Let G be an algebraic group, we can consider all the finite dimensinoal repre
sentations, they formed an abelian category. Usually, this category we denot
ed by Rep(G).
For this algebraic group, we have an associate dual algebraic group \hat{G}.
\hat{G} is called the langlands dual group of G.
Another thing in Representation theory is that Rep(G) is not only an abelian
category but also a tensor category with more structure. We have mentioned in
long long time ago, there is a philosophy–Tanakian Philosophy which saids f
or a certain tensor category, we can reconstruct an algebraic group.
The interseting thing is that we have another more geometric way to understan
d the langlands duality.
For G, we can consider the set G(C((t)))/G(C[[t]]), it is so-called affine gr
ass
manian denoted by Gr_{G}. We can give it a inde-scheme structure.
It then have a G(C[[t]]) acts on this space, now we consider the following ca
tegory Perv(Gr_{G})^{G}–G(C[[t]])-equivariant perverse sheaves on Gr_{G}.
In Ginzburg’s paper
http://arxiv.org/PS_cache/alg-geom/pdf/9511/9511007v4.pdf
, he gave the tensor category structure on this category and established an c
ategory equivalence:(more than tensor category)
Perv(Gr_{G})^(G(C[[t]]))======Rep(\hat{G})
which in some sense is the start point of the geometric langlands program.
After sevral yrears Vilonen and Mirkovic in their papers gave a more strongly
version:
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9911/9911050v1.pdf
表示论中，对于一个代数群，我们可以造出相应量子群（quantum groups）和仿射李
代数（affine lie algebra）．一个是非交换的，一个是无穷维的．
关于代数群的表示的结构，经典的表示论书籍中都已经做了详尽而完整的表述，大家
感兴趣的是关于后面两者的相应结果．８０年代～９０年代，Lusztig, kazhdan,还有许
多其他人在这里面作出了很好的工作．
代数群的表示和李代数的表示之间的关系是密不可分，在假定代数群单连通时，代数
群的表示范畴等价与李代数的表示范畴．对于本科生来说，比较熟悉的应当是＜＜GTM9-
introduction to Lie algebra and representation theory＞＞中的内容．
GTM９中的李代数是考虑域特征为０的情况，一个很自然的问题是考虑域特征为某个
素数时，相应的表示理论的情况．
在通常量子群的教材中（见kassel），我们需要其中的参数取值不是单位根．但更加
有意思的事情发生在参数值取值单位根时．
在表示论里面，有一个我至今没有见到明确出处的猜想（或者folklore）,说当量子
群的参数取值特定的单位根时，其有限维表示范畴,等价与前面说过的域特征为某个素数
时的李代数的表示范畴．
除此之外，上述两个范畴还等价于仿射李代数的某类表示组成的范畴．
表示论里面有一个很特殊的对象，幂零锥（nilptent cone）,这个对象在代数群表示中很
重要．在２中我们提到的问题有一种方案就是通过和幂零锥相关的一些理论来提供一个解
释．
给定一个代数群，考虑相应的李代数，其中的全体幂零元构成了一个锥，它在共轭作用下
是不变的，所以可以考虑其上的共轭轨道．这些轨道，在代数群表示中占了重要地位．
下面我们要说的是，这个幂零锥从几何上来说是一个很坏的对象，其上的奇异性是相当厉
害的．但是神奇的是，我们有一个相当简单的消解（resolution）–Springer消解．
这样子给出了的消解的每一根纤维(fiber)称为Springer纤维．这个纤维的几何十分丰富
．
在前一篇中我们提到过一个猜想（或者folklore）,有一种方法就是使用Springer纤维作
为桥梁．在
[ABG] http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0304/0304173v3.pdf
中，给出了这样的一个证明．
Rep(quantum)———-geometry of springer fiber——perv(Gr)
上面的关系写的很粗糙，具体的还是请看文章中的表述．
我们考虑一个简单的例子，考虑SL(2,C)，它是最简单的的复单李群，其李代数我们
记为sl(2,C)．其中幂零元就是行列式为０的矩阵，所有这样的元素组成的集合形成一个
锥－－幂零锥（nilpotent cone）.它是一个代数簇（Algebraic variety）.这个代数簇
不是光滑的．为了更好的得到直观景象，建议考虑一下相应的实图像．
考虑如下的簇
｛（b,x）| b \in B, x \in b｝包含于 B \times sl(2,C)
其中B=P^{1}是相应于SL(2,C)的旗簇（Flag variety）.为sl(2,C)的borel子代数构
成的集合．同时也是所有C^{2}中的１维子空间组成的集合．
将前面的代数簇向第二个分量投影，考虑这个映射下，幂零锥的原象－－可以证明，
这个原象是旗簇的余切向量丛（cotangent bundle）.这样子我们得到了幂零锥的一个消
解(resolution).
这个消解在０点的纤维是B=P^{1},在其他点的纤维是１一个点．也就是０点之外是同
胚．
对于一般的李代数，我们也可以类似的构造这样的消解，这种消解被称为springer
消解（springer resolution）.
在这个特殊的情况下，这个消解是和幂零锥在０点的blow up是一样的．但是在其他
情况下，两者就不相似了．
关于奇异性的消解，一个很值得注意的是，我们考虑一个向量丛E在某个空间X上，如
果假定存在一个向量丛F使得 E直和F是平凡从 X \times C^{n}， 考虑E向C^{n}的投影
，这样子得到一个映射．这个映射的象通常都是奇异的．在某些特定的情况下，这个映射
就是相应的奇异性的消解．比如blow up和我们这里介绍的Springer resolution.
都是这种情况．我不清楚是不是所有的奇异性都可以用这种手段进行消解．大致找了个说
法好像可以说明．但是我对这个不熟悉，纯属胡说．
Kazhdan Lusztig理论．
曾经以为这个名称专指一个，后来被一位师兄指正，说他们两个人做的理论不止一个．但
是我还是比较愿意用这个专指那个让我对表示论感兴趣的理论．
在李代数表示中，对于给定的支配整权(dominant integral weight),可以造出两个模，
一个是Verma模，我们记做V_{\lambda}，另外一个是不可约模,我们记做L_{\lambda}．
我们考虑一类李代数的表示，称为范畴O(是字母，不是数字)．具体定义我们这里不具体
说．我们需要的是这个范畴所具备的如下性质：
这个范畴的K-群有两组自然的基｛V_{\lambda}｝和{L_{\lambda}}．
一个自然的问题是考虑这两组基之间的变换关系．令:
L_{\lambda}=\sum_{\mu} a_{\mu,\lambda} V_{\mu}
这里a_{\mu,\lambda}是常数．
Kazhdan-Lusztig给出了一个猜想，说这个常数是某个多项式的首项系数．在他们的文章
Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53 (1979)
, no. 2, 165–184.
中有详细表述．
这个猜想的最终解决方法是很神奇的事情，整个证明没有特别实质性的克服难度的过程．
进行了一系列等价的问题转化，最后使用了Deligne在证明Weil猜想中的某些结果解决问
题．这个过程在下Joseph bernstein的讲义Algebriac D-theory的最后一讲有简要叙述．
http://www.math.uchicago.edu/~arinkin/langlands/
个人认为这个证明，也许是现在比较热的几何表示论的最初出发点．
1990年Lusztig在ICM上的做了题目为＂Intersection cohomology methods in repr
esentation theory＂的一小时报告．从这以后，表示论里面就充斥着一个初看起来很混
乱的对象－－非正当层（perverse sheaves）.根据某个八卦里面传说，Grothendieck曾
经感慨，怎么能够起这样子的一个名字呢？
相交上同调（intersection cohomology）最初是Macpherson试图在有奇异性(singulari
ty)的空间上建立比较好的同调理论，使得满足最重要的Poincare对偶．一开始的构造完
全是纯粹拓扑的，从构造上看，我们可以真实的看出为什么叫做相交上同调：）．可以参
考：
Intersection homology theory. Topology 19 (1980), no. 2, 135–162.
这样一个纯粹的拓扑的构造，经过Macpherson，Deligne, Bernstein, Beilinson,G
aber等人的发展，就产生了后来的非正当层．以如下的两篇文章为代表：
Faisceaux pervers. (French) [Perverse sheaves] Analysis and topology on
singular spaces, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Math. Fran
ce, Paris, 1982
Intersection homology. II. Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77–129.
通常行内人士简称BBD(有一个八卦，说这篇文章其实是四个人，还有一个Gaber，但
是最后的那个不愿意署名)．
在这里，另外一个不得不提的八卦，据说现在Harvard的教授Gaitsgory还有另外几个
强悍的俄国人在高中的时候就读过这篇文章．．．各种无语．
根据不完全观察，现在，俄国出名的年轻数学家大多高中经历过数学竞赛，但是Gai
tsgory是竞赛成绩不突出的一个，据他自己被人采访的时候的说法，他不习惯做孤立的难
题 ：P ．
另外，俄国人的数学学校制度培养了不少牛人，比如Bezrukavnikov，根据他自己的
陈述：他的数学观点是高中参加数学学校的时候确立的．．．继续无语．
回到非正当层，我们这里先大致树立一个观点：非正当层不是层(sheaves)．是一个
满足特定关系的层复形（Complex of sheaves）.
注：非正当层是我直译，我不清楚正式的中文应该翻译成什么样子．
在现在的表示论中，基本的语言就是非正当层(perverse sheaves)，以及SGA4 1/2中
的一套关于层（sheaves）的理论．
我们这次主要说一说层的基本理论.在某种意义下，层的上同调是拓扑中的同调的推
广．好像很久以前在这个版面上的某个帖子中提到过．（此处省去xxx字）．
下面我们要说一下在｛sheaves/some topological space｝这个范畴上有的一套理论
框架－－函子公式．（six functor formula）
令f为X到Y之间的连续映射，我们有如下的六个函子：
f_{*},f_{!},f^{*} Hom( , ), \Otimes
这里的五个都是比较常见的，第一个就是简单的推出(push forward),第二个是紧致
的推出（push forward with compact support）,第三个是第一个的左伴随(left adjoi
nt).这几个都是可以在普通的层范畴定义的，下面我们要说的是最后一个，通常不能够在
层范畴定义：
f^{!}.
这个算子在某种意义上等价于Poincare对偶．通常我们想在一个比较新的框架下使用
这套形式的语言来进行推导的时候，难度通常都是在如何定义最后这个算子．
具体定义．．．我实在是不想写了，我入门的时候读的是，Dimca, Sheaves in top
ology. 以及 Massey: Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
后面那个是电子版本：http://front.math.ucdavis.edu/math.AG/9908107
当然还有如下的文章也是比较好的介绍．
http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0307349
这六个函子之间有一系列公式，上面的三篇文献中都有提到．而且我们这里很马虎的
一个地方是，其实这六个函子以及相应的一系列公式实际上在导出范畴定义(derived ca
tegory)的．我们以前没有提及过导出范畴，姑且就先这样吧．
第一次读的时候，建议把所有的东西想像成光滑的．这个时候，我们不需要在导出范
畴上工作，你会发现，你所得到的就是最基本的拓扑的同调论中，你经常见到的结论．
注１：这里六个函子其实也有人把 \Otimes, f^{!} 或者Hom中的一个用对偶函子来
代替．
注２：如果我们有对偶函子，实际上它的作用就和Poincare对偶类似，但是在Sheav
es这个范畴，我们把这个对偶性叫做Verdier对偶．
注３：在我们遇到一个新的范畴的时候，考虑一下建立这样子的六个函子，然后由此
来推出相应的性质是一个思考问题的模式．然后这六个函子的建立就依赖于具体的问题了
．
注４：作为注３的补充，我们需要指出的是，最直接的一个例子，是考虑代数几何的
概型以及其上的拟凝聚层（quai-coherent sheaves）,我们可以造出这样的六个函子／具
体的构造在Hartshorn: Residue and duality中有．
注５：作为注３的另外一个补充，另外一个例子就是考虑代数簇／char p的域上的l
-adic层，这样子也可以造出六个函子．具体的构造在:
Reinhardt Kiehl: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l’Adic Fourier Tra
nsform
中有．而且最后这个是现在大家用的比较多的一套理论．
注６：这个系列其实只是想简要说一下，我所了解的表示论现在是什么样子，以及提
供一些参考文献，介绍一下基本的知识储备是什么样子．让某些对几何表示论感兴趣的人
知道自己要学的东西大致是什么怎样的，以及该学些什么．而且我也不知道最后会写成什
么样子．因为有些符号太复杂，可能根本就不打算写了．
这里很多参考文献我自己并没有仔细的从头读过，通常只是找自己要的东西．并不建
议照着这里提到的文献完全读一遍．
而且以我自己问一些出名数学家的经验来说，其实他们也说自己真正仔细读过的东西
不多．比如我一直以为Bezrukavnikov读过所有SGA,但实际情况是，他只读过SGA 4 1/２
．其他的东西都是以后在需要的过程中学习的．
以我的经验而言，以前某老师告诫过我，数学不同的领域是相通的，当你某个领域深
度达到了，了解其他的领域的结果的时候就是比较容易的事情，现在我深以为然．
补注：
Victor Ginzburg: I work mostly in geometric representation theory and in n
oncommutative geometry.
Geometric representation theory tries to apply the methods of algebraic geom
etry for studying representations of various algebras important from the rep
resentation theoretic perspective. Typical examples include:
1. Classification of irreducible representations of Hecke algebras (Deligne-
Langlands-Lusztig conjecture) in terms of K-theory and perverse sheaves;
2. Applications of D-modules and perverse sheaves to representations of comp
lex or real reductive groups and to semisimple Lie algebras (Kazhdan-Lusztig
conjecture);
3. The study of integrable representations of quantum groups using the geome
try of quiver varieties (Nakajima);
4. Geometric Langlands program.
To get more details I suggest to look at the Intro in our book: Chriss-Ginzb
urg, Representation Theory and Complex Geometry (Birkhauser Boston, 1997), o
r at my survey article Geometric Methods in Representation Theory of Hecke A
lgebras and Quantum Groups.
During the last 5-10 years, I’ve also got interested in what may be called n
oncommutative geometry. This subject is rather vaguely defined. Some of the
inspiration comes from the theory of quivers (I teach a course on quivers qu
ite frequently). For a good survey you may look at the lectures by Crawley-B
oevey. Another source of inspiration comes from Mirror symmetry and, more ge
nerally, from the mathematics appearing in string theory. To get a rough ide
a of what I mean, you may want to look at the following papers:
# V. Ginzburg, Lectures on Noncommutative Geometry
# V. Ginzburg, Non-commutative Symplectic Geometry, Quiver varieties, and Op
erads, Math. Res. Lett. 8 (2001), no. 3, 377-400
# P. Etingof, V. Ginzburg, Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser sp
ace, and deformed Harish-Chandra homomorphism, Invent. Math. 147 (2002), no.
2, 243-348
I have 7 graduate students at the moment; all of them choose their own favor
ite topic for research, not necessarily directly related to what I’m doing m
yself. However, I do have joint projects with some of my students.
Post a Comment