典的代数几何，什么同伦代数几何，非交换代数几何通通出炉了，可是，在思想上仍然没有突破，代数几何仍然笼罩在Grothendieck的阴影下。

代數幾何,過去五十年 和未來一百年

我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持:

1940-1965
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論 和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態. 在1950到1965年間 出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序 描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.:::
她們是 Hodge(加一堆人) 開創複幾何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象語言及新定義(問題):

讓我先講第一項工作.

Hodge + Lefschetz + Kaehler 考慮了複流形的定義和一般的性質, Kaehler 引入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的”Elliptic regularity” 對Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解, 並且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理, 用以連結一平滑代數促和其截面的同掉群.

這是一連串故事的開始, 這個故事到現在,甚至以後一百年內 都不會結束.
（2）

Kodaira 的三大工作:

(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 “Kodaira dimension” 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,

這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形.

配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)

嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理

對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具

變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想.

Kodaira 是神..
1965-1980

這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:

(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間,

(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.

(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,

接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作

(1)
Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.

Grothendick

Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ

他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式

關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 “概形”,另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念.

這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多.

Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.

Topo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的”拓墣中的開集合”, 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.

Grothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.

畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數…

而方法..只因為研究的對象而重要…. ]

（huzhengyu

还有他的标准猜想，至今是不可接近的。stacks现在有很多新的工具了，象源于代数拓扑里的operads，A无穷代数，D模这些。
我觉得抽象化肯定是很核心的数学技术，不然同伦代数不可能会诞生，同伦代数几何就更不必说了。数学的对象有些一直没有变，有些却是全新的。
现代物理学家有不少已经倾向时间和空间都是想象的产物，不是实在仅仅只是心理学概念，那么如果想看一眼最原初的“没有时间和空间的世界”，所需要的数学肯定是抽象的可怕的。
好像是哈代说得，除了自然数一切都是人创造的，不过就现在来看，我个人认为可能自然数也是人创造而不是自然本质具有的，因为集合和数数的概念很可能是人的特征而非自然的本质特征，所以以有理数为对象的数论也许也会慢慢改变它的对象。
不过我非常赞同你对复几何的重视。我也觉得现在代数几何的核心内容是与解析几何的内在联系。
这些只是我的个人感觉，我水平较低，各位请勿见怪。

回答2楼，grothendieck没有自己的学派。他在自传中称此为“葬礼”，认为他离开后的数学界又再次把精力投向技术性的问题而不是开创一个新的几何纲领。他所想象的“新几何”“新数学”被埋葬，因为他之前太过乐观，EGA写到第四本的时候，大家已经开始觉得沮丧，离他的“新几何”的目标似乎遥不可及，尽管他自己坚持认为“只差没几步”了。

就现在来看，做stacks的人还是不少，但是需要巨大的数学基础，而且所有的目标都遥不可及。个人还是认为应该做“炉中烧着的铁”，除非你觉得自己一人之力能够战胜以前在这个目标前失败所有的数学家。

[grothendieck] harvesting and sowing
没有出版的 可以去数学所资料室借复印版的 里面还有pursuing stacks的手稿
不过standard conjecture比hodge猜想推广多了 里面还有他的一篇关于一般意义下hodge猜想推广不成立的简单理由

）。

1965-1980 Part Two

既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見.

David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:

(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構.

這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..

(2) 曲線和 Abelian Variety 的模空間的緊化問題: 模空間的緊化一直是備受關注的問題, 人們想知道幾何物件的退化會變成什麼樣子, Mumford 研究了上述兩種物件模空間的緊化, 並証明了對任意幾何物件退化的 ” Semistable Degeneration” 定李, Mumford 也對 Abelien Group Scheme 作了一些貢獻 , 對算數幾何起了重大的影響.

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Phillip Griffith 相較之下 ,並沒有這麼傑出, 他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作, 他帶領了一堆學生和工作夥伴, 對霍奇結構的變形理論,和霍奇結構退化時的理論,作了相當的貢獻, 他主要的動機是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 問題. 但是他 失敗了 (ps: 霍奇猜想可看成是 torelli 的特例) 他也因此離開了數學界, 留下了他的兩個著名著作: (a) 和 Joe Harris 合寫的 Principles in Algebraic Geometry (b) 和他的團隊合寫的 Topic in Transcendal Geometry

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在1965-1980這個時期中 Pierre Deligne 還提出了他的 Mixed Hodege Structure, 也就是混霍奇結構, 是不平滑的簇的霍奇結構. 另外Hironaka 也證明了 Resolution of Singularity 的大定理 得到非爾茲獎.
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作為此文的作者, 我想說依下我的個人觀點, 雖然 Mumford 的工作比 Griffith 傑出, 但是我以為這只是短暫的歷史現象,Mumford 對他的學生非常惡劣.甚至盜取他的一偽超強女學生,的工作, 相較之下 Griffith 就帶領出一批學生和合作者,他雖然失敗於一個不可能的任務:解決霍奇猜想, 但他的學生在下一個時期中, 持續的在這個綱領上工作, 也取得重要的結果,一直到1996鏡對稱猜想出現,袋鼠幾何界對霍奇結構的重視突然飆高, 隨著這些故事,Griffith 的精神永存.
（想问一下，在那里可以买的到David Mumford 的袋鼠几何书？

你是指red book？还是alhebraic curves on surfaces?或者abelian variety?
mumford这3本书满有名的，后面两本需要hartshorne打底。

第一本哪里有新书买？后两本买你的．多几成新？听说你自己做了一本代数几何的答案，是哪本？可以估价一起卖给我吗？

我就是可以帮你借原版书然后复印装订一下，然后邮寄给你。书本质量要看原版书的新旧而定。
代数几何答案是iitaka的algebraic geometry:an introdution to birational geometry，不过我是手写的，估计你看不懂我的字，哈哈，而且这本书的习题一般，不看也罢。我是用作讨论班的讲稿。 ）

1980-1992 這個時期, 是代數幾何的一個黃金時期, 這個時期有三個大猜想被解決, 幾個分支先後出現, 能人輩出, 真說的上風起雲湧:

解決的猜想:

(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一個猜想, 認為over Z 的一個簇的整數點的個數隱藏了該簇的拓墣性質, 這是一個令人震驚的猜想, 藉由幾何物件連結了拓墣和算數, 這個猜想由 Pierre Deligne 解決, 他用了 etale cohomology 的各種性質, 比如 Lefshetz 固定點公式, 另外Weil 將整數點合在一起寫成一個生成函數, Deligne 證明了這個函數的黎曼猜想, 這些工作是 Grothendick 的 Etale theory, 甚至是代數幾何, 開始受到數論學家重視的原因.

(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 說一個虧格大於等於2又定義over Q 的代數曲線, 只能有有限個有理數點. 這個猜想非常的簡短漂亮, 人們知道虧格零的曲線有有理數那麼多有理數點, 知道虧格一的曲線的有理數點形成一個有限生成交換群(這是Mordell 的定理), 如果證明了 Mordell 猜想, 那就說明了曲線的有理數點結構決定其 Kodaira 維數.這又是一個聯結算數和幾何的特別猜想.

(Kodaira 維數是 Canonical bundle 的 section 的個數增長次數, 曲線有三個 Kodaira dimension, 虧格0 -> K.D=複無限大, 虧格1-> K.D.=0, 虧格大於董於二->K.D.=1)

這個猜想被 Gerd Faltings 解決, Faltings 據說是一個天生下來學習 Grothendick
語言的數學家, 他高中就把 Bourbaki的代數唸完,大學把 EGA SGA 唸完, 他證明 Mordell猜想的方法也是利用 Abelian Variety 的理論, 這個人和 Pierre Deligne 是算數幾何的宗師.

(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一個 Kaehler 形式可以調整為其Ricci曲率為給定的形式, 邱成桐證明了這個猜想, 也證明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性, 在 K trivial 的時候就是著名的 Calabi Yau 流形, 一維時是橢圓曲線, 二維是 K3 曲面或 Abelian 曲面,都只有一種拓墣結構, 三維以上就不依樣 , 至少有數萬種 Calabi Yau 流形有不同的拓墣, 隨著物理的鏡對稱理論和弦論, Calabi Yau 流形變成了和 Eistein 四維時空流形(with Eistein 測度) 一樣重要的物理概念, 成為了到現在20年內代數幾何得重要研究對象. 這個代數幾何和物理的連結, 某種意義上比前兩個猜想的解決還要有意義.
(Yau 的結果雖然是微分幾何的, 但對代數幾何的應用非常多,也可能持續發現其應用, 比如說 P^2 上只有一個 Kaehler 結構也可用此證明)

下次我將說到 Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov 的工作, 雖然第一個和第三個不能算是代數幾何學家, 但是在21世紀的今天, 他們的工作隊代數幾何起了深重的影響, 就如 邱成桐的一樣.
那個 Kodaira 的 deformation 和 complex space 的 deformation 都是所謂的 “first order deformation” (一階變形) 也就是模空間的切空間, 如上述是 次數1的 cotangent cohomology. 而其他次數的 cotangent cohomology 包含的訊息 則是 所有階數的變形, 目前大家開始重視 次數 2 階 的 cohomology 的幾何意義.

如果你要看變形理論 我不鼓勵花太多時間在 Kodaira 的書, 事實上 這世界上還沒有一本把 變形理論講的很完善的書 主要的原因是這是還在發展(得很慢)的學科, 主要代數幾何 (或複幾何) 研究三種東西的變形: 全純映射的變形, 向量叢的變形, 和 variety 自己的變形, 所謂的 Gromov Witten 不變量 和 Donaldson 不變量 就個別是前二者變形理論 的 一階和二階部分應用. 如果想要參考資料, 這到真是很大的問題..

我承認您說的 複幾何的入門門坎很高 也因此個人並不以為 大家都應該來學這個, 畢竟這是象牙塔裡的東西 真的跟世界有關聯的 也是透過玄之又玄的 弦理論 鏡對偁..另外 您如果要看 cotangent cohomology, 可以Google搜尋 “model category and simplicial method” by Paul Goerss (另一個作者忘了), 這篇介紹 Quillen 定義 cotangent cohomology 的方法 但是很不幾何, 而且 Paul Goerss 真是超級好人 我寫信問他五六次問題他都很詳細的答覆. 但是若要從比較好,也就是幾何的,角度 建議 關心一下所謂的 “障礙理論” (Obstruction) 這是上述的 2 階的部份, Kodaira 的書沒有講, Barth 的 “compact complex surface” 查閱 “Kuranishi” 可以找到 定裡敘述, 證明可以看其文章 或是
Daniel Huybrecht 的 “The Geometry of moduli spaces of sheaves” 的第二章附錄 (對向量叢情形)

Riemann Roch 是很重要的定理 証明也不算容易 其一般情形 被當作是 代數幾何計算上同調的少數工具之一, 而 所謂 virtual cycle 的構造 和 Riemann Roch 有非常大的關係.

念到像你這樣 讀書要學會跳躍 不要”一步一步念下去” 盡量尊重自己的直觀. 另外 有問題請務必來討論 我會努力去想….

在中國念博士是很艱難 我去過上海有此感覺 博士生活 就像是 告訴這些有能力也能享受到數學趣味的學生們, 這個世界很殘酷 數學很沒用 賺不了錢 想要數學到底 就要犧牲所有物質慾望 折磨精神 也不要想很輕鬆的養家活口, 然後又常常用一些口號 讚美清高的數學家, 好像做數學就不用買車 不用買房子 不用取老婆 活該躲到山裡面做隱士靠掌聲過活, 一步步的神仙化數學家形象來蠶食學生最後的熱情

這在國外是不多見的 一個成功的國家 應該是對花多少心力工作的人 就能給多少的回報 而且是實際的物質上的回報. 國外連數學工作都講究市場供需, 但是待遇比中國好的多也公正的多 即使數學可以算是跟社會嚴重脫節的科目 在國外你可以看到數學家們受到別的科系的真正重視 因為數學對他們有用..

個人小感抒發 請別介意….

鏡對稱的確是源於物理 但是其中的 幾種對稱已經完全的被數學化 也就是說 他們變成了純粹的數學問題 一般說”鏡猜想”這個名詞指得就是數學中的鏡對稱猜想 Toric 在現有的鏡對稱的數學中扮演非常關鍵的腳色. Victor Batyrev 提出用 互相對偶的 一組 toric varieties 的個別其中的 complete intersection subvarieties 可以得到所有物理上所猜測的 Mirror pair of Calabi Yau 流形 他的這個猜測 已經提供了無數的鏡對稱的例子 和 Strominger, Yau, Zaslow 提出的 Special Lagragian fibration duality 相比較 雖然兩者都是提出製造鏡對稱流形組的猜想 但前者非常的實際並有很多例子 後者一個例子也沒有 (除了幾個沒有意義的例子) 但後者有助於所謂 “Homological Mirror Symmetry” 的可能的証明 有關極小模型, 我想您說的是對的 但只適用於三維或二維 比如說再四維的時候就得吹落一些二維的東西 KE Metric 現在最紅的是 KE flow 其次是 open manifold 上面的 KE, 我的微分幾何也學的不好. KE 是 HE (hermitian eistein)在切叢的特例 我對這個 HE 比較有興趣 他們對應到代數幾何的 穩定性 是很有趣的課題 我將來有時間會好好學一下這個東西..

紧致流形上所有联络组成的空间与流形本身有什么联系？

只看空間沒什麼關係. 但是在上面考慮某些方程 如可積方程 的解集合 就和流行的 複結構有關係, 考慮 anti self dual 方程, 就跟流形的微分結構有關係 等等

连通拓扑空间与其上某点闭道路组成的空间有何拓扑关系?

其同調群和同倫群 都可由原來流形決定..也有其他關係..

模空間, 一般只某些物件的集合有天然更多於拓墣的結構, 通常要有限維, 比如說 虧格g黎曼面的模空間是一個維數是3g-3的平滑 複流形 (orbifold) 或 複向量叢模空間 或 微分方程解集合模空間 等等

Hodge 猜想: 個人傾向認為是錯誤的

先對bird 想用 minimal submanifold 表示質疑, minimal submanifold 幾乎都不會是 subvariety. 除非你可以推廣 mean curvature flow 到 calibrated flow.才有機會證明猜想

即使是對 Abelian Variety 或是 4維 variety, 經過長久的研究 也沒辦法證明是對的. 日前有人 發表 K3曲面乘上自己的反例, 雖然該反例後來有誤, 但我相信 對 genral surface 乘上 general surface 的 middle cohomology 就會是錯的了.

Griffiths 的 Jacobi inversion 本來是想推廣曲線情形到高維來證明 Hodge猜想. birds兄 可以從 樓上說的 “A survey of Hodge conjectures” 這本書中看到. 但是Griffiths 工作了很久 80-90 便發現這是不可能的. 去年底我還聽過他在 stanford 的演講 其中他提議大家來研究 滿足 Hodge 猜想 的 variety 的 moduli space 的 virtual cycle. 這便是說明他已經放棄相信該猜想是正確的了.

其實 Hodge 猜想 顯現了 人門對 variety 的 一般性質的了解是鳳毛麟角, 尤其是 cycles and rational harmonic forms.

盡管如此..情感上很多人還是希望猜想是真. 這個猜想太漂亮了. 如果是對的話.不會比 Index 定理遜色. 人們有時也抱持著這樣的理由: “這麼久都沒有發現反例 多半不會是錯的” 到目前為止. 利用滿足Hodge猜想的 variety定義的 Moduli space 幾乎都被證明滿足 Hodge 猜想. 然而 Moduli space 在 所有的 variety 中佔的太少, 比如 Abelian variety 幾乎都不會是 Jacobi varieties. 所以 也可以說 Hodge 猜想至今沒有進展.

然而 有一件有趣的事情: 我門學過 Hodge (1,1) 猜想可以用 簡單的 exponential sequence: 0->Z->O->O^*->0 取 sheaf cohomology, 配合 hodge 分解 來證明. 如果有心的人 就可以發現 Z 和 O^* 個別是 analytic local ring O_p 的 K^0 和 K^1, 也就是著名的 K group. 高階 K 理論已經被 Quillen 很好的定義, 我門會問自己 Hodge(p,p)猜想 是不是和 exponential sequence 的推廣 以及 O_p 的 K^2,K^3,…K^p (高階K群) 有關 甚至被其證明.. 在 Quillen 的工作 50年後的今天, 人門還是不能計算 K^2(O_p), 所以這條路還很遠 不過已經開始有人在組織集團來計算這些高階K群 比如 Suslin.

另外如果是從事複分析的人 想要研究Hodge猜想並且證明其正確性的話, 有一條, 幾乎沒人去走的路, 也就是研究 聯絡的可積方程的流, 因為 Hodge 猜想幾乎等價於問, “一個 平滑的複向量叢 (當然是在我門的 variety上), 如果其陳類都是 pure type (ie. (p,p) type) 那麼必定存在可積複結構?” 要得到可積結構 很方便 的是找一個 曲率為零的 “d-bar”(音譯) connection. 因此便是要解可積方程, 或許, 陳類是 pure type 可以幫助這個方程解決.

然而 這個方程是一個 over determinied system. 也就是說我門不能期許有很一般的方法找解, 更多的觀察顯示, 這裡有所謂 “virtual cycle” 的問題在作怪..跟 Griffiths 演講中的想法雖然不同(他的是滿足”Hodge猜想的variety的模空間的virtual cycle”, 而我這裡指的是 複向量叢模空間的 virtual cycle”. 但是這兩者同樣表示放棄 Hodge 猜想可以有別的更合理的猜想. 當然的也有可能藉由 證明 virtual cycle of moduli of holomorphic bundles 非空來証明 Hodge 猜想.

要提的是, 想要使用 數學歸納法的方法來證明 Hodge猜想的 很容易知道 只需要證明 (p,p) 猜想 對 4p 複流形 即可. 然而..就算想把 4p 複流形寫成 fibration over curve 來證明Hodge 猜想, 中間會遇到 hodge cycle 躺在 不同的 singular fiber 中而且可能該類在每一個 singular fiber 中的 component 皆非 pure type, 所以不能如此簡單的用 歸納法 來證明 (即使假設對 singular fiber 都有 mixed 版本的 Hodge 猜想成立). 這是 R. Thomas 的文章.

最後想說的, 如果不幸的此猜想是錯的, 那鑽研 Hodge 理論的人必然大失所望 然而 有關 Hodge 理論的大問題並不僅此 比如 Mirror Symmetry 中的 type 2B field 用的是 variation of hodge structure 來算 但本質性的理解還不構透澈 至少在Mirror symmetry的可能的數學證明中Hodge理論應該佔什麼位置 還不清楚. 另外 跟數論的關系 尤其是 Weil 猜想中zeta 函數 分子分母的根 和 variety的 hodge 結構有很深關係 現在沒聽說有什麼猜想提出來(也許因為數論只關心曲線情形, 或是我孤陋寡聞). 當然 也是我最感興趣的 是 如果Hodge猜想錯誤, 那利用 virtual cycle 的理論 (即使只是個方興未艾的理論) 能對猜想做怎麼樣的修正, 我期許這個修正一定是很驚人的…
筆
者是代數幾何工作者..認為代數幾何比微分幾何有趣得多. 雖然微分幾何的重要性是無
庸置疑,但是代數幾何有更多巧妙得構思,也有更有趣的問題.. 讓我來說幾本代數幾何的
好書: ( 在書號後是金庸小說密籍的類比,書評之後有兩個星號數.第一個是困難度.第二
個是重要(趣味)性, 第三個是讀了投資報酬率 從 1 到 5 是 易 到 難(無聊到有
趣) .. )
1 武當長拳( 基本功夫) Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra
和 Matsumura 的 Commutative Algebra 是代數幾何中代數部份的背景知識. 兩本書只
重視代數而不提及幾何,但第一本書的習題有很多引出幾何背後意義的好問題. 事實上任
何一個交換代數的定理 都有幾何意義. A&M 的書寫的很短, 但是把所有的內容都做了簡
介, Matsumura 的書內容非常豐富,如果唸完她就可以開始交換代數的現代研究,可以開
始看文章,這本書比 A&M 多了一些重要的章 節如 “flatness” 和 “Struture 定理”. –

—————————困難度 中 趣味性 ***
2 梯雲縱 (練了想進哪個分支都可以 …) Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry
是代數幾何的經典教科書.任何一個年紀不到五十的代數幾何學家都是學這本書長大的.
這本書是 Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一個非常有系統的總結. Grothendick
的書包含的內容很齊全但是失於不實際: 也就是討論的對象過於一般有時沒有幾何意
義, 這一點十分不好. 但是 Hartshorne 的書把整個 Grothendick 的 Scheme 綱領 作
了一個最恰當的詮釋.這本書的習題也非常重要 不管將來對 算數幾何 或複幾何 或 更
深入的代數幾何 這本書的習題都是永遠有用的.本書的菁華在前三章,很好的處理了
scheme的基礎性質,最重要的大定理是第三章的最後一節”上同調與基轉換” 定理, 是一
個來自複幾何的定理. 四五章分別是曲線和曲面, 但是這兩個專題都有更好的專書介
紹. —————————–困難度 中等 趣味性 ***
3 一套武術服飾(行走江湖 要穿衣服)
Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或 Jost 的
Riemann Surface: 黎曼曲面是數學的核心. 跟一切的數學分支都有重大關係. 上述四個
作者的書都有相當深度. 筆者只唸過 Gunning 的, 是一本比較重視”上同調群” 的好
書. 其他幾本又或重視黎曼面的”雙曲幾何” 或 “黎曼曲面的自同構” 或 “曲線上的特殊
線性系”, 都非常有意思. 很多中國人 還喜歡 伍鴻禧 寫的黎曼曲面引論. 但筆者並不
是非常喜歡. Gunning 書的優點是把層的上同調做了很快但很詳盡的介紹,該書證明
Serre對偶定理和 Riemann Roch 定理的方法使用了廣義函數,和一般的證明不大一樣,適
合喜歡廣義函數多過橢圓方程的讀者. ——————————困難度 易 趣
味性 *** 4 全真派基本內功(一定要練) Griffith& Haris 的 Principles in
Algebraic Geometry. 這本書是經典中的經典.是複幾何的基本教材. 這本書的每一章都
寫的很完美. 第一章是Hodge 理論..是複幾何中最深奧的理論. 第二章是Kodaira 嵌入
定理 複流形的嵌入比實流形的嵌入有趣很多. 第三章是 current 和 spectral
sequence, 是很現代的工具. 第四章 是曲面論 . 寫的很詳盡 但是有更好的書(見6).
第五張是特殊專題 對袋鼠幾何中不同方向的人有不同功用.這本書是學習複幾何的必備
教材.但是學袋鼠幾何的人如果讀了這本書,卻能對袋鼠幾何有一個更全盤更清晰的認識.
也就是所謂站在更高的角度. ——————————-困難度 中等 趣味性
**** 投資報酬率 **** 5 九陽神功 Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex
surfaces. 這本書是經典中的經典中的經典. 講的是代數曲面的各種專題. 每個章節都
寫的無限完美. 可以說如果學代數幾何沒唸過這本書. 甚至是學幾何沒唸過這本書..可
以考慮換行.是百年難得一見的好書. 內容包括曲面裡的曲線,相交數,霍奇分
解,pojectivity,有理曲面分類,Kodaira分類,general 曲面,K3&Enrique曲面. 筆者以為
此書新版的最後兩張寫的尤其好. 一是 K3 曲面 另一個是 Doanaldson 和 Seiber
Witten 理論. 後者是來自模空間的不變量理論.現在都是熱門的專題. —————

—————-困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 6 少林派羅漢拳(如果
沒事 可以練練) Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector
Bundles 這本書是 講曲面和上面的向量叢. 曲面的部分講得有點亂,事實上沒有人把曲
面講的比 Barth 還好的. 向量叢的部分有”穩定性條件”的介紹和刻畫,值得一看. —–

—————————困難度 易 投資報酬率 ***
7 雙手互博(可以連結兩樣功夫) William Fulton 的 Intersection Theory 相交理論
是 袋鼠幾何1960-1990發展的一套基本理論,閱讀很多的專門書籍都需要用到他,本書是
相交理論的大家 Fulton 的代表作, 介紹了 Chow Group 的性質,袋鼠陳省身—-類, 還
有 Fulton 發現的 deformation to normal cone, 用它來做 子簇的香蕉理論,還有很多
專題,這些專題都很現代,相交理論是 Gromov Witten 不變量,Donaldson 不變量,模空間
理論 等的基本知識, 基於這些不變量和模空間是現代袋鼠幾何的發展潮流, 這本書前六
章的必讀性並不亞於 Griffith & Harris 或是 Hartshorne 的書. ——————
- 困難舵 一點點難, 趣味性 ***(主要趣味在應用) 報酬率 ***** 8 吸星大法 (練完就
可以吸取微分拓墣學家的內功以為己用) Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of
Four manifold. 這是微分拓墣中的聖經.兩人都是大家. 此書引出了四維流形的 Gauge
Invariant (規範不變量), Donaldson因為他在此書的工作,對四維流行的微分結構增加
了了解,因而獲得菲爾茲獎,而複曲面是四維流形中的一大類 ..因此也屬於代數幾何. 現
代做這個領域的人不多,但是卻是將來幾盒和拓墣發展的重大方向,Aityah 曾說”21世紀
的數學 是 規範理論的世紀”. ——————————–困難度 難 趣味性
***** 投資報酬率 0 (本書效益在五十年後)
9 乾坤大挪移 (練到一半就夠強了 全部練完你也吐血而亡) John Morgan 和 Robert
Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces. 這本書講得是橢圓曲面和
其上Donaldson 規範不變量理論.作者利用此理論得到了曲面 的一個大定理, 證明了最
多只能有有限個複變形類共用一個微分結構. 是一本很專門的書, 內容非常緊湊而且很
不容易唸,筆者還在努力學習. ————————— 困難度 極難 趣味性
**** 投資報酬率 **
10 Kashiwara的Sheaves on manifolds 這本書非常厚,寫的相關層的拓墣性質,有
Riemann-Hilbert correspondence, 各種層的?#092;算, 變態層和可建構函數, 筆者沒
有唸過所以無法做更多介紹. 11
Hartshorne 的Residues and Dualities 介紹 Derived category 和其上的?#092;算,一
些對偶定理.和 Kashiwara 的書有內容上的重疊,因為Kontsevich 的 Homological
Mirror Symmetry , 所謂的 Derived Category逐漸受到大家的重視.對直攻現代研究有
幫助.
12 筋肉人和加菲貓的無敵風火輪 (練前請三思) Haris 的 The Geometry of
Algebraic Curves. 是有一點點狹窄的領域. 研究代數曲線上的特殊線性系統. 有很多
細節的一本書. 唸完後的最大用處就是研究曲線的模空間Mg, 是現在最熱門的專題,但是
做的人非常多,所以可能入手會很艱辛.也就是很有可能找到你作的題目有其他的大頭也
一起在做.不論如何,唸完此書可以成為一個代數曲線的專家.將來的發展也不少.這個Mg
的延續就是Gromov Witten 不變量,以及所謂的保角場論中的 \sigma 模型. (來自弦
論) ——————- 困難度 難 趣味性 ** 投資報酬率 ***
13 五獄派劍法 (有用處但是相當雜亂.拼拼湊湊) Joe Harris & David Morrison 的
Moduli of Curves 是講曲線的模空間的經典.但筆者唸的有一點頭昏腦脹. 這本書的原
型是前一本書的第二冊.也就是研究 Mg (虧格g的曲線的模空間)的入門書.裡面有
Enumerative Geometry (記數幾何) 的一個全面介紹. 有曲線模空間上的相交數和各種
性質. 該書寫的相當有幾何風味,至少是 Harris 的幾何風味. ————- 困難度
中等 趣味性 *** 投資報酬率 ***** 14 九陰真經 (練完後可以開始真正研究問題)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of Four-
Manifolds. 裡面有Gieseker 寫幾何不變量理論. 李駿的 Uhlenbeck 緊化 和 Gesieker
緊化的比較定理. Morgan 討論 Donaldson 規範不變量 和對此量的計算結果. 此書的分
量不多,也沒有太多繁瑣的性質.各章都直接介紹最重要的結果和想法.不要求太多細節的
驗證. ——————– 困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 15 太極
拳 (一法通萬法通) Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of
Sheaves. 是向量叢 模空間的經典用書. 第二部分有此學科最先進的結果. 各章的附錄
都有很重要又有趣的結果.主要內容包括半穩定叢的分解成穩定叢,穩定叢的陳數不等式
(Bogomorov Inequality), Mumford 的幾何不變量理論, 穩定向量叢模空間的製造, 曲
面上向叢模空間的平滑性,不可約性(李駿的定理), K3曲面上向量叢模空間的性質. 這本
書的語言有點形式化,有可能讀的時候會失去幾何直觀.所以讀者可以參考其他比較幾何
的書,比如Robert Friedman 的向量叢的書. ————————- 困難度 難 趣
味性 *** 投資報酬率 ***** 16 MK47 步槍 Joyce, Gross & Huybrecht 的 Calabi-
Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror symmetry 的專題書. 講
Calabi Yau 流形的各種相關問題. 有Yau 解決 Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想
和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow) 猜想. 還有 HyperKaeler 流形性質的討論.這是二
十一世紀的數學.想要了解Calabi Yau 流形的相關性質的人 一定不想錯過這本書. —-

——————————–困難度 難 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 17 機
關槍 (可以搶銀行)
Pandharipande, Sheldon Katz, Hori… 一群人合寫的 Mirror Symmetry . 除了
Mirror conjecture 在五次三微流形(quintic three fold )的證明外, 還包括了
Gopakuma Vafa 猜想, Homological Mirror Symmetry 猜想, 甚至Mirror Symmetry 的
源頭: 高能物理中的弦論和 保角場論, 全都由專家執筆.. 從難到易..筆者也在修練
中. —————– 困難度 極難(物理部分) 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 18
原子彈(請在沒有人類的地方閱讀) Griffith 的 Topics in Trascendental Geometry
是霍奇結構(Hodge structure) 的一本經典書. 在1985年左右有一大票數學家想解決霍
奇 猜想 (沒錯 就是那個一百萬問題).她們雖然沒有解出來 但對猜想有很深入的了
解 . 本書是她們工作的簡述. 內容包括霍奇結構的變形,霍奇叢,Monodromy,混霍奇結
構,Torelli定理, 霍奇結構的退化,是一本難讀卻很值得讀的書. 如果想要解決霍奇猜想
或者是其相關問題,就得閱讀此書. 鏡對稱的一辦理論其實就是卡拉比-丘 流形的霍奇變
形所製造的不變量. 難度 極難 趣味性 ********************** 投資報酬率
*************************
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另外還有幾本書沒有介紹..例如有關Hodge 理論有 Claire Voisin 的 Hodge Theory
and Complex Algebraic Geometry 兩冊書, 是很新的Hodge 理論和 cycle 理論的書,寫
的很詳細.又比如 Shrinivas 的 Algebraic K theory, 論述了 Quillen 連結 K
theory 和 Chow group 的工作. 這兩樣都是以後很有發展的方向. 一個剛解決的方向是
Mori 的三維代數流形的 Minimal Model Programm , 有非常多的專書..但因為這個問題
剛剛被 蕭蔭堂 以及 其他四個外國人 解決 (所有維度) 其投資報酬率已經是負的了.
也就是說大家可以不用去管它 因為沒有問題可以做了.
其實有很多書筆者並沒有介紹,很大的原因是也沒有讀過所以無從介紹. 比如說
KaiBehrend 最近寫了 Gromov Witten 專書, Tian Gang 寫了Calabi 猜想相關的書.
Dominic Joyce 也寫了關於”special holonomy” 的書. Daniel Huybrecht寫了一本關於
曲面上層的 Derived category的性質的書. 另外筆者認為, 所謂的 Homotopical
algebra(Andrew 和 Quillen 在 60 年代的專著書), Noncommutative Geometry
(Allaine Cone 的工作也有專著), Flow 理論 和 Minimal Surface (比如 Halmilton
的 Ricci flow, 或是 Kaheler flow), 一種叫做 Microlocal analysis (Kashiwara 有
專著) 的理論, 無限維李代數的表示理論(Kacs Moody algebra), 數論相關的 Motivic
理論, Yang Mills 和 Chern Simon 方程的理論, 都將對一百年內的袋鼠幾何發生影
響. 其中任何一個方向要學好都是非常花時間的事情,經通兩項就已經難如登天了,希望
各位袋鼠可以找到最喜歡的方向.

十大幾何拓墣家 

(本是在咖啡屋;經 bird 兄糾正後換在本版)
編查標準: 幾何＞拓墣 數論大家省略..
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1.黎曼
2.Poincare (彭加勒)
3.Hodge
4 Grothendick
5 Serre
6 Daniel Quillen
7 Donaldson
8 Shin Tung Yau
9 Edward Witten
10 Maxim. Kontsevich
====================================================================

在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說

1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼

2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究

3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..

4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)

5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)

6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭

7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去

8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..

9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)

10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作很多時候顯得制式化……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…

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路人提問:

Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但表示理論的問題除組合和代數技巧性難關外通常沒有難度 相對比較 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 大部分的數學家回到那個時代 都會做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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RR兄您好:

Griffith Harris 是很棒的書, 不過第零章有一個關卡 就是 Hodge 分解的証明 , Warner 的最後一章可以做為小替代方案 另外您提的多複變其實 該書並沒有要很多 , 只除了前二十頁有用到之外後面就幾乎不用到了 強烈建議把第一章給讀了.. 不會是太困難的工作

我的 Email 是 hlchang@math.stanford.edu 不知道您有否寄錯, 不過也有可能你寄對但是因為是中文信件被系上自動標示為”spam” 於是就被我不小心刪掉 如果要寄的話可否寄往 chhwli@hotmail.com

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“是否能够谈谈现在的代数几何里哪些方向是最有发展前途的?我想,与数论的联系大概是取基域为有限域的原因.”:
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這是個有點大的問題 讓我區分為以下兩種:

代數幾何但是偏向複幾何: 最大宗的分支現在是圍繞在 Calabi-Yau 流形的研究 代數幾何中的各種理論 包括 Gromov Wittem 理論, Donaldson-Thomas 理論, Variation of Hodge Structure(霍奇結構變形理論), Toric variety 的領域, 簇的 Degeneration 理論(退化理論), Derived Category (誘導範疇)的理論, 非交換幾何的理論, 等等都在 Calabi Yau 流形上起了相互影響的現象. 這些影響有些是物理學家猜測然後被數學家以例子證實, 有些直接是數學家猜測 不過都沒有所謂的嚴格的証明 , 大家都知道”有東西在那邊” 但是不知道是什麼. 另外這個方向也和幾乎所有的別的數學學科起了交互作用, 包括 微分幾何中的廣義相對論, special lagragian(特殊拉格朗日子), curvature flow(曲率流), Hermitian-Eistein connection(連絡=規範場), Chern-Simon 理論…包括 辛幾何中的 Fukaya category, Floer homology, integrable system..等等甚至在表現理論, 數論 都有影響 幾乎是無孔不入

代數幾何偏向算術: 這主要是圍繞在算術的幾個猜想上, 包括 Birch-Swiner Dyer 猜想, Hodge 猜想(也可以算上面的但是現在做的人很多是從算術面), Bloch 猜想, Higher Chow theory, p-adic Hodge theory, 等等

我對第一種比較熟一點.. 很多人從不同的方向來研究這個方面 不過個人覺得做第一種的一定要研究一下模空間 會比較有意思..另外也以為代數拓墣中的 同倫理論 和 spectrum 的理論 在抽象的代數幾何發展中也會起到作用

在幾何與拓墣大約一百多帖前有我發的代數幾何百年發展, 基於某些原因暫時沒有完成1900-現在 的部份 但是之前的部份您可以看到是過去一些大理論的描述..那些理論雖然是過去發展的 但也可作為參考的標準 很多在現在也提供研究的課題 可以此看到代數幾何全面的方向和猜測將來的趨勢..我以後會多寫一點這樣的東西…希望多多討論