对宇宙的沉思

大致可以把伟大的数学家分为两大类;一类为宇型的,一类为宙型的.何谓宇型?如同哲学长河中的亚里士多德,柏拉图,康德,胡塞尔等建立了伟大体系的人,数学中如此之人有哪些呢?自古以降,廖若疏星,Newton,Gauss,Galois,S.Lie,E.Cartan,A.Grothendieck,Kolmogorrov,丘城桐,Kodaira,Euclid,Fourier,Cantor,Riemann.何谓宙型?像哲学门中的那些形而上的先知们,他们的洞见穿越了时空中的迷雾而辉丽万有,烛照三才.有点类似于古希腊残篇断简中吐放的绵绵密密的智慧的幽光,照了古人照今人,以那种不朽的寂静的方式驱散着一代又一代人心的黑暗和孤独.如哲人中的苏格拉底,基尔凯廓尔,尼采,Wittgenstiein,Heidgger等,数学中这样的人,大概也如这世界上有趣的人一样少!毕达哥拉斯,阿基米德,Fermat,祖冲之,刘徽,朱载堉,Poisson,Abel,Ramanujan,ЧебbIшев.ПaфHутийЛbвович,I.Schur,Poincrae,Langlands,Shimura,Harish-Chandra,Weil,Witten,E.Noether,I.M.Gelfand,Selberg,Siegel,Hilbert,Markov,他们大概可以位列其中.如果以武学的手法论数学,宇型数学家有点类似于洪七公,王重阳,逍遥子,扫地僧,李寻欢之类, 宙型数学家则有点类似于风清扬,胡不归,叶孤城,陆小凤,燕十三一类.不管是武学的江湖还是数学的江湖,都是这些人的血,汗和才情所构成.他们的思想和功业,使数学这个伟大的宇宙得以运转,这些宇宙般永恒的英雄们的事迹,好似那些绝代侠客们的铁血柔情,在江湖的每个角落里不息的流传着,一朝江湖人,千古侠客梦.那些天才的公式带给人的一瞬间的灿烂和兴奋,只有天涯边那一剑的寂寞,明月下那一刀的风情才能媲美.这种美能在刹那间燃烧我所有的欲望,碾碎天地间所有的寂寞,洗掉身上这万丈红尘,而得以聆听那广陵瑶琴为我奏响的三千绝响,在一种纯粹的境界中我步入了群星驰舞的莽莽高山.数学与哲学的目的一样,都是要从逻辑上澄清思想.数学不是一门学说,而是一项活动,一种不断揭示宇宙新结构的进程,本质上,它是由一系列的概念和解释所构成,数学的成果不仅是些或新或旧的命题,而且也包括对这些命题的澄清.若没有数学,这个世界会相当混乱和嘈杂,关于世界的图画不会像而今这般的绚烂和动人.上面这些,是些须关于数学和数学人的故事,也包含了我的隐喻,我冀望着在某些余霞漫天的黄昏,淡淡的晚风寂寞的吹着,在我的感觉边上,坐着一位人淡如菊的女子,温情脉脉的守侯着玉壶中的香茗,我却沉醉在这胜似月色的温柔里,沉醉在那些人,那些人的动人的数学,动人的故事里,恰似那天外飞鸿,对苍茫大地,万古长空的沉醉.故事已尽,梦亦醒,我们该上路了.数学中最重要的是”道”,古人云:阴阳之变之谓道,显示了”道”本身包含了思想,命题,概念以及它们的不断更新,正所谓:江山代有人才出,数学贵在道之易.窃以为,无论创造新的数学还是学习旧的数学,”概念”都是核心,整个数学,就是对其概念的组合,运动和阐释.数学中我们关心的所有重要事情,都是由对概念的天才操作所生发.接下来,将是一个通过概念的长征,因为学识的局限或俗事的缠绕,可能,我最终走不完它,但,作为一种仪式,或者一种象征,第一步,绝对要迈.
人生相当虚幻,最终,尘归尘,土归土.我愿像燕十三一样被自己的那一剑所毁灭.那一剑是不朽的,足以烛照千古.数学,像武学一样,需要绝对的诚心正意,值得耗尽自己一生的心血,为的是什么?为了一种境界,一种瞬间的绚烂.
在征程启始之际,我喜欢首先为自己造一个机器,或者说,搭建一个脚手架,然后,我就心安理得地在其中细致的劳作.
我将陆陆继续地讲述下面这些迷人的概念的故事,或许,这”陆续”会拖得很长,长得令人愤怒.
1,Variety:当然,最常听到的是Algebraic Variety,当然,在AG(algebraic geometry)和AAG(arithmetic geometry)里,最重要的,经常被提到的簇是:Shimura Variety, Jacobian Variety, Abelian Variety,Hodge Variety,Piard Variety,Modular Variety,etc.其中Shimura Variety和Abelian Variety又格外重要,一维的Abelian Variety便是椭圆曲线,而Shimura Variety是Langlands计划中的核心研究对象.
2,Scheme:它是Algebraic Variety的推广,这是一个重要性无论被估计多高都不为过的概念,我将会详细的对它进行阐述,因为,在它上面屹立着许多辉煌的大厦,比较常见的有Abel Scheme,有限群概形,形式群概形,等等.
3,Cohomology:这是一个搞数学的人必须掌握的一种技术,威力无穷,当然,它可能会有一个相当悲凉的下场,Motif 横空出世的那天,或许就是它的末日.常见的,非常重要的一些上同调有:Galois Cohomology,Cech Cohomology,(它是所谓的Cohomology of Sheaves的一种特殊化),etale Cohomology, Crystalline Cohomology, L-adic Cohomology,Quantum Cohomology,De Rham Cohomology,Cyclic Cohomology(这是Connes发展的NCG里面的一个重要的概念,当然,在同调代数中也比较有用),Motivic Cohomology,这是Vodvoesky最近几年才发展起来的一种新的上同调,他通过借助Algebraic-K Theory和Homotopic algebra等工具,然后再构造一系列复杂而抽象的关于 motives的triangulated category ,初步的实现了格先生当初的一些梦想,建立起了一个所谓的bigraded motivic cohomology theory H^p,q(X) for algebraic varieties.
4, Group:这是Galois的天才工作,里面最重要的是Lie Group和Galois Group.现在,高阶K Group已经越来越重要了..
5,Module,这是现代数学中一种很重要的看待数学的观点,里面相当重要的是Galois module.这可说是现代数论的核心研究对象.
6,Algebra:这里的algebra指的是一种数学结构，在逻辑学里，有Boolean algebra ，Heyting algebra，在集合论里，有algebra over […]