RR兄您好:
Griffith Harris 是很棒的書, 不過第零章有一個關卡 就是 Hodge 分解的証明 , Warner 的最後一章可以做為小替代方案 另外您提的多複變其實 該書並沒有要很多 , 只除了前二十頁有用到之外後面就幾乎不用到了 強烈建議把第一章給讀了.. 不會是太困難的工作
我的 Email 是 hlchang@math.stanford.edu 不知道您有否寄錯, 不過也有可能你寄對但是因為是中文信件被系上自動標示為”spam” 於是就被我不小心刪掉 如果要寄的話可否寄往 chhwli@hotmail.com
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“是否能够谈谈现在的代数几何里哪些方向是最有发展前途的?我想,与数论的联系大概是取基域为有限域的原因.”:
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這是個有點大的問題 讓我區分為以下兩種:
代數幾何但是偏向複幾何: 最大宗的分支現在是圍繞在 Calabi-Yau 流形的研究 代數幾何中的各種理論 包括 Gromov Wittem 理論, Donaldson-Thomas 理論, Variation of Hodge Structure(霍奇結構變形理論), Toric variety 的領域, 簇的 Degeneration 理論(退化理論), Derived Category (誘導範疇)的理論, 非交換幾何的理論, 等等都在 Calabi Yau 流形上起了相互影響的現象. 這些影響有些是物理學家猜測然後被數學家以例子證實, 有些直接是數學家猜測 不過都沒有所謂的嚴格的証明 , 大家都知道”有東西在那邊” 但是不知道是什麼. 另外這個方向也和幾乎所有的別的數學學科起了交互作用, 包括 微分幾何中的廣義相對論, special lagragian(特殊拉格朗日子), curvature flow(曲率流), Hermitian-Eistein connection(連絡=規範場), Chern-Simon 理論…包括 辛幾何中的 Fukaya category, Floer homology, integrable system..等等甚至在表現理論, 數論 都有影響 幾乎是無孔不入
代數幾何偏向算術: 這主要是圍繞在算術的幾個猜想上, 包括 Birch-Swiner Dyer 猜想, Hodge 猜想(也可以算上面的但是現在做的人很多是從算術面), Bloch 猜想, Higher Chow theory, p-adic Hodge theory, 等等
我對第一種比較熟一點.. 很多人從不同的方向來研究這個方面 不過個人覺得做第一種的一定要研究一下模空間 會比較有意思..另外也以為代數拓墣中的 同倫理論 和 spectrum 的理論 在抽象的代數幾何發展中也會起到作用
在幾何與拓墣大約一百多帖前有我發的代數幾何百年發展, 基於某些原因暫時沒有完成1900-現在 的部份 但是之前的部份您可以看到是過去一些大理論的描述..那些理論雖然是過去發展的 但也可作為參考的標準 很多在現在也提供研究的課題 可以此看到代數幾何全面的方向和猜測將來的趨勢..我以後會多寫一點這樣的東西…希望多多討論
(本是在咖啡屋;經 bird 兄糾正後換在本版)
編查標準: 幾何＞拓墣 數論大家省略..
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1.黎曼
2.Poincare (彭加勒)
3.Hodge
4 Grothendick
5 Serre
6 Daniel Quillen
7 Donaldson
8 Shin Tung Yau
9 Edward Witten
10 Maxim. Kontsevich
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在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說
1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼
2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究
3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..
4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)
5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)
6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭
7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去
8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..
9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)
10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作很多時候顯得制式化……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…
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路人提問:
Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但表示理論的問題除組合和代數技巧性難關外通常沒有難度 相對比較 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 大部分的數學家回到那個時代 都會做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但在我看來 表示理論的問題除組合和代數特色外通常沒有難度 不過 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 如果我是當年的數學家 我做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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楼主的十大,如果仅看1950年以后,还是很中肯的,但是不能把先人和现在的人想提评论的说,这个比较本就不在同一层次上.
其实Chevalley也是非常非常好的数学家,我觉得他至少不比Serre差很多.
也许Yau跟楼主有千丝万缕的联系,但是Yau确实难以跻身前10,甚至如果宽泛一些的说,前30
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您說的沒錯 但是我個人認為 1950 年以後的數學家當然比 1950 年以前的強很多 Riemann Gauss Poincare Hilbert 是僅有的四個例外 但也不見得他們的層次就高到哪裡去
Chevalley 對純代數的貢獻比較多 但是對幾何 拓墣 都沒有 SERRE 大
Yau 和我的關係不大 也就是老闆的老闆 數學上也沒有聯繫 Yau 擠身前十是我個人的觀點
姑且不論 相對論或正質量定理 Yau 找出來的 Kaehler Einstein 度量在 過去 20 年內人們完全沒有更深刻的認識 其重要性在幾何裡面是非常巨大的 類似的度量在下個世紀會是幾何研究的核心.
我在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說
1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼
2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究
3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..
4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)
5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)
6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭
7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去
8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..
9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 我就不敢在這邊說了 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)
10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作太過制式化 不算是由心而發的數學……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…
Hartshorne的AG,我只粗略的看了前三章,感觉这本书看后收获不是很大,现在,我总感觉自己的几何学的太少了,代数几何里尽管用了很多代数知识,要懂很多的同调代数,但是,我觉得心中对这些代数对象没有一个对应的几何印象,学起来总是感觉隔了那么一层,
还有一点个人建议,你还是要弄一个博士头衔在手上,否则以后要吃很多亏的.如果有条件,还是去国外拿个博士.在国内你是不断的追赶前沿,但是,在国外的那些好的数学系或者研究机构,你就置身于前沿中,你就是主流.很欣赏你的这句话:数学的灵魂是自由的.我们喜欢数学,主要是仰望数学中那永恒的自由给人带来的一种内心的宁静!
R.R. 兄您好:
雖然是發給Hu兄的帖但也讓我插幾句話: 我第一次唸Hartshorne 的時候也是不太舒服 但我想很多第三章的定理在複幾何中都是很難用解析方法輕易證明的. 不過如果能看 Griffith Harris 就更好了. 事實上HARTSHORNE 的書可以讓我們更好的研究 singularity, 是現在幾何學最難的部份(微分幾何幾乎無法處理) 也可以讓我們考慮over 非複數體的情形(主要為了數論的影響)
另外”在國外拿博士” 這件事真的是一個很痛苦的過程 我五年念下來錢沒賺多少白頭髮倒是長了幾根..不過我想有心的話也許真應該出來看看.
| 引用 (huzhengyu @ 2007年04月03日 21时08分) |
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1 我总觉得镜对称很物理。请问toric geometry在镜对称中的应用？
2 另，据个人感觉，极小模型的得到基本是通过-1曲线的吹落的终端元。不知您认为对否
3 最近有不少关于Kahler-Einstine metric的文章，有兴趣聊聊吗？ |
Huzhengyu 兄您好:
鏡對稱的確是源於物理 但是其中的 幾種對稱已經完全的被數學化 也就是說 他們變成了純粹的數學問題 一般說”鏡猜想”這個名詞指得就是數學中的鏡對稱猜想
Toric 在現有的鏡對稱的數學中扮演非常關鍵的腳色. Victor Batyrev 提出用 互相對偶的 一組 toric varieties 的個別其中的 complete intersection subvarieties 可以得到所有物理上所猜測的 Mirror pair of Calabi Yau 流形 他的這個猜測 已經提供了無數的鏡對稱的例子 和 Strominger, Yau, Zaslow 提出的 Special Lagragian fibration duality 相比較 雖然兩者都是提出製造鏡對稱流形組的猜想 但前者非常的實際並有很多例子 後者一個例子也沒有 (除了幾個沒有意義的例子) 但後者有助於所謂 “Homological Mirror Symmetry” 的可能的証明
有關極小模型, 我想您說的是對的 但只適用於三維或二維 比如說再四維的時候就得吹落一些二維的東西
KE Metric 現在最紅的是 KE flow 其次是 open manifold 上面的 KE, 我的微分幾何也學的不好. KE 是 HE (hermitian eistein)在切叢的特例 我對這個 HE 比較有興趣 他們對應到代數幾何的 穩定性 是很有趣的課題 我將來有時間會好好學一下這個東西..
huzhengyu 兄:
在下真的對 Birational Geoemtry 沒有研究 . 我都是泛泛的聽說一些名詞 比如說 flip flop 是曲面情形的 blow up(down) 在高維的推廣 還有說在高維極小模型必須容忍不平滑的情形出現 有兩種不平滑性: canonical singularity 和 minimal singularity(專屬極小模型的 singularity)
除了 minimal model 還有所謂的 canonical model, 似乎就是用 pluricanonical map 得出的 image, 其 奇性 就稱作 canonical singularity, 而 minimal model 似乎 介在原來的 variety 和這個 canonical model 之間
我有聽過 蕭蔭堂本人 的有關其大定理的演講 另外四位外國人合作解決同一個問題 ( canonical model 存再性) 我也聽過其中一位 hacon 講過兩次 還有另一位講過一次 即使如此 以我對 雙有理幾何的?#092;薄知識也聽不出多少 detail 來 我只知道 蕭處理的是特殊的情形 然後 四個外國人處理的是一般的情形 他們證明的那個定理是:
“對任一平滑射影簇 X 其 canonical ring = \bigoplus H^i(X,K^i) 是有限生成的
因此存在從X到其 canonical model Y=Proj of canonical ring 的滿射, 是一個雙有理映射 Y 被稱為天然模型 ”
在三維情形 MORI 證明的是 “minimal model”的存在性 但我也不知道什麼叫做minimal model. 見笑了
蕭的證明只對 general type 有用 他的技術是 “mulitplier ideal sheaf” 這個理論似乎是值得研究的對象 即使在這個 MMP PROGRAM 被解決之後 記得有新書專門講這個 另外蕭的証明似乎是分析方法的
那四個外國人 的方法 我比較清楚一點 他們使用對維度的歸納法 但是其中引用了現在相當熱門的 “log struture” 的理論 這個 log struture 大致上是對 “好的 邊界在無窮遠的 open variety” 做一種理論的描述 “log” 理論 的使用讓他們可以實現數學歸納法的証明 詳情我想 ARXIV 上面有 (查 MMP)
很抱歉我在這個方面不能給您多少幫助 還是一樣得泛泛而談 我想有關 MIRROR SYMMETRY 的東西我可以說的細一點…
huzhengyu 兄您好: 在下名字是 張懷良.. 我的畢業論文還沒有放到ARXIV 上 主要是想要做多一點東西 因為原來的東西好像太少了點..不過那是有關所謂 Donaldson Thomas 不變量 和 Gromov Witten 不變量的東西 和雙有理幾何無關 目前做出來的不算是很大的結果 所以後來在美國也找不到什麼好工作 畢業後說不定會去義大利進修 還拿不準
在下對 Minimal Model Program 有些興趣 但是不是主要的興趣所在 一個原因是以前沒有好好唸過這些東西 (當然曲面不算) 一個原因是聽說最近已經有 蕭蔭堂 證明了 任意維度的 general type smooth variety 的 canonical ring 是有限生成的 (有另外四個外國人
證明了 不需要假設 general type 的情形) 也就推導出 Canonical Model 是存在的
雖然還沒有把 Minimal model 找到 但是在我來看可能不會算距離太遠了..
我現在有興趣的幾個方向依次是:
(1) Homological Mirror Symmetry 和 原本的 Mirror Conjecture 的關係 Mirror Conjecture 是 Calabi Yau 流形上面 物理學家稱呼的 2A (數學家的 Gromov Witten 不變量) 和 2B (數學家的 Hodge Bundle 上的聯絡不變量) 兩個理論被物理學家猜測是一樣的 該猜想花了數學家十年的時光, 挑了一個例子來檢驗 結果是正確的(1990-2000).. 之後 Maxim Kontsevich 提倡用 Derived Category of Coherent Sheaves 來了解這個猜想 也就是 Homololgical Mirror Symmetry ..我這兩天剛在學這個 Derived Category 的性質
(2) 規範不變量的高維情形: 在80年代Donaldson 利用實四維流形上的聯絡模空間的拓墣給出該四維流形的微分拓墣不變量 發現”四維”是微分結構開始變的詭異複雜的維數 並証明了在代數曲面的時候該不變量可用曲面上穩定向量叢的模空間來給出 但是再超過四維的情形這個問題遇到了神祕的障礙 現在世界上沒人知道高維流形的 “規範不變量” 應該是什麼樣子的 這個問題有代數面也有分析面 我比較熟析代數面 那牽扯到 Daniel Quillen 的同倫代數(1960-1980) 和 茅頭初露的理論: “Differential Graded Scheme” (好像還沒有中文翻譯)..甚至也扯到了最一般的 相交理論 (尚未建立) 和 代數奇異點的變形理論 (框架已建立沒有根本理解) 等等大大小小萌芽中的理論..我還在一個一個啃..
(3) 就是有名的 Hodge 猜想拉 我現在開始覺得這個猜想是錯的 原因當然不好說 但是想真的證明可能半條命得丟進去 不過感覺上 彭佳樂猜想解決了就應該輪到這個猜想吸引世人注意了..當然我對現在紅得發紫的 非交換幾何也有一點興趣 物理也想好好學一學 不過這些就拿不准要怎麼下手了..
MMP 方面 在下知道的 Birational Geometry 和上述的 Derived Category 也有相當關係 另外有所謂的 Arc Space 的理論 和 K-equivalence, 都有關係 … 我甚至有點想看看所謂的 Cotangent Complex (是一種scheme 上的 complex of sheaves 其上同調可以看成Cohomology of Singularties, 也就是如果上同調都是零則是平滑的) 和 這個 Birational Geometry 或是 Resolution of Singularity 有什麼關係(肯定有關 但不知道是什麼)
抱歉講的這麼長 不過希望能多多討論 隨便哪個方向都可以 (袋鼠幾何);..
只是希望在这样一个时代，自己能有自己的一些特色。但看了Quillen兄的一些见解，确感自己的差距还非常大，而且对数学学习和研究还有一些误解。加上一些基础知识准备还不太够，确实达不到Quillen兄所说一边在前沿研究，一边在前沿学习的程度。看来自己还得找到正确的方法然后好好努力。
您太謙虛了.. 代數幾何五花八門的知識的確讓人覺得這個分支的人懂很多東西 但是事實上能工作的自由度是很低的 因為東西過度抽象 不具體 每個概念能操作的工具定里也不多
(其實都等待發展) 然而幾合分析是非常具體實際而且操作自由度相對大很多的學科 我個人認為這是非常值得好好學習的學科 如果給我再一次機會回到三年前剛讀數論的時候 我可能會重新選擇幾合分析
另外我覺得這年頭做數學要像胡適說的那樣 “寧小勿大” 也就是要把握自己的每一個新想法去研究 不要太求取大問題 (但是要保持關心, 嘗試也可 只是不用埋頭去做) 除非相當確定自己有好的想法可以對付這種問題
如果做幾何分析的話現在的潮流是 FLOW 理論 或是 CALABI YAU 流形的 SPECIAL LAGRANGIAN, FLOW 的話我想聯絡的FLOW 是一個重點 比如說已經有的 YANG MILLS FLOW, 而且其他的聯絡的FLOW 應該也會開始有很好的發展 另外一些重要的PDE像 SEIBERG WITTEN 或許也適合己合分析研究
axlwacc 兄您好:
在 Stanford 接近20位有做研究的教授之中 就有 7 位 做幾何分析 他們是
Simon Bredle, Larry Guth, Eleny Ionel, Rafe Mazzeo, Richard Shoen, Leon Simon, Brian White. 其中我想最有名的就是 Richard Shoen, 和丘成桐一起證明了相對論中的正質量猜想..另外在大約60位博士班研究生之中 也都有超過十位的做幾何分析方向的學生.做分析的學生一般比較用功也比較樸素 也相信從估計中可以得到真正好的結果 我不是做這一門的對其內容也不算熟 但我想幾何分析的人一定得把黎曼幾何中的曲率張量大大小小性質 以及偏微分方程搞的滾瓜爛熟…
想要在數學裡作有自己特色又有意義的工作 本來就是一 非常困難的事情 我也沒認識幾個能做到這樣的數學家 一般我們做出來的結果都不會是大結果 而且甚至離大結果還很遠 要做出有意義的那就是難上加難了
“即使有些小想法，往往觉得在庞大的分析学科面前，还是很难发挥本质性的作用:” 我個人覺得只要有任何自己的想法 無論是大是小 都應該想辦法去實現 或這去確定其無法實現 反正不能浪費自己的靈感 致於本質性的新想法 那是需要?#092;氣加上時間還有瘋狂努力的
分析和代數幾何的內容本來就差很多 學習過程中很多地方都不同 做分析不能不坐下來好好的估計要處理的方程或是積分 要精確的處理每一個誤差向 知道每一個函數到底是落再哪一個空間裡面 代數幾何從學習上比較趣味 五花八門的概念 炫透的定義和定理 令人眼花撩亂 但是在幾何的領域這兩個科目是互相輔佐的 很多代數幾何的大問題 都要仰賴分析的工作 其實都是分析問題 比如說 CALABI 猜想 HODGE 猜想 SYZ 猜想 甚至像最新的 GROMOV WITTEN 不變量 或是 DONALDSON 不變量 都是分析工作者領著代數幾何工作者去理解這些新概念的 所以並沒有絕對的優劣的差別
有件事我倒是覺得很重要 就是找到可以學習的對象或是工作夥伴 或 學習夥伴 國內的環境差只是差在這邊 一般有功夫的人不說話 沒功夫的人你卻很容易去認識(因為愛說話) 國外的優點是你可以上網去查每一個人發過的文章 就知道他們專精的方向和程度 也可以部大困難的在學術上互相學習(當然還是要花點時間) 所以這點請費心
如果你證明了費馬小定理 或是艾森斯坦判別法 大學的時候就應該延續下去去對付二次互倒率 體上的算術理論問體 也就是現在稱呼的代數數論
如果你了解無限集基數 大學的時候就應該去看看連續統假設
如果你高中就能對組合數學有所掌握 大學的時候就應該去看看群的表現理論 和 李代數的表現理論 看看組合學如何影響表現理論 又看看組合學如何透過表現理論去影響整個數學界
對平面幾何(2400 年前)的興趣如果沒有消滅 就應該去翻一下 射影幾何(1700-1900) 如果興趣還不滅掉 就應該去看看古典代數幾何或是微分幾何(1850-1950) 如果興趣能繼續延續
應該去看看現代的代數幾何或微分幾何或辛幾何(1950-2007)
高等代數其實並不高等 甚至是初等的
有意思的代數比如 交換環 有限群相關理論 有限體 算術體 函數體 加洛瓦理論和類域論
模論 同調代數 非交換環論 數論 李代數 無限維李代數 環的變形理論 橢圓曲線上的算術
自守形式和其表現理論 …….. 全部都是尚在研究的領域 無數的全世界沒人知道答案的問題等待被解決
那為什麼還需要去做別人設計好的初等代數題目呢?
同調論是所有學代數幾何微分幾何辛幾何代數拓墣微分拓墣的人都需要學的東西
代數拓墣往後面學 有所謂的
chern class, classifying space, fiber bundles, knot theory, homotopy theory,
ring spectrum, topological field theory, generalized cohomology theory, eliptic cohomology, rational homotopy theory 等等
每一樣都不是已經完成的領域 都還有很多問題在裡面
學拓墣最好也看一點幾何 不論是黎曼幾何或代數幾何或辛幾何 你將會發現拓墣的驚人功用 現在最流行的不是拓墣本身的問題 而是拓墣和各個幾何或代數方向的鏈結, 有興趣可以在談談
我的博士論文題目是
如何用退化公式解決MNOP 猜想:
MNOP 猜想 假設 X 是一個射影三維複流形 則其 Gromov Witten 不變量 和Donaldson Thomas 不變量 在 沒有 descendend insertion 的時候是互相被一變數代換決定的.
我解決了 X 是 將一個線叢在一曲面上緊化而且該曲面是K3 blow up 一個點的時候 但是我使用的 \theta 局部化方法 是有可能對之製造退化公式的 如果可行就可以做X為線叢
在曲面上緊化且曲面的 canonical curve 是 虧格 g 的情形
這種特殊三維流形式使用退化公式證明MNOP猜想中最後需要處理的元件..主要是需要用到 relative GW=relative DT, 只要這個証完那樣MNOP 就証完了
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在下手上還有 8個左右的問題 大致是博士論文水平或是更高的問題
比如K3 twistor family 的退化問題 利用退化公式計算K3 twistor family 的 GW 和 DT 不變量 還有把不變量利用 multiple cover formula 還原成基本 Gopakuma-Vafa 不變量
又比如說 Derived Kodaira Spencer Map, 高維的 virtual cycle 製造問題
又如 Kevin Castela 的 Calabi-Yau category 和其伴隨的生成函數以及從 Derived category oh sheaves 到 B-field partition defined by variation of Hodge struture of CY manifold near large complex struture limit
等等等等
要學好拓墣學
第一個要搞清楚二維的流形
比如說 一千元紙鈔 和 一張中間破了一個洞的衛生紙 是不一樣的形狀
前者和一粒屎具有相同的拓墣結構
後者雖然已經不能用來(擦…) 但是有整數那麼多的第一基本群
就是說 拓墣學家認為 破洞的衛生紙價值遠遠超過一千元紙鈔
所以如果你不是很有錢的話不要輕易嘗試學拓墣
不然學到後面會想辦法在千元鈔上面挖洞的..
建议楼主改题目为“真正的近现代十大几何学家”
然后加一个Gromov，扔掉Grothendieck，他是完全反对几何直观的。 [/QUOTE]
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A.Weil
1).Adele
2).任意field上Variety的内在定义
3).Kahler
这些都是很大的工作
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首先 Adele 只是黎曼面上線叢的截面在 算數版本的類比 Ｖariety /k 的定義其實就是把 複數平面這個字改成 ＂k” 而已 Kaehler 理論的貢獻者 Kaehler 本人應該比較大不是嗎
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H.Weyl
1).Riemannian surface
2).Group<->Quantum mechanics
3).Unitary trick, Char. formula
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這的確是比較好的工作 但是難度上 至少量力的難度不大
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这句话过分了一点，Euclid的工作没有Weyl的深刻，那楼主如果在Euclid的时代，……
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如果在Ｅuclid 時代 我應該是一個奸商
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>說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的
也许Gromov会持保留态度。
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Ｇromov 的工作我以為只有 pseudo holomorphic curve 的 Gromove compactness 和 generic smooth 比較重要 其難度也比 Donaldson 理論小非常的多
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加一个Gromov，扔掉Grothendieck 我想 Grothendick 雖不主直觀 但是他對代數幾何的影響不小 也許把誰換掉以後加 Ａitiyah 我比較贊成..
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cnbjy 是在什麼單位做事呢？ 做的是什麼方向？ 似乎對現代數學有相當的了解.
Yau不管有多大能力,总是不如Chern的,他们的认识本就不是一个层次上的
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事實上並不是這樣, 兩人是很難比較的 但是陳省身只是提出了用聯絡表示特徵類以及Gauss Bonet 定理. 兩個重要性大但是難度不高 丘成同做的事情難度遠高於陳. 而且邱在上個世紀的最後十年內的工作的分量比起陳還要多很多 陳的名聲很大程度上受惠於他和外國人的關係非常好以及他的學生滿天下 丘則是苦幹的數學家
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Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但在我看來 表示理論的問題除組合和代數特色外通常沒有難度 不過 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 如果我是當年的數學家 我做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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楼主的十大,如果仅看1950年以后,还是很中肯的,但是不能把先人和现在的人想提评论的说,这个比较本就不在同一层次上.
其实Chevalley也是非常非常好的数学家,我觉得他至少不比Serre差很多.
也许Yau跟楼主有千丝万缕的联系,但是Yau确实难以跻身前10,甚至如果宽泛一些的说,前30
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您說的沒錯 但是我個人認為 1950 年以後的數學家當然比 1950 年以前的強很多 Riemann Gauss Poincare Hilbert 是僅有的四個例外 但也不見得他們的層次就高到哪裡去
Chevalley 對純代數的貢獻比較多 但是對幾何 拓墣 都沒有 SERRE 大
Yau 和我的關係不大 也就是老闆的老闆 數學上也沒有聯繫 Yau 擠身前十是我個人的觀點
姑且不論 相對論或正質量定理 Yau 找出來的 Kaehler Einstein 度量在 過去 20 年內人們完全沒有更深刻的認識 其重要性在幾何裡面是非常巨大的 類似的度量在下個世紀會是幾何研究的核心.
我在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說
1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼
2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究
3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..
4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)
5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)
6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭
7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去
8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..
9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 我就不敢在這邊說了 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)
10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作太過制式化 不算是由心而發的數學……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…
bird 兄
辦法是有的
但是你要知道 這是一個地獄式的學習 可能會耗掉你可能一年壽命
首先你要把第一章徹底唸完.
接下來第二章 2.1. 2.2 不用做習題. 想辦法邏輯上念過 2.2 2.3 2.4在 scheme 的部份會很困難 要盡量找人問.不行的地方也邏輯上看過, 2.5 最重要 2.6 2.7 可以先跳過
可以參考 Harris 的 “The geometry of scheme”. 第二章一定要至少邏輯上搞清楚 base change (也就是 fiber product ) 2.4 有一些 scheme 的性質第一次看可以選擇跳過
第三章是重點
學習拓墣 不要花太多時間在 metrizability 問題 也就是各種 T1 T2 T3 T4 T5 條件和可賦距問題, 看懂緊致性, 連續 , 開閉集 就可以, 趕快先去學 基本群 和 拓墣流型的性質, 以及同調群 同倫群 及其應用. 就可以. 所謂的 點集拓墣或是 general 拓墣 , 不需要花太多時間就可以唸完 (兩個星期吧)…真正的拓墣在後面 代數拓墣或是微分拓墣
你畢竟還是不懂
首先1950年以後的數學 和以前的數學不一樣
你說的這三個例子 都是很久很久以前的 那時候要做數學研究 不需要學習多少背景知識 因此這種例子你是不可能舉出50年內的情形的. 事實上華和陳後來也搞不了研究 主要因為是他們也不會別的比較深入的科目 他們一生 都沒有該背景知識. 因此都搞無聊應用去了
我現在講的是純數學 就讓我指明是民科的純數學吧
愛因斯坦的狹義相對論 首先完全不需要背景知識 當時有很多數學家都搞出來 比如 膨加勒和希爾伯特等等, 愛的相對論真的開始有意義 是在他花了很長的時間學習數學的黎曼幾何的語言之後.至少花去他六年的時間當時他也早已不是民科 而且重點是這也是 1950 年以前的事情
1950以後的例子 您樓主一個也沒辦法舉出來的 不信試試
我門都有資格發言 只是發言別人信不信 事實上我有做出結果來作而你沒有 那麼信我話的人會比你的多一點 因為你根本不了解什麼是做新研究 研究要做別人沒做過的問題 這個年代這些問題都需要背景知識 不知道您到底懂不懂我在說啥
丘成桐對中國數學界的觀點 那是另外一回事 和民科一點關係都沒有 請不要插科打渾 你真的知道邱對民科的看法嗎 請讓我看看
您說”如果圈子里的也认为是不正常的，我们还有必要讨论吗。” 的確 我開始覺得有對牛彈琴的情況 我至少是圈子裡的 不知道您在哪 還要在討論嗎? 如果你一個現代例子都舉不出來
“在他们成为数学家，拥有权威，拥有荣誉后，他们的责任是什么？” 可見你還不曉得 他們的責任 並不是維護民科 事實上他們完全有鄙視民科的權利 另外擁有這些東西 並不代表他們就有責任 另外 我想中國的民科眼中能見到的就是這些”權威吧” 樓主您是否也只見到這些呢 這些是虛幻沒有意義的ㄚ 榮譽我承認是有一點點的 但是榮譽和責任有關係嗎
“美国人在政治领域都是讲民主，讲自由的。而你要在学术领域要轮大棒，不知是学的美国人的那一招！”
很好 就對這句話 表示你還沒有看清楚什麼事民主自由.民主 指的是人民的行政權利 自由 是在法治之下人人的行動是受保護的. 那麼我問你 關於民科被鄙視以及不接受這件事 哪一件事情是違法的 那一個人是不自由的 如果您說民科沒有被給予進入學術界的自由
哪表示你不知道什麼是真正的自由 一個人做了事要別人看 別人當然有不看的自由 當事者可以抱怨 但是連官司都不能打 .您想清楚再講這渾水吧.
說話要分清楚 不要拿無關的事情來攪和 不然可能也說不下去
我沒有”重要”的結果 但再袋鼠幾何方面有一點點小結果. 我想我比妳有資格發言 你並沒有看到不合理的現象 事實上妳認為不合理 但是所有圈內的數學家都認為是合理的 沒有一位數學家會支持自認為已經把大問題給解決的民科, 這是眾人皆知的. 難道你不曉得嗎
就算是國外重視獨立研究的環境,民科幾乎是沒有人引以為然的, 樓主你能說說你學過什麼 1900 年以後的數學嗎? 我想如果你學過的話 你會知道我為什麼這麼說.
“非要维护那些傲慢的中国数学家们？以有没有成果来判断是否可以发言欠妥。”
首先我不維護”傲慢”的中國數學家, 我維護的是數學家們不理會民科的權利, 民科可以把他們自以為正確的結果寄去給雜誌看能不能刊登,不要無聊去騷擾數學家們, 你以為這些數學家傲慢, 但是如果你真的知道內情的話, 這些自認為解決了大問題的民科先生們 才是真正目中無人的傲慢份子.
已有沒有成果判斷是否可以發言是欠妥, 但是你有沒有成果會影響我門信任你發言的正確性產生影響, 如果你沒有成果, 你怎麼知道為什麼學者們對這些民科不屑一故, 您最多的解釋就是傲慢 但是事情不不是你想的這樣, 如果你不是數學工作者, 有過任何的結果, 或者是有在進行研究的研究生, 你怎麼取信別人, 你怎麼知道數學家們的正確看法
每一個民科當然都有可能是對的 問題是, 如此微乎其微的可能, 數學家們為什麼要浪費自己的時間呢, 比如我最近是因為剛做完一個段落的研究可以喘息一下, 不然哪裡有時間在這裡詢問樓主做過什麼呢.
樓主請給出一個 真正是民科, 完全沒有受過大學類別的教育, 在 1930 年以後, 然後有過正確的,有意義的結果. 不需要再這裡虛談 請給我一個您真的想要替她洗白冤屈的例子, 好嗎
我學過一點簡單(基礎)數論 我想
1 代數數論
2 解析數論
3 模形式(自守形式)
4 加洛瓦表現
5 算數幾何
是進階的數論的主要分支
因為個人的分析不夠專精, 比較偏向代數和幾何,
所以沒讀什麼解析數論另外每一樣都看過一點點
因此 在代數數論 和 算數幾何懂的稍微多一點
就講這兩個吧
(1)
代數數論我主要是唸了 class field theory, 真的很棒的理論 , 是代數數論的人一定要學的理論, 也是加洛瓦理論的一個終極結果, 甚至具有幾何的意義, 讀這個有很多書可以看, 要從 local field 開始來, 比如說 我先從 Serre 的local field 看起,那是一本名著
之後 我就讀 “Algebraic Number Theory: Proceedings of an Instructional Conference Organized by the London Mathematical Societyby J. W. S. Cassels, A. Frohlich” 這本書是經典中的經典. 我只看了其中 類域論附近的篇章.
我沒看Serge Lang 的書因為感覺寫的不好. 另外我也參考了 J.S.Milne 網上的免費講義 和寫的很棒的 Neukirch 有 class field theory . 學這個真的只有一個字可以形容: 爽.
代數數論裡面有所為的 cyclotomic (分圓)擴張是很重要的, 我幾乎都不懂, 但是這是最大的例子來源.
(2)
算數幾何我念了 Silverman 的 In introdution to Diophntine Geometry, 還有他的 Arithmetic on Elliptic Curve 第一冊及第二冊一點點. Mumford 的 Abelian Variety 的3/5, 還有 Milne 的免費講義裡面的 modular form, 這些對專家其實都是很初等的東西. 不過我學的挺快樂. 雖然我後來有讀一點有關BSD 猜想的特殊情形的理論, 也就是現在俗稱的 歐拉系統 或是 Kolyvagin 系統, 但是學的糊里糊塗 頭昏眼花
說真的 如果能夠去唸 Deligne 的 Weil Conjecture 或是 Faltings 的 Mordel conjecture 或是 Wiles 的 Fermat conjecture 都是人生一大享受, 我想以後會找時間回來看一看的. 畢竟成熟度增加 讀書速度也會大增. 另外這些大問題都可以讓人開始研究其他未解決的小問題, 所以應該很值得做
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我以為學習數論很重要的是喜歡計算例子. 然後一定要非常的心無旁鶩, 其實也不用太聰明, 聰明在自己研究的時候是需要的 但是唸的時候不需要.
最重要的是勤於工作,不過做哪一科不是這樣呢. 事實上 解析數論越來越火, 可能也值得注意 Harmonic analysis ..可能中國國內的數論工作者對這個比較有興趣..
楼主所提到的人的确是很牛的，但是我觉得还是挂一漏万，至少Kolmogrov 和 Hilbert是没有争议的比你所说的那是个人中的很多的人不差的。你也许就是了解你自己的圈子里面的一些人而已，然后就认为他们是最好的。至于说“搞概率的我不考虑”， 不知道你这样考虑的动机如何，“文人相轻”是中国人自古以来的弊病，其实每一个学科都有他自己的特点，如果拿你自己的圈子的标准去衡量别人，不是很荒谬的吗？ 邓亚平打篮球不是乔丹的对手，但是乔丹在乒坛上也不堪邓的一击。我觉得在这里的人应当都是受过不错的教育的，动辄就进行排名之弊端，人尽皆知，我认为以后可以不要干了。桃李不言，下自成蹊。
我列舉這些人 第一個原因是其工作的重要性, 重要性是個人的觀點, 況且帖子名稱是 十大數學家, 當然是我列出我覺得最好的數學家. 那又當然是和我領域有關係的
機率這個科目本來就沒有什麼難度, 難的是和隨機方程, 機率論就是分析裡的測度論, 只是分析裡的一部份而已
Hilbert 當然是了不起, 但是他的時代我只選一個人 您可以看倒我是個”decade”中最多選兩人, 1900 前的最多選倆人
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如果拿你自己的圈子的标准去衡量别人，不是很荒谬的吗？ 邓亚平打篮球不是乔丹的对手，但是乔丹在乒坛上也不堪邓的一击。我觉得在这里的人应当都是受过不错的教育的，动辄就进行排名之弊端，人尽皆知，我认为以后可以不要干了。桃李不言，下自成蹊。
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上述這段話非常激烈, 但如果您學過機率和其他更深入點的數學的話 您應該會了解我的看法. 排名本來就是大家說著玩玩, 機率的純數學難度不高但是對物理和社會的影響相當大,雖然最近對數論或幾何開始產生影響, 但還未成氣候, 人人有發帖的權利 不多說了..
剛剛忘記說了 我推薦 Humphrey 的 Lie algebra and their representation (名可能有誤)或 Daniel Bump 的 Lie groups
我以前是看前者的, 沒有李群, 李群在很多微分幾何書都有, 比如 Warner 的 Foundation of Differential Geometry and Lie Groups 挺好
李代數的基本理論讀起來不難, 主要是用root system分類單李代數. 但是如果要把所有表現理論都搞清楚而且熟練 會需要很長的時間. 另外如果學得時候想知道理論的來由和根據, 最好參考李群的書, 比如 Thom& Dick 有一本 李群和她們表現的書..
現在李代數的一個研究趨勢是到無窮維, 無窮維李代數對現代的數學(和將來的)已經有很大的影響, 她們也都有對應的李群的理論, 只是比較少因為無窮維流形上分析是很彆腳的.另外一個方向是研究代數群的李代數,或者量子群, 後者和物理有關.
要看就拿起來看, 需要的再去找. 不要讓我們決定你該不該看 可不可以看, 卡住了可以來問問題, 當然自己想辦法更好.
除了基本的辛幾何教科書 額外一定要學 Gromov Witten 理論 和 Kontsevich 的 deformation quantization, 都是辛幾何的主要內容, symplectomorphism 和 integrable system 也是重點, 很多數學書都可以在 “www.amazon.com”上面查詢關鍵字找到.
舉例說
The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism (Lectures in Mathematics. ETH Zürich) by Leonid Polterovich
是symplectomorphism 的書
$J$-holomorphic Curves and Symplectic Topology (Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc)) by Dusa McDuff and Dietmar Salamon
是一本專門講 Gromov Witten 不變量的書..
An Introduction to Sympletic Geometry (Graduate Studies in Mathematics) (Graduate Studies in Mathematics) by Rolf Berndt and Michael Klucznik
應該也不錯,好像各個方向都有談一點
Deformation Quantization 可以看Kontsevich 在 arxiv 上的文章
另外可積系統聽說也是辛幾何的重心, 書的話不知道Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Systems (Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona) by M. Audin, A. Cannas de Silva, and E. Lerman (Paperback - Aug 1, 2004) 怎麼樣
我只知道相關 Gromov-Witten 不變量的一些東西, 另外的我都不懂, GW不變量對袋鼠幾何有很大影響, 其實是互相影響, 辛幾何在這個分支上面屬於理論派,袋鼠幾何屬於計算派, 你如果多了解以後我們可以多聊聊
辛幾何的書不多, 但是這是將來很有發展潛力的學科, 因為和物理中的保角場論,微分拓墣, 非交換幾何, 都很有關係..阮勇斌和田剛都是超級專家..他門的文章也值得看
但是再學這一科的 Gromov Witten 理論時 你會需要一天到晚用到 橢圓微分方程的正則性定理, 以及裡面常用的不等式, 另外 Atiyah-Singer 指標定理也會少少地出現一兩次
也許我的理由不夠充分
但是這個問題要是可以用出等方法解決
那那些, 類域論, 模曲線, 模猜想,
class field modular curve modularity conjecture
模形式, 古山-志村猜想, 加洛瓦表現
modular form Taniyama-Shimura Conjecture Galois representation
和 group scheme 的 理論不是應該全部都靠邊站了嗎, 為時一百多年
至少有 Gauss , Shimura, Grothendick, Tate, Serre, Deligne, Faltings, Ken Ribet, Andrew Wiles, Richard Taylor, Brian Conrad, ….. 的相關工作, 裡面至少有五個菲爾茲獎得主, 這些人是不是都應該來向jixuan 虛心求教, 要不然跳河也可以……
有空還是去想想 Birch Swiner Dyer 猜想, 做出來的話還可以拿 100 萬美金
我想 AlgeGeomelie 是抽象派和非交換幾何的..袋鼠
我這隻袋鼠比較崇尚模空間的研究, 和 variety 的拓墣性質, 以及 Hodge 猜想,物理對袋鼠幾何的影響 (Mirror Symmetry),
這個年頭的袋鼠們有很多選擇, AlgeGeomelie 對 stack 熟不熟, 好像對算術有很大功用
希望可以多多請教 etale cohomology & nocommutative geometry.
法文真的不好讀 以前嘗試過讀一些文章, 還自己一步步照字典翻譯, 翻了 20 頁就放棄不幹了, 因為速度實在是太慢了…
不過為什麼Connes后悔没有和的Grothendieck交谈呢, 能不能多說一點?
有關該書的話”不要去花太大的精力做难题，有这样的时间，为什么不自己做研究呢？”
是有道理的, 如果是學生時期(博班或碩班以前),問題又有趣, 那就去做, 步要想太多
如果開始做研究, 那就要把心力放在研究上, 再有趣的問題, 可以放在腦子裡的暫存區, 反正腦子不會關機, 自己支配空閒..
講這麼多… 其實說真的 我應該回答您 “自己決定”
這個問題很有意義
如果難題很困難又不見得多有趣(也就是你會想”做出來又怎麼樣”) 的話 那當然隨便試試看, 要放棄也沒關係, 也可以拿去問自以為是的民科學家, 或者拿去問你很討厭的同學, 讓他們在裡面轉的頭昏眼花再跟他們說你不知道答案, 是一件有點卑劣 但是令人非常舒服的一件事
如果難題有趣, 那要分兩種
如果有解答, 那就看你的 狀態, 想要做就做, 想跟它熬就熬, 但是如果沒時間, 就直接看解答.
如果沒解答, 可以拿去問你欽佩的高手, 或者是老師, (註 千萬部要拿給您討厭的高手, 幹麻要給他們這麼有趣的題目, 趣味的累積才是實力), 接下來又分成兩種
如果有人會做, 那就要想辦法虛心學習是怎麼做出來的, 並且可以多跟 欽佩的高手聊聊天
如果沒人會做, 那有兩種可能,
你不認識多少真正強的高手或老師, 那要好好加強數學家人脈了(不用送禮啦)
你認識的很多超級高手都做不出來, 那
拜託您把問題拿去問當代最強的數學家, 寫 email 去問他/她 比如說如果是微分幾何, 寫信去問邱成桐 , 複幾何 去問蕭蔭堂, 數論去問 Wiles (也有很多別人可以問), 袋鼠幾何去問…恩 這個問題有點嚴重, 可以把問題寄給我,
我幫你去問
R^n 內的集合是緊致 當且僅當 該集合是 必急且有界
拓墣空間可以寫成兩個緊致集連集的集合還是緊致
Klein Bottl 是兩個緊致集的集合, 因為是管子的兩邊用相反 orientation 連起來 直接切開就可以
但是一個有趣的看法可以把 Klein Bottle 放到 R^4
管子可以放到R^3, 所以也放到 R^4, 假設管子的兩邊是 A 和 B 兩個 S^1
如何把 B 內外顛倒接到 A 也就是看其來從管子內部穿過去來接到A , 但又不能真的碰到管子碰到 ？？？？？？？
方法很搞笑, R^4 比R^3 多一維 , 姑且稱那待四維度是時間 , 線在你手上有 管子和兩邊界 A B, 方法就是, 讓時間暫停, 慢慢的讓 B 回到昨天, 昨天的 R^3 世界就 只有 B
所以可以把 B ＂穿到” A 的位置, 這個過程都沒有管子而只有B 所以不會碰到管子,
然後 再讓時間慢慢回到今天 這樣 B 就接到 A 了 以我們想要的方式 （orientation 相反)
這就是把 Klein Bottle 放進 R^4 的構造, 可以證明不能放到 R^3
顯然這是R^4 裡面一個閉的有界集, 所以是緊致的
諾貝爾告訴我們 老婆被拐了要怎麼報復,
Galois 告訴我們, 流下生命作好的數學遠遠不如位愛情賣給一發子彈,
高斯告訴我們 想出問題以後要把思路擦的一乾二淨, 不要讓任何人看到自己的天才..
Grothedick 告訴我們 搞政治 和回家種田都比做數學有意義.
John Nash 告訴我們 學數學發了瘋沒有關係, 但是要讓別人知道自己有一顆
美麗的心靈..
Ravi 是一隻有趣的印度幾何袋鼠, 這是他的網站, 有很多東東 , 包括他和一寫人 唸 EGA 感想, 還有他個人的交過的課的講義 他的袋鼠幾何講義適合算數幾何的人學, 也有微積分 線代, 袋鼠, 還有之前在MIT 教 模空間和變形理論(袋鼠幾何專題)的講義, 也有很多其他的連結 有興趣可以翻一翻
http://math.stanford.edu/~vakil/
美加州 史丹佛大學數學系
這是一個大約 50 年的數學系, 非常年輕, 但是因為史丹佛是一個暴有錢的學校, 花了大批銀子的結果還是有很多大數學家在這裡貢獻
過去有 Paul Cohen 拿了 菲爾茲獎(證明了連續統是和集合論不能互相推論的假設), Kodaira, Atiyah, Shing Tung Yau 都在這邊工作過 現在有幾位大頭 如 Rich Shoen (中文翻孫李察) Leon Simon & Jun Li & Elent Ionel & Yasha Eliash Berg (後兩位是辛幾何學家 國內可能不熟)
這裡有一個很大的缺點, 學校的附近是美國最富有的區域之一, 諸位知道美式資本主義國國家 貧富差距巨大, 最富有的地區主要道路上都是BMW, 法拉利 , Porche 滿街跑, 來這裡唸書的博士班學生會有強烈的貧窮自卑感, 數學系甚至有都做到博士後研究的學生轉去商業重新念博士, 我也不知道怎麼撐過來的..
每一個教師的教學都非常認真, 數學系也有一些中國人, 一個星期正常都有八九個演講 . 每天一個或兩個 , 從星期一到星期五分別是 數論 辛幾何 微分幾何 拓墣 代數幾何
這裡的數論比較弱 有作表現理論和automorphic form的 Daniel Bump而已. 學生之間有非常多的討論班, 和博士後研究之間也有私下討論班, 這些討論般的主要原因是大家和教授們水平差太遠, 希望靠著博士後研究的學者幫忙一起學習, 我自己就常舉辦只給中國人的袋鼠幾何秘密討論班,希望可以比外國人更強一點, 現在袋鼠幾何的學生討論班至少有:
Etale cohomology 討論班, 眾人小讀文章報告班, 中國人秘密袋鼠幾何討論班, 三個.
學校非常漂亮 可以說是美國屬一屬二的. 到三藩市開車要一個小時, 加州是美國最漂亮的州之一,有七個國家公園, 但是最大的缺點是MM太少, 強烈建議光棍不要申請,否則就是葬送寶貴的青春……..(說到這裡 筆者已經揮淚欲下…………………)
你们一定以为“向大师学习”，只是一句说来动听而不切实际的话。这是可以理解的。毕竟年轻人爱时髦，看的文章总要越新越好。所以一二十年前的文章便已有过时之嫌，更遑论十九世纪的文章？可是这个提法是无需我来辩护的，因为有才学远超过我的人来代替我做。在我做研究生的时候，有一次去听Andre Weil演讲。他一开头就说年轻人一定要找高斯，Euler等第一流的数学家的全集来读。在这方面，Weil是一个言行十分一致的人。1947年有一段时间他的情绪低落，但从翻阅高斯的文集中得到启发，因而作了一连串的猜想。
这就是支配了过去三十年来代数几何发展的“Weil猜想”。其实相像的例子是太多了。
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讓我做幾點補充並且回shannon的評語
Andre Weil 的時代 是一個很特別的時代, 在 1910-1940 中間的數學發展非常緩慢 主要的原因是世界大站和歐洲政局動盪 (當時美國羽毛都沒長齊), 數學家們流離失所, 沒有什麼成果, 那時的人要學習,當然要找前代的大師們學習, Gauss Riemann Hilbert Poincare Lie Hurwicz 主要工作都在1900前
Andre Weil 是一個很特別的人 他為了反戰被關在監獄裡,在那提出了Weil猜想的例子, 這樣一個能自己思考 為數學嘔心瀝血的數學家, 你可以想像 閱讀前輩大師文章中隱藏的各種構思 是Weil獲取靈感和樂趣的唯一方法
問題是..現代是怎樣
現在不是那時 , 數學的發展已經到了非常成熟,很多科目都需要大量的基本知識, 越讀書籍外還要閱讀文章, 諸位大學所唸的數學,都是 1910 年以前的, 但你想想. 從 1940 到 2006 之間的數學發展, 是 之前人類數學發展(就把 Gauss Riemann Hilbert Poincare Lie ..) ?#####氵M去, 的五十倍也不止.
基本的東西是要學習,但要學習到可以做研究,學生們要突破的難關是這 70 年來的巨量的知識的掌控, 所以現代正確的學習方法和五十年前不依樣, 很多知識來自於道聽塗說或是直覺任意的推理或翻閱文章, 要細細閱讀前輩大師的著作,很有機會墮入古老的深淵..也就是不能習慣現代的思考方法和觀點, 很多這 30 年的大工作是沒有書唸的, 文章也是零散的, 如果不念這些文章 , 沒有工具也沒有機會了解問題, 伍鴻禧教導的是 1950 年左右的學生, 他的觀點是錯的, 除非你只想待在一個領域裡 (我說的是適合想要接觸每個數學領域的學生的學習方法)
伍鴻禧也因此很早就去做數學教育,很早就放棄數學研究, 原因很簡單, 他閱讀的”前輩大師”著作的細節,都被外國人做光了, 他本人又不挑一個微分幾何問題下去專研, 因此放棄是唯一的選擇, 如果跟著他說的做,那就得走他的路 (除非時間是別人的兩倍)
不知道有沒有也再學習做研究的學生可以出來說幾句話,
一般的正式袋鼠拓墣書都有交換化
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您問的是一個很著名的問題.
Thom & Quillen 解決了 Universal cohomology theory 的 構造
就是一個廣義的 cohomology theory, 出始條件決定可能是 classical cohomology 或者 K theory , 別的出始條件會給別的 theory, 比如現在有點紅的 elliptic cohomology
這些 cohomology 都來自於一最廣的 cohomology theory, 就是配邊理論
cobordism theory, 是研究高維流行如何在某種意義下從基本的幾種組合出來. 有不同的 cobordism theory , 端看所謂的 (B,f) 條件
筆者不是專家, 但是這方面是代數拓墣這個世紀最主要的發展之一, 包過 spectral 理論, 如果學會你已經打敗吳文俊老先生了(知識上) 請參考
(到 www.amazon.com 網站可以購買國外圖書, 有點貴但很值得)
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Generalized Cohomology (Translations of Mathematical Monographs) (Translations of Mathematical Monographs) by Akira Kono and Dai Tamaki
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On Thom Spectra, Orientability and Cobordism (Springer Monographs in Mathematics) by Yuli B., Rudyak and Yu B., Rudyak)
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還有一本是 R. Stong 寫的忘記名字了, 十年前的書但是是經典 本分之中人人手中一本
Forms 在 代數和數論參考書的精華帖中轉在了下述好帖, 筆者曾經和 作 BSD 猜想的Karl Rubin 教授學習過一點數論, 雖然後來半途而廢, 但在此補充 Forms 的帖發一些算數幾何參考書, Forms 的帖如下:
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转载
我是学数论的研究生，以前见有人发贴子，也有同学曾经问过我一些学数论的参考书。今天谨以我个人的喜好，谈谈学习数论的参考书。在此我只提：我以前曾经读过现在正在读着和将来十分想读的数论参考书目。一家之言，仅供参考！
在国内有一个不好的倾向是把数论分的太绝对化，要么是学代数数论的要么是学解析数论的。听过美国威斯康星大学杨同海教授的一个报告，说了一句挺有意思的话：在美国都认为我是做解析数论的，而在国内?#####滴沂亲龃鄣摹Ｆ涫滴胰衔魑桓鲅鄣难芯可谒妒拷锥危词鼓闶茄Т鄣囊灿Ω弥繰iemann－zeta function zero-free，学解析数论的也应该明白Adele ring,Idele group,这些都是以后进一步学习最基本的东西5。如果作为一个硕士毕业的数论研究生这些你都不知道，那只说明一种情况是你老板不是一个合格的导师。我一直认为一个合格的导师是不仅把自己的专业知识传授给学生，更重要的是告诉学生自己的学科在整个数学中的所处的地位和作用，在和自己相关的学科中别的数学家都在做什么工作什么是主流的数学什么是核心的数学，而不是逼着学生去读你的只能发表在某某大学学报上的论文。
我所说的书目，一类是可以做教材的一类是平时学习的参考书。做教材的书我认为起码要满足三个条件：不要太厚 不会让人望而生畏；起点不要太高，即预备知识不要太多；要有当代数学的内容，你不能整个一本书都是讲一百多年前的数学，那是本科生的教材!
1 初等数论
内容主要是数论函数和同余性质。国内外都有很多很好的参考书的。
2 解析数论
H.Davenport multiplicative number theory springer-verlag GTM74
A.A.Karatsuba（卡拉楚巴） 解析数论基础 科学出版社 有中译本和英译本
这两本书都是非常适合做教材的。包含了Riemann zeta function，Diriclet L-functions, zero-free , prime number theory , explicit formula，three primes theorm of Goldbach conjecture , circle method … 解析数论所有的基础知识。 H.D的书写的非常简练优美可读性很强（除去前六章,我认为！ ）。
另外如果你有足够大的书架足够高的学习热情，你可以买本潘承洞潘承彪的“大词典”：解析数论基础 科学出版社。我觉得这本书只适合做词典用。
有了这两本书的基础，如果你想了解 Goldbach Conjecture and Chen’s Theorem,你可以看 潘兄弟 歌德巴赫猜想 科学出版社 有英译本。这可能是他们合写的一本最好的书。
如果想学习更详细的 Reimann zeta function 知识，你应该只看E.C.Titchmarsh The theory of the Riemann zeta function, second ed. Oxford Univ. Press.这是因为在 BAMS 中 P.Sarnak 给 A.A.Karatsuba and others The Riemann zeta function 写的 book review 的最后一句很有意思的话是：If I were limited to having just one book on my shelves on Riemann zeta functions,I would opt for the 1986 edition of Titchmarsh”s monograph. 最近一二十年Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory的研究有很大的关系，但一般讲Reimann zeta function的专著中很少讲到这一点的，不过可以从网上找到一些这方面的survey文章来看看的。
最近又有一本非常新非常好的讲解析数论的书，那就是H.Iwaniec E.Kowalski analytic number theory 2003 AMS 书比较厚当然内容也非常多，基本上包含了当代解析数论所有的工具技巧和内容。有了这本书上面所有的书你都可以不用读了。
3 代数数论
H.P.F.Swinnerton-Dyer A brief guide to algebraic number theory Camb. Univ. Press
这是我见过的最适合做教材的一本书，一学期的课程足够了！作者是大名鼎鼎的 BSD Conjecture 中的 SD。薄薄的一百多页讲述了 Ideals ,Valuations ， Adele , Idele , Special fields , Tate’s thesis , L-series ， Class field theory ect . 我一向不喜欢写的太厚的书更不喜欢写的太初等的书，书中没有这两个缺点而是很多地方充溢着作者对代数数论独到的精辟的见解。关于其他参考书目我建议大家看看冯克勤老师的代数数论的一个附录和结语，我认为这是那本书最值得看的部分 。
我比较喜欢 S.Lang algebraic number theory springer-verlag GTM110. S .Lang是一个以写很多书而著名的数学家，光springer－verlag就好像给他出了三四十本吧！出书多了就有很多人对他写的书不以为然，其实就这本书来说我认为还是非常好的讲了class field theory ,analytic theory , Hecke L-functions , Artin L-functions, … .
另外一部名著我认为是学数论的学生大都知道可能大都没仔细读完过（起码我是只仔细看过其中的chapter VII Zeta-functions of A-fields,另外第二部分classfield theory并不是我很感兴趣的地方。），不用猜你知道我说的是 A . Weil Basic Number Theory. 大数学家都喜欢给自己的书起个不起眼的名字，A . Weil就是这样，其实讲的东西绝对一点都不basic，用simple algebras和group representations的工具使用Adele ring and Idele group的语言 ，统一讲述Global Field－number fields and functions fields上的数论。读这本书之前可能需要懂点拓扑群和群表示的东东。
4 自守形式 自守表示 自守L－函数 郎兰兹纲领
(1) H . Iwaniec Topics in classical automorphic forms AMS
H . Iwaniec Spectral methods of automorphic forms AMS second ed.
这两本书都是从analytic methods出发。第一本讲述了GL(2) 上的 holomorphic modular forms 的情况着重讲 了 Kloosterman sum , automorphic L-functions ; 第二本讲述了GL(2) 上的 Maass wave forms 的情况着重讲 Spectral theory 中的trace formula . 从这两本书里，你能看到当代解析数论的主要研究领域和主要研究方法，这与经典的堆垒素数论additive number theory在内容和方法上都有很大的差别。Kloosterman sum , Trace formula 在当代解析数论研究中起着桥梁的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道L-Functions的研究在 Langlands Program 中起着中心的作用，而研究L-functions 往往需要很强的分析方法。最后引用别人的一段话
：… we remark that over the the past three decade research in the Langlands Program has been pursued along main lines; via L-functions,via dual reductive(theta liftings)and via the trace formula … one can take the point of view that automorphic forms are primarily of interest because of concrete analytic information they give us classical problem. In the optic, functoriality is a tool rather than an end in itself,and a wide range of other methods from analytic number theory play an equally important role…
（2） Automorphic forms ,Automorphic representations , Langlands Program
关于伟大的Langlands Program , 最原始也可能是最好的参考书是伟大的 H.Jacquet 和伟大的R.P.Langlands 写的伟大的 Automorphic Forms on GL(2) LNM 114 （可在Langlands主页上免费下载）. 当然这本书对初学者来说也是比较难读的，需要掌握很多预备知识。
S.Gelbert Automorphic Forms on Adele Groups （Princeton 出版的一套红皮书）应该是一本非常好的参考书尽管出版于1975年。励建书老师曾在一个Summer School给同学们推荐过这本书. 但是我翻过感觉写的有点乱，不像一般的书，将这方面的理论分成local theory和global theory，一目了然！
还有一本不错的书是 R.Godement（法国人，Jacquet的博士生导师）写过一个比较薄的讲义 Note’s on Jacquet－Langlands’ theory 书中主要是把LNM114的重点内容讲了一边，比LNM114好读多了，就像在perface中作者说的那样，书名其实也可以叫做 Jacquet－Langlands’ theory made easy ！这本书的缺点就是一般的图书馆都找不到，好像没有出版？ 只是一个内部讲义！笔者最初就是从这本书学起的，一位非常认真的老师给仔细讲过。
可能很多人喜欢看, D.Bump Automorphic forms and representations 当然这是一本非常好的参考书。书里主要讲了 local and global theory (Jacquet-Langlands’ theory) for GL(2) 和 Rankin-Selberg Method ，“… but it less tightly organized and considerably longer ( 574 pages ) … ” . Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi method当然是研究automophic L functions的重要的解析方法。Rankin－Selberg method 也是 Bump 所擅长所偏爱的部分，书中就写的比较多。内容有点偏 (励建书语,呵呵).
另外著名的书就是 A . Borel W.Casselman Automorphic forms, Representations , L-functions PSPM vol. 33 (AMS上可免费下载)。 这是一个会议论文集，都出自大家之手，当然也是非常全面非常厚的。这本书可能是做这方面的数学家人手一册的必备参考书，让AMS 赚足了钱，后来就索性贴到网页上 online 。一位老师告诉我这是一辈子都有用的书 ^-^. 当然，初学者不可能也没必要从头读到尾，拣你喜欢感兴趣的看就行了。
还有两本非常新也是非常好的书 J.Bernstein S.Gelbart An Introduction to Langlands Program 这也是一个会议论文集，但不太厚，作者都是这方面的专家的，重要的是从最基本的基础讲起，也不需要太多的基础知识就能看的懂的
J.W.Cogell , H.H.Kim , M.R.Murty Lectures on automorphic L-functions 书中分了三部分分别讲述了Rankin-Selberg method and converse theorem，Langlands-Shahidi method 和applications of symmertic power L-functions to analytic number theory 三人都是这方面的专家。看看下面的介绍你就知道是一本非常好的书 This book provides a comprehensive account of the crucial role automorphic L-functions play in number theory and in the Langlands program, especially the Langlands functoriality conjecture.There has been a recent major development in the Langlands functoriality conjecture by the use of automorphic L-functions, namely, by combining converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction to these developments and explains how the Langlands functoriality conjecture implies solutions to several outstanding conjectures in number theory, such as the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin’s conjecture. It would be ideal for an introductory course in the Langlands program.
中文的可以看 黎景辉 二阶矩阵群的表示和自守形式 北京大学出版社。书中的内容偏少些，重要的Automorphic L－functions基本上没讲，但无论如何是一本不错的参考书。
还有一本不错的中文书是 李文卿 数论及其应用 北京大学出版社 书中也是统一处理数域和函数域的，前几章讲当代解析数论的基础内容，第七章讲的是classical的模形式，第八章automorphic forms相当把 LNM114 简要的叙述了一边。
5 算术代数几何
arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年数论和代数几何相结合发展起来的一门学科.由P.Deligne，G.Faltings，A.Wiles最近二三十年的工作，显的尤其重要，也可能是在国外数论最热的方向。需要较多的预备知识，起码你要知道点 代数数论 （integers ring , discriminant and ramification , ideal class group ）; 交换代数( Dedekind domains ， discrete valuation rings) ; 代数几何( affine and projective curves , scheme theory ，Riemann-Roch theorm) .
我见过的这方面的书比较少，有一本是 D. Lorenzini An Invitation to Arithmetic Geometry GSM9 AMS ，这本书的优点是你不知道上面的内容也没关系，从头开始，最后证明了 Riemann Hypothesis for curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用Riemann-Roch Theorem 给出的证明方法，可能对于要做这个方向的硕士生来说还是有点太简单吧。
另一本书 IAS/PARK CITY vol 9 Arithmetic Algebraic Geometry 是AMS组织的 summer school的讲义，总要讲了 Elliptic Curves，Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry,Galois Representations ，Serre’s Conjectures,Modular forms ，这辆本书可能会只使你对这个方向有个大致的了解吧！
GTM201 Diophantine Geometry spring-verlag 也应该是这方面的不错的书，但内容和难度都比上面两本书高一个层次的。偶的感觉！
如果真要从事arithmetic algebraic geometry这个方向的研究，个人认为A.Grothendieck同学搞的那些抽象的象天书一样东东早晚还是需要拿来仔细读的，但是厚厚的几大本有点bt的EGA，SGA是不是都要仔细读哪（三年未必能看完）？可能也是个仁者见仁智者见智的问题！ 笔者当然没有看过任何一本。
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最後一段對閱讀 EGA SGA 有一些反對意見, 筆者也認為如此, 現在除了 Hartshorne 可以取代 EGA 一部分之外, 關於 Etale Theory 有 Milne 的 “Etale cohomology” 取代, 其他專題也有專書取代, 沒有必要一定去念法文.
算術幾何最重要的三個工作, 分別是 Deligne 證明的 Weil 猜想, Faltings 證明 Mordell 猜想, Wiles證明 費瑪猜想, Wiles 學生證明 Modularity 猜想.
Silverman 有 Arithemetic of Elliptic curves 一二冊, 第一冊介紹橢圓曲線的基本知識, 第二冊有一些進階的內容, 比如 CM 曲線, Tate 曲線, Neron 模型. 兩本書寫的很基礎, 很值得對算數幾何有興趣的人一看. 筆者只唸過第一冊和第二冊的一點點, 感覺非常好.
上述的 Diophantine Geometry 也是 Silverman (銀人)的專著, 內容是 Roth 定理 和 Vojta 用估計方法重新證明 Mordel 猜想的內容, 其時寫得還可以, 但是內容不是如帖子中講的那麼深, 只要學過一點點袋鼠幾何就可以看了.
費馬問題有一本書 Modular Forms and Fermat’s Last Theorem by Gary Cornell, Glenn Stevens, and Joseph H. Silverman , 是一堆人合寫的好書, 把費馬問題的周邊問題一章一章的講了, 當然把 Wiles的證明也介紹了, 是相當難的書,但是很棒,值得下功夫.
Algebraic Groups and Class Fields, Translation of the French Edition (Graduate Texts in Mathematics) by Jean-Pierre Serre 是早期的 函數體上類域論的書, 聽說很精采.
Weil Conjecture的標準書就是上述的 Milne 寫的 Etale cohomology theory. 需要對 scheme 理論很熟悉, Hartshorne 整本書都應該看完而且習題作完才能讀這本書.
Arithmetic Geometry by M. Artin, C.-L. Chai, C.-L. Chinburg, and G. Faltings 提到 Faltings 證明 Mordel 猜想所用到的各個分支, 書的結構也是一章一個步驟(專題), 讀完書可能會略知 Faltings 的證明大要 而且會知道更多的分支, 也需要 Harshorne 跟底
David Mumford 的 Abelien Variety 是介紹 Abelien Variety 的標準書, 需要Hartshorne 第二章的知識, 這本書寫的很好, 學幾何的話也可以參考其 1,2章來學 abelien variety和 cohomology and base change. 第三四章講 group scheme 和其 自同構環的算數,如果看的董會對學習數論很大幫助.
Diophantine Approximation and Abelian Varieties: Introductory Lectures by Bas Edixhoven and Jan-Hendrik Evertse 是專門講Faltings 的証明, 把一些太抽象的方法用估計代替, 不需要多少袋鼠幾何, 但是一點 Abelien Variety 還是需要的.
Lectures on Arakelov Geometry by C. Soulé, D. Abramovich, J. F. Burnol, and J. K. Kramer 是比較難的 Arakelov 理論的書, Arakelov 講算數曲面上的性質,所以需要相當多的袋鼠幾何. 另外 Introduction to Arakelov Theory by Serge Lang 是比較早的書. 這些書如果讀了(花個一兩年) 就可以進到算數幾何的最新研究領域, 對Falting 的證明也可以輕鬆掌握.
另外還有 Drinfeld module 的書 是函數體上的橢圓曲線的推廣, Crystalline cohomology 的書 (在下不知是什麼東東, 和 etale cohomology) 有關, 還有所謂 geometric laglands program 的書, 是現在挺紅的方向.. 但是在下認為算數幾何比純數論還美, 只是可以做的大問題比較少罷了..
20 世紀 純數學大定理
(1)
Kodaira 的 嵌射定理:
緊緻Kaehler流形 可嵌入複射影空間的充分必要條件是其Kaehler類是有理的.
(2)
Hironaka 的 消奇點定理:
特徵零代數簇的奇點一定可以用雙有理轉換消滅掉
(3)
Serre, Tate 的 類域論:
一個數體擴張的加洛瓦群可以從比較小的那個體裡面的元素重建出來
(4)
Smale & Freedman & Pereman的 彭佳樂猜想:
和球同倫的拓墣流形必定和球同胚
(5)
Deligne 與 Faltings 的 Weil 和 Mordell 猜想:
整系數多項式的解集合的拓墣可以由 在有限體上的有理點個數的生成函數決定
且該生成函數是有理函數其根滿足離曼猜想. 如果是曲線且虧格數超過1, 則只有有限個有理數點.
(6)
Wiles 的 費馬大定理
x^n+y^n=z^n 沒整解, 利用了算數幾何的 modularity 定理.
(7)
丘 的 Calabi 猜想
Kaehler 流形 可以在不改變 Kaehler 類的情況下改變 其 Kaehler 測度 使其 Ricci 曲率為指定的曲率
(8)
Mori & 蕭蔭堂 &.. 的 極小模型
高微代數簇的天然環是有限生成, 而其雙有理極小模型存在.
(9)
Atiyah& Singer 指標定理
橢圓算子的的指標是一個拓墣量
(10)
Donaldson & Seiberg Witten & Gromov Witten & Kontsevich 的 物理-幾何 綱領
考慮各種模空間上面的相交數將得出流行的微分(辛)拓墣不變量
Newtocas 不要強制性的去結合她們, 分析裡面有很多問題沒有用到幾何, 分析是自成一個領域的, 但是幾何要用到分析的, 要讀幾何的時候去想分析, 步是看分析的時候去想幾何, 代數則是相反, 是看”某些”代數的時候去想幾何, 比較少再看幾何的時候想代數 (還是有的)
複幾何研究的是 形如 一些 全純函數的解集合, 在袋鼠幾何中把”全純函數”全都換成了多項式函數, 因此是研究多項式方程解集合, 是複幾何的特例, 要研究全純函數解集合, 當然要了解全純函數的性質. 也就是複分析
另外複流形的概念也很重要, 在複流形上有很多的分析操作,比如說微分算子, 局部上都是純分析, 我們可以小聲的說 “分析是局部的, 幾何是全部(全域)的”
newtocas 的信念很正確,但是要小小調整一下, 不是所有代數分之都來自幾何, 比如環論即使在非交換幾何出來之後也不事都有幾何對應, 另外有很大部分的代數來自於 “數體” 衍生的代數結構, 比如 Galois 群, local field, 或是 像 純粹群論的 sylow 這種東西,雖然可以說群式幾何圖形的自同構,但在純群論理面這和研究無關
不過和幾何或拓墣相關的更多,而且更激勵人心,所以是大家的眼光交集處
純代數的工作,有興趣的人也是苦苦專研,如果發現和幾何的連結,才變的有名,否則就像 simple group classification 的 fields medal 工作. 那現在誰看呢?
袋鼠幾何參考書–校正版
筆者是代數幾何工作者..認為代數幾何比微分幾何有趣得多. 雖然微分幾何的重
要性是無庸置疑,但是代數幾何有更多巧妙得構思,也有更有趣的問題..
讓我來說幾本代數幾何的好書:
( 在書號後是金庸小說密籍的類比,書評之後有兩個星號數.第一個是困難度.第二個是重要
(趣味)性, 第三個是讀了投資報酬率 從 1 到 5 是 易 到 難(無聊到有趣) .. )
1 武當長拳( 基本功夫)
Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra 和 Matsumura
的 Commutative Algebra 是代數幾何中代數部份的背景知識. 兩本書只重視
代數而不提及幾何,但第一本書的習題有很多引出幾何背後意義的好問題. 事
實上任何一個交換代數的定理 都有幾何意義. A&M 的書寫的很短, 但是把所
有的內容都做了簡介, Matsumura 的書內容非常豐富,如果唸完她就可以
開始交換代數的現代研究,可以開始看文章,這本書比 A&M 多了一些重要的章
節如 “flatness” 和 “Struture 定理”.
—————————–困難度 中 趣味性 ***
2 梯雲縱 (練了想進哪個分支都可以 …)
Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 是代數幾何的經典教科書.任
何一個年紀不到五十的代數幾何學家都是學這本書長大的. 這本書是
Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一個非常有系統的總結. Grothendick
的書包含的內容很齊全但是失於不實際: 也就是討論的對象過於一般有時沒有
幾何意義, 這一點十分不好. 但是 Hartshorne 的書把整個 Grothendick
的 Scheme 綱領 作了一個最恰當的詮釋.這本書的習題也非常重要 不管將來
對 算數幾何 或複幾何 或 更深入的代數幾何 這本書的習題都是永遠有用的.
本書的菁華在前三章,很好的處理了 scheme的基礎性質,最重要的大定理是
第三章的最後一節”上同調與基轉換” 定理, 是一個來自複幾何的定理. 四五
章分別是曲線和曲面, 但是這兩個專題都有更好的專書介紹.
—————————–困難度 中等 趣味性 ***
3 一套武術服飾(行走江湖 要穿衣服)
Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或
Jost 的 Riemann Surface: 黎曼曲面是數學的核心. 跟一切的數學分支都有
重大關係. 上述四個作者的書都有相當深度. 筆者只唸過 Gunning 的, 是一
本比較重視”上同調群” 的好書. 其他幾本又或重視黎曼面的”雙曲幾何” 或
“黎曼曲面的自同構” 或 “曲線上的特殊線性系”, 都非常有意思. 很多中國
人 還喜歡 伍鴻禧 寫的黎曼曲面引論. 但筆者並不是非常喜歡. Gunning 書的
優點是把層的上同調做了很快但很詳盡的介紹,該書證明Serre對偶定理和
Riemann Roch 定理的方法使用了廣義函數,和一般的證明不大一樣,適合喜歡
廣義函數多過橢圓方程的讀者.
——————————困難度 易 趣味性 ***
4 全真派基本內功(一定要練)
Griffith& Haris 的 Principles in Algebraic Geometry. 這本書是經典中
的經典.是複幾何的基本教材. 這本書的每一章都寫的很完美. 第一章是
Hodge 理論..是複幾何中最深奧的理論. 第二章是Kodaira 嵌入定理 複流形
的嵌入比實流形的嵌入有趣很多. 第三章是 current 和 spectral sequence,
是很現代的工具. 第四章 是曲面論 . 寫的很詳盡 但是有更好的書(見6). 第
五張是特殊專題 對袋鼠幾何中不同方向的人有不同功用.這本書是學習複幾
何的必備教材.但是學袋鼠幾何的人如果讀了這本書,卻能對袋鼠幾何有一個
更全盤更清晰的認識.也就是所謂站在更高的角度.
——————————-困難度 中等 趣味性 **** 投資報酬率 ****
5 九陽神功
Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex surfaces. 這本書是經典中的
經典中的經典. 講的是代數曲面的各種專題. 每個章節都寫的無限完美. 可以
說如果學代數幾何沒唸過這本書. 甚至是學幾何沒唸過這本書..可以考慮換行
.是百年難得一見的好書. 內容包括曲面裡的曲線,相交數,霍奇分
解,pojectivity,有理曲面分類,Kodaira分類,general 曲面,K3&Enrique曲面.
筆者以為此書新版的最後兩張寫的尤其好. 一是 K3 曲面 另一個是 Doanaldson 和
Seiber Witten 理論. 後者是來自模空間的不變量理論.現在都是熱門的專題.
——————————-困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 *****
6 少林派羅漢拳(如果沒事 可以練練)
Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector
Bundles 這本書是 講曲面和上面的向量叢. 曲面的部分講得有點亂,事實上
沒有人把曲面講的比 Barth 還好的. 向量叢的部分有”穩定性條件”的介紹和
刻畫,值得一看.
——————————–困難度 易 投資報酬率 ***
7 雙手互博(可以連結兩樣功夫)
William Fulton 的 Intersection Theory
相交理論是 袋鼠幾何1960-1990發展的一套基本理論,閱讀很多的專門書籍都需要用到他,本書是相交理論的大家 Fulton 的代表作, 介紹了 Chow Group 的性質,袋鼠陳省身—-類, 還有 Fulton 發現的 deformation to normal cone, 用它來做 子簇的香蕉理論,還有很多專題,這些專題都很現代,相交理論是 Gromov Witten 不變量,Donaldson 不變量,
模空間理論 等的基本知識, 基於這些不變量和模空間是現代袋鼠幾何的發展潮流, 這本書前六章的必讀性並不亞於 Griffith & Harris 或是 Hartshorne 的書.
——————- 困難舵 一點點難, 趣味性 ***(主要趣味在應用) 報酬率 *****
8 吸星大法 (練完就可以吸取微分拓墣學家的內功以為己用)
Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of Four manifold. 這是微
分拓墣中的聖經.兩人都是大家. 此書引出了四維流形的 Gauge Invariant (
規範不變量), Donaldson因為他在此書的工作,對四維流行的微分結構增加了
了解,因而獲得菲爾茲獎,而複曲面是四維流形中的一大類 ..因此也屬於代數
幾何. 現代做這個領域的人不多,但是卻是將來幾盒和拓墣發展的重大方
向,Aityah 曾說”21世紀的數學 是 規範理論的世紀”.
——————————–困難度 難 趣味性 ***** 投資報酬率 0
(本書效益在五十年後)
9 乾坤大挪移 (練到一半就夠強了 全部練完你也吐血而亡)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces.
這本書講得是橢圓曲面和其上Donaldson 規範不變量理論.作者利用
此理論得到了曲面 的一個大定理, 證明了最多只能有有限個複變形類共用一
個微分結構. 是一本很專門的書, 內容非常緊湊而且很不容易唸,筆者還在努
力學習.
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10 Kashiwara的Sheaves on manifolds
這本書非常厚,寫的相關層的拓墣性質,有Riemann-Hilbert correspondence,
各種層的?#092;算, 變態層和可建構函數, 筆者沒有唸過所以無法做更多介紹.
11
Hartshorne 的Residues and Dualities
介紹 Derived category 和其上的?#092;算,一些對偶定理.和 Kashiwara 的書有
內容上的重疊,因為Kontsevich 的 Homological Mirror Symmetry , 所謂
的 Derived Category逐漸受到大家的重視.對直攻現代研究有幫助.
12
筋肉人和加菲貓的無敵風火輪 (練前請三思)
Haris 的 The Geometry of Algebraic Curves. 是有一點點狹窄的領域. 研究
代數曲線上的特殊線性系統. 有很多細節的一本書. 唸完後的最大用處就是研
究曲線的模空間Mg, 是現在最熱門的專題,但是做的人非常多,所以可能入手會
很艱辛.也就是很有可能找到你作的題目有其他的大頭也一起在做.不論如何,
唸完此書可以成為一個代數曲線的專家.將來的發展也不少.這個Mg的延續就是
Gromov Witten 不變量,以及所謂的保角場論中的 \sigma 模型. (來自弦論)
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13 五獄派劍法 (有用處但是相當雜亂.拼拼湊湊)
Joe Harris & David Morrison 的 Moduli of Curves
是講曲線的模空間的經典.但筆者唸的有一點頭昏腦脹. 這本書的原型是
前一本書的第二冊.也就是研究 Mg (虧格g的曲線的模空間)的入門書.裡面有
Enumerative Geometry (記數幾何) 的一個全面介紹. 有曲線模空間上的
相交數和各種性質. 該書寫的相當有幾何風味,至少是 Harris 的幾何風味.
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14 九陰真經 (練完後可以開始真正研究問題)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of
Four-Manifolds. 裡面有Gieseker 寫幾何不變量理論. 李駿的 Uhlenbeck
緊化 和 Gesieker緊化的比較定理. Morgan 討論 Donaldson 規範不變量
和對此量的計算結果. 此書的分量不多,也沒有太多繁瑣的性質.各章都直接介
紹最重要的結果和想法.不要求太多細節的驗證.
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15 太極拳 (一法通萬法通)
Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of Sheaves.
是向量叢 模空間的經典用書. 第二部分有此學科最先進的結果. 各章的附錄
都有很重要又有趣的結果.主要內容包括半穩定叢的分解成穩定叢,穩定叢的
陳數不等式(Bogomorov Inequality), Mumford 的幾何不變量理論, 穩定向量
叢模空間的製造, 曲面上向叢模空間的平滑性,不可約性(李駿的定理), K3曲
面上向量叢模空間的性質. 這本書的語言有點形式化,有可能讀的時候會失去
幾何直觀.所以讀者可以參考其他比較幾何的書,比如Robert Friedman 的向
量叢的書.
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16 MK47 步槍 Joyce, Gross & Huybrecht 的
Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror
symmetry 的專題書. 講Calabi Yau 流形的各種相關問題. 有Yau 解決
Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想 和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow)
猜想. 還有 HyperKaeler 流形性質的討論.這是二十一世紀的數學.想要了解
Calabi Yau 流形的相關性質的人 一定不想錯過這本書.
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17 機關槍 (可以搶銀行)
Pandharipande, Sheldon Katz, Hori… 一群人合寫的 Mirror Symmetry . 除了
Mirror conjecture 在五次三微流形(quintic three fold )的證明外, 還包括了
Gopakuma Vafa 猜想, Homological Mirror Symmetry 猜想, 甚至Mirror Symmetry
的源頭: 高能物理中的弦論和 保角場論, 全都由專家執筆.. 從難到易..筆者也在修
練中.
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18 原子彈(請在沒有人類的地方閱讀)
Griffith 的 Topics in Trascendental Geometry 是霍奇結構(Hodge structure) 的一本
經典書. 在1985年左右有一大票數學家想解決霍奇 猜想 (沒錯 就是那個一百萬問題).她
們雖然沒有解出來 但對猜想有很深入的了解 . 本書是她們工作的簡述. 內
容包括霍奇結構的變形,霍奇叢,Monodromy,混霍奇結構,Torelli定
理, 霍奇結構的退化,是一本難讀卻很值得讀的書. 如果想要解決霍奇猜想或
者是其相關問題,就得閱讀此書. 鏡對稱的一辦理論其實就是卡拉比-丘 流形
的霍奇變形所製造的不變量.
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另外還有幾本書沒有介紹..例如有關Hodge 理論有 Claire Voisin 的 Hodge Theory
andComplex Algebraic Geometry 兩冊書, 是很新的Hodge 理論和 cycle 理論的書,寫的
很詳細.又比如 Shrinivas 的 Algebraic K theory, 論述了 Quillen 連結 K theory
和 Chow group 的工作. 這兩樣都是以後很有發展的方向.
一個剛解決的方向是Mori 的三維代數流形的 Minimal Model Programm , 有非常多
的專書..但因為這個問題剛剛被 蕭蔭堂 以及 其他四個外國人 解決 (所有維度) 其投資
報酬率已經是負的了. 也就是說大家可以不用去管它 因為沒有問題可以做了.
其實有很多書筆者並沒有介紹,很大的原因是也沒有讀過所以無從介紹. 比如說 Kai
Behrend 最近寫了 Gromov Witten 專書, Tian Gang 寫了Calabi 猜想相關的書.
Dominic Joyce 也寫了關於”special holonomy” 的書. Daniel Huybrecht寫了一本關於曲
面上層的 Derived category的性質的書.
另外筆者認為, 所謂的 Homotopical algebra(Andrew 和 Quillen 在 60 年代的專
著書), Noncommutative Geometry (Allaine Cone 的工作也有專著), Flow 理論 和
Minimal Surface (比如 Halmilton 的 Ricci flow, 或是 Kaheler flow), 一種叫做
Microlocal analysis (Kashiwara 有專著) 的理論, 無限維李代數的表示理論(Kacs
Moody algebra), 數論相關的 Motivic 理論, Yang Mills 和 Chern Simon 方程的理論,
都將對一百年內的袋鼠幾何發生影響. 其中任何一個方向要學好都是非常花時間的事情,經
通兩項就已經難如登天了,希望各位袋鼠可以找到最喜歡的方向.
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謝謝大家的閱讀,希望能獲得各位寶貴的意見… Quillen
楼上在国外，不知中国实际，我在中国的一个最大的科学单位工作（3万多人），我们单位几乎全是教授，当然都读了在职博士，连开小车的都是科研教授，有的教授还认识不了几个汉字（一般都能写出自己的名字）。中国科研人员的学历、职称主要靠关系和金钱来取得。不在乎有没有真学实才，只要会造假就行。领导一句哈就可以把你捧成天才。就可以获得国家科技奖。工资也不是500元，一般在3000元上下，国家对科学投资很大（数字保密）。一个科级教授灰色收入一般在10万元/年，县团级教授在100万元/年。有的更高。
抱歉我有一些問題:
“当然都读了在职博士，连开小车的都是科研教授:”
開小車? 那其專業是什麼? 交通管理?
“有的教授还认识不了几个汉字（一般都能写出自己的名字）。”
這有可能嗎? 這樣這些人的薪資比大學教授還高? 3000>500?
可以請問這是什麼科技的研究團隊嗎?
驚訝的 Quillen
我覺得只要搞好下面幾本就可以了
1
Do Carmo(多卡模)
“Differential Geometry of Curves and Surfaces”
就唸到第四張就好啦 一百年前的幾何學 都是 R^3裡面的, 其實沒有講太多東西,主要是 Gauss定曲率, 引出”isometric”概念,還有特殊情況的 Gauss Bonet 定理而已.
2
Spivak
“Calculus on Manifolds” 講 stoke 定理ㄚ, 有很完整又易讀的微分形式的定義,很少書寫這麼好又這麼短的
3
Mukre 的 Topology
基本的拓墣都講的很好, fundamental group, deck transform, covering 在最後一章寫的很棒
4
Joseph J. Rotman 的
An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics)
代數拓墣的書琳瑯滿目, 這本書寫的清晰易懂, 把定理都講的很清楚, 很完美的自學書.
5
Bott and Tu
的 Differential Forms in Algebraic Topology
這是一本經典中的經典, 如果想要同時學好拓墣和幾何,一定要看這本書,很適合在唸完 Calculus on Manifold 之後再唸, 可以學到 sheaf cohomology, Spectral sequence,Chern class很多東西 (Milnor 的Charateristic class 也講 Chern class, 但是用 Differential form 比較漂亮)
6
Allen Hatcher 的 Algebraic Topology
是一本有很多附記,很多例子的書, 作者花了很多的口水講旁白,不喜歡定義定理式書的人可以拿這本學代數拓墣,內容有點多的不可思議,各章的附錄都寫有代數拓墣的最新進展,想要在代數拓墣登峰造極一定要試試看,不過可能會很累.
7
Warner 的
Foundations of differentiable Manifolds and Lie Groups (Graduate Texts in Mathematics) (Hardcover)
真正是一本好書,除了測度之外的所有的幾何漢拓墣的重點都詳細說明, 有李群, 所有同調的等價,還有最後一章講 Hodge 定理,簡潔有力,別的地方找部到這麼好的Hodge理論的
8
Wells 的
Differential Analysis on Complex Manifolds (Graduate Texts in Mathematics, Vol 65)
是一本拿來學複幾何的完美書,從定義複流形一直到 Hodge定理證明,再到 Kodaira vanishing& embedding 很詳盡又部會太厚, 一個小缺點是用了有點難度的 pseudo differential operatior 來證明 eliptic regularity, 但是其實可以看 warner 的書最後一章取代之, 只有用到 5 張紙就講完 elliptic regurality (不是最一般的情形)
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其實真正學好幾何和拓墣是很困難的..
上述的書學完也只不過學到 1960 年代而已
想要看 1960以後的材料,可以分為幾何的人學代數幾何或微分幾何或辛幾何,拓墣的學代數拓墣或微分拓墣, 現在微分拓墣比較弱勢, 中國人的微分幾何很強, 有丘成桐田剛甚至在國際上領軍,辛幾何有阮勇斌幾乎是國際上的領導者, 但是代數幾何,代數拓墣,微分拓墣,中國人都沒有什麼大成績.
筆者(Quillen)在幾何與拓墣本版有一系列的代數幾何參考書, 至於 代數拓墣和微分拓墣,有幾本進階的書我在這裡提一提
Whitehead 的 Homotopy Theory,
Steenrod 的 Fiber Bundle,
Felix, Halperin, Thomas 的 Rational Homotopy Theory(非常新的理論)
Thurston 的 The Geometry and Topology of Three Manifolds (這是西方國家很熱門 但是在中國幾乎沒有人碰的,也許除了朱熹平)
Donadlson 的 The Geometry and topology of four manifold (經典中的經典)
Robert E. Gompf 的 4-Manifolds and Kirby Calculus (Graduate Studies in Mathematics) (Kirby calculus 是四維流形的 surgery, kirby是阮勇斌的老師)
這些只是依部份,一直到 1990中的, 1990以後就得看文章嘞
拓墣真的很美, 小弟祝大家好?#092;
不过我还是决定先读Matsumura的书，我比较喜欢代数一些，而且我还没有读过任何代数几何的书，留到读完了交换代数再回过头抽空读读哈茨赫恩或者别人的书的看看是否能进入到代数几何领域。
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很不錯, 能只看代數部看幾何的人不多了, Matsumura 比 Zariski 難看很多, 因為年代差很多而且 Matsumura 真正是一句幾何也不提, 如果你唸完這個我們可以討論討論交換袋鼠的現代研究
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交换代数这个学科目前我感觉较了解的是Combinatorial commutative algebra, 通过组合手段找到某些上同调环在结构方面的一些比较清楚的例子，
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我對這個名詞從來沒有概念, 能不能請你多講一點相關的, 上同調環是拓墣空間的上同弔環嗎? 哪裡用到交換代數.
寫得很棒
但是這句話:
一个硕士读100篇外文文献就够了，精读15篇左右。而一个博士至少需要读1000篇的外文文章，精读至少100篇。
實在是令我大吃一驚…..我念博士都快畢業了 只看過不到 20 篇的文章, 精讀的不到 4 篇, 請教樓主是念哪一們的.. 怎麼有辦法看這麼多, 我是廿代數幾何的
在數學研究裡 分析是用來對付方程, 方程可以來自幾何和物理, 代數則是可以直接對付數論, 也可以拿來對付代數幾何
數學裡面 要尋找喜歡的研究對象, 比要尋找使用的工具還要重要, 如果喜歡分析多一點, 建議讀一讀微分幾何 (可能需要一 點拓墣), 如果喜歡代數多一點, 建議找本代數數論的書來唸 (唸表示論也可以) 如果兩個都很喜歡, 可以嘗試唸唸黎曼曲面和袋鼠幾何..
否則只把分析和代數的教本唸完, 也只有把這個世紀的 1930年左右而已 上個世紀後半 70 年的數學發展 是 地球誕生到 193多複變的書物是很多..連外文的都不多 , 大概一百年內只有7,8 本差不多的(所以有些還要過時了) 多複變是非常難的領域, 比幾何還要難, 可能可以在 www.amazon.com 查詢 “several complex variable” 的關鍵字
懂得多複變的人也是很少, 代數幾何學家一般都不懂, 至少我也不懂
0 年內數學發展總何的 100倍還不止, 而且都是非常有趣的…..
回 Bird 兄: Quillen说的是要学好前面三章吗？后面的找不到啊．Hodge理论是第几章？
是, 看好前三章真的會讓你愛上複幾何, 後面幾章好像這位XianXian 小姐沒有翻譯, 我懷疑 原來的三章的翻譯也譯的不好,建議去圖書館借一本來拷貝(買一本要人民幣 600左右 非常貴)
Hodge 理論是第0 章, 聽說寫的有點複雜, 所以建議可以去看 Warner 的 Foundations of differentiable Manifolds and Lie Groups 第六章 (第五章也不錯)
Warner 的書真的很好, 不過沒有提黎曼測度以後的事, 但是非常值得一讀..
數學是一片汪洋大海. 高中數學只是屁, 陶哲軒小學就自學微積分, Gerd Faltings 高中就唸完 Boubarki, 邱 21 就拿博士, (陶也是)
天才是什麼, 天才是能夠延續自己的興趣的人, 說話是沒有用處的, 只有下手去做, 交談只要交談數學,為什麼浪費青春你來我往(包括我在內)
真的對數學有興趣,要趕快找有意思的書來看, 不是抱怨政府, 我是台灣人,出國前還要抱怨政府強迫每個男的當兩年兵勒.. |
| 如果我已经学完了Zariski的交换代数，而且已经有了同调上同调的基础，接着我是学H。Matsumura的交换代数和交换环，还是学D。Eisenbud的交换代数然后再学他的The Geometry of Syzygies呢？我目前处在两难之中，两者都大概看了前面一点，请高手您给个建议，我的目的是快速在某些局部上到达现代代数几何沾点边的研究前沿，这个局部和环与代数有更大的关系。当然您也可以向我建议别的途径，虽然没有说太清楚。谢谢！
這兩個選擇都很好, 但是如果要達到你說的目標 可能兩者都要看 不過第二個選擇會唸起來比較舒服
快速在某些局部上到达现代代数几何沾点边的研究前沿 其時代數幾何幾乎沒有專門研究局部的文章, 除非你處理局部的變形,但那也需要行變的物件是全域的, 專門研究局部的文章 是交換代數, 現在做交換代數的人不太多, 作的有些代數幾何人也不是太關心
個人還是建議想辦法唸一點全域的代數幾何比較好, 不論從複幾何入手還是純代數方法, 前者就是讀 Griffith& Harris 的袋鼠幾何原理, 後者是讀 Hartshorne 的代數曲線, 任何單純搞局部的代數幾何一丁會碰上全域的問題的..除非你專門做交換代數…那就請參考
arxiv (上 google 搜尋 arxiv) 上面的交換代數版的文章, arxiv 是現在全世界大小數學家為了不讓緩慢的雜誌審稿拖延,把其文章再還沒登上雜誌時就貼上去的一個”論壇” 任何數學科目 任何大小名氣數學家都是這樣做, 是一個數學的秀場
我是 Stanford 博般的四年級生, 最近拿到學位. 我想對著說說我的經歷 (有作秀成分 請勿挑剔):
我選擇數學系, 挑了一個作代數幾何的老師學習, 大一大二念了高維, 基本拓墣, 環論, 交換代數 黎曼面, 大三大四唸了李代數李群, 泛涵分析, 代數拓墣, 複變 ,微分幾何.
畢業後的暑假得去當兵 退伍在台灣某個理論數學中心服務了一年, 唸了 Hartshorne 的代數幾何, Griffith& Harris 的複幾何, Serge Lang 的代數數論, 申請到加州的 Stanford 來念書, 一開始想跟做 Birch Swener Dyer 的 Karl Rubin 工作, 但是發現自己沒有數論頭腦(這個問題也太難做), 換了老闆跟隨來自上海的 李駿教授.
我在這裡遇到了來自 Princeton 聽說是該校 30 年來最好學生的 Robert Lipshitz, 作低為拓墣和 Floer 理論的研究 , 遇到了來自復旦的做的很好的 吳寶生, 遇到了哈佛大學來的幾個天才學生, 我門系上45研究生有一大堆是拿過奧賽獎牌…
在老闆指導下真正發現高手的等級, 小我一屆的有一位叫做 Devish Maulik 的Princeton 學生, 博一時就寫了四篇文章,眾多大頭為此開了一個數學會議, 我的博士班過程等於是學習這位仁兄的數學, 博士論文是想辦法對付他所提的猜想, 我真正的知道了人外有人天外有天. 有些人讀一兩年讀一個專題, 也有些人兩三個星期就學懂甚至能夠操作並研究裡面的問題, 我發現我變成了前者. 但是有著小小的論文結果 老闆仍是讓我畢業
我現在在申請博士後研究的工作, 2006 九月去過大陸復旦和華東師大參加會議,真的很喜歡大陸和大陸人們, 美國這邊的物質水準很高, 但是人和人之間过的生活很不適合我
我很想好好的學一點微分幾何, 現在覺得微分幾何是幾何的基礎,代數幾何的胡吹大氣太多, 不如曲率連絡測度和微分方程徹徹底底的對付來的爽快,相關的如如 Yang Mills 猜想 和 Mirror 猜想, 我的博士論文工作是有關這兩個方向的代數面的問題, 我也想學學她門的微分幾何面和物理面..這看來真的不容易…
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這篇”how why and creation” 的文章說的很實在, 回帖的數目相當的多, 我對幾句話非常的同意: “博士阶段最重要的还是写论文。写论文之前首先要读论文。读论文是博士阶段学习的主要手段” 我現在還在學習有效看論文, 都還屬於看書的階段, 我想這是非常困難的一個關卡 , 但是談到看書這回事 所有的書都是 至少15 年 以前的工作, 我們對數學的學習 就是從 古老的一直學到現在, 從 2000年前學到15年前, 但是 15 年內怎麼辦, 那就是看博導和自己的看論文的功力, 如果讓博導來教你看 15 年前的書 那是在浪費博導. 也是浪費生命, 自己應該保留選擇看書的權利.
這段文章 “how why creation” 的主要內容, 其實在美國研究生中是天經地義 幾乎可以說是所有研究生都視為廢話的事: 數學並不是神聖的科學, 數學是人們玩遊戲的一個場合. 雖然這個遊戲有點龐大, 但仍然是遊戲, 遊戲裡我們要的是獲利, 是贏, 是自己的見解在新發現上的快樂 不是整天在尊重老前輩,尊重別人的學習精神, 虐待式的逼自己學習, 學習只是為了解數學這個大遊戲裡種種不同小遊戲的遊戲規則,你要玩代數 不能不知道群環體,之後才再看你想玩哪一種代數, 要玩拓墣得知道 基本群 同調同倫, 包腔, 但要繼續玩下去就得知道 更多東西, 想玩幾何的人要知道很多東西,包括相當的拓墣 但之後可以選擇玩微分幾何還是袋鼠幾何,…我想學習不應該戴有神聖的味道,
我出國有五年了 曾聽到有一句話有關學數學的人(尤其中國學生)應該建立的心態: “樂趣才是王道”: 你做數學有權利不喜歡這個 不喜歡那個, 但是要發現自己的方向才行
數學是一門測試玩家的獨立性的學科, 知道自己想要什麼並且可以去下手搶奪的人 才可以玩這個遊戲..我們不應該把自己變成只是整日價閱讀著作的書蟲, 這部過是替社會增加了一個怪胎, 我們應該把自己放到遊戲的最前線, 不要整天去看大頭們的舊表演, 看舊表演只不過是想知道現在的玩家們都會些什麼舊技巧, 我們要做自己的表演.
當然 數學不是文科, 所有的數學問題都應該想辦法之道為什麼, 更重要的是問問題, 我知道問笨問題很容易被忽視或瞧不起,問聰明問題會被認為是賣弄,問 open 問題會被認為是刁難別人, 但是這些都只是 “社交” 推論, 問問題是數學的命脈,好的數學家是會問好問題的數學家 不盡是解問題的數學家, 丘解了 Calabi 和 Positive mass 猜想, 但是他提出的是更多的微分幾何和 數學物理的重要問題 , 會解習題的學生是強的學生, 但是會問好的問題 (不是習題) 的學生才是真正有數學精神的學生, 回顧希爾伯特的話 “數學的生命在問題” , 如果能問好的問題, 你給了數學生命 , 不要總是想從數學那邊獲取生命, 而是要給她生命…….
Griffiths和Harris的<<代数几何原理>>你會需要學過複分析, 唸過一點點黎曼面, 知道一點點聯絡的性質, 就足夠了
我想跟你說的是 這本書是從學生變成研究者的第一關, 而且還是最難過的兩關中的關 (另一關是找題目), 過了這關 你的眼界會橫向開展無限倍, 在這本書上硬著頭皮下的工夫, 所有的投資報酬率都超過 1 倍…
不過我建議唸 Hodge 理論的時候參考一下 Warner 微分幾何書的最後一章, 寫的比較短,比較容易接受(需要作一下習題)
這本書有五個主要章加一個附章 012345, 如果能好好讀懂 012 , 那麼丘成桐就可以收你做弟子了 (至少田剛在作為他博一學生得時候把這三張都背起來了)
012 中 0 最難 可能需要別的參考書 , 我那時是唸 Warner 和 Wells 各一本微分幾何在唸 0 的 , 1 會用到 0 , 2 會用到 1
本書的第三章是很特別的專章, 是這個世界唯一講 該理論的書, 第四張可以不用看而去看 Barth Peter Van 的複曲面(除了 Noether 公式), 請見 Quillen 大俠的 “讓我來發袋鼠幾何參考書”
隨便找一本現代代數書把群環模體給學了, 之後有幾個選擇, 依照其興趣
找 Homological Algebra來唸, 找 Galois Theory 來唸 , 找 Commutative Algebra 來唸(可能需要之前的都唸過) , 找 Ring Theory 來唸 (主要是非交換環), 找 群論來唸 (那在下就不知道念什麼嘞 可能廿數學物理或 Sping Geometry), 找 Lie Theory 來唸 (唸李代數, 之前可以唸李群比較好), 找代數數論來唸 (這個就很多了 , 要Galois Theory 先學會, 要 class field theory, 要 dedikind domain, …) 最後找代數幾何書來唸 (這個就更多了, 建議看本人在幾何與拓墣版的代數幾何參考書, 該文系列題目是”袋鼠幾何系列 1-7″ , 系列 8 因為太少人頂了有點便秘初步來)
在群環體中, 群只要會自己證 Sylow定理就好, 環只要會自己被下所有定義就好, 模只要知道基本分解定理就好, 體的話比較麻煩, 知道各種擴張和自同構 (Galois) 群就好. 學這些東西 只要心無旁鶩的騰出三天空, (就是把女朋友給支開啦), 就可以全部學會 , 至於上一段的那些進階代數, 可能不只是要把女朋友之開才有用吧…可能需要開除…..
strongart 老兄 我同意您的看法
但是老伍的說法是沒錯的, 一方面那時候整理好的全面書只有所謂的經典, 另依方面老伍本身的數學水平也沒有到自我創新的地步, 此類的數學家就是在古老的根基上更築高樓 , 其求學過程也是偏好經典
經典的缺點是可能不是最新的理論 全面性不夠 , 這也是這個年頭數學系研究生廿東西時會遇到的一個主要問題: 到底要唸多少書, 再開始唸文章, 唸多少文章, 再開始想題目..
事實上每個人的過程都不一樣 不過老伍因為食人牙慧, 現在也是從是數學教育, 不能在數學研究上突破, 簡單的原因就是從別人的地方學到了知識(經典),學不到去找存在自己心中的知識(研究)
然而，grothendieck发现了尴尬的情况：
grothendieck theorem:scheme的coherent sheaf cohomology全部为0。
coherent sheaf是一种很好的sheaf，在affine的情形下，它相当于structure sheaf F和关于模M的constant sheaf(细心的人会发现这只能定义在irreducible space上)的一个张量积。
这说明了什么？很明显，这是zariski topology的不足造成的。因为这个拓扑太粗了。我们需要更精细的结构。一项浩大的工程被激发起来了，把sheaf定义到一个范畴上（我们前面已经这么做了，然而在那个年代还没有），并且从一个概型上诱导出一个grothendieck site，在此之上我们就得到了一种上同调，它被称为etale cohomology(平展上同调)。
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很抱歉要挑這麼好的帖的毛病, 就算在 etale topology, 如果U= etale neighborhood of p 是夠小的話,那麼（任何?) 層在Ｕ上計算 etale cohomology 應該還是零吧…
不知道 樓主兄有沒有興趣或者已經研究過 Illusie 的 cotangent complex, 我認為會是袋鼠幾何一個很棒的方向, 必須在 Artin Stack 上用 smooth site 來定義 (最原始的定義,好像最近被 Berkeley 的 Martin Olssen 修正, 我也想念唸看） 1、首先，Poincare在国内的名声还弱么？谁看见Poincare在数学基础上干过什么？如果不带任何成见的去看，我们看见Poincare在这一方面负作用倒是起了不少。他竟然意识不到定义“数”、“1”的重要性，而对罗素的伟大工作冷嘲热讽，其实恰恰证明了其短视。如果当年数学界真的听从了Poincare，数学的逻辑结构将仍然处于19世纪末的混乱之中。
2、某些人确实对Hilbert的成就很了解么？我们来看一下，Hilbert直接参与了哪些重要工作：不变式理论、代数数论、分析及数学物理、数学基础、为新生的集合论摇旗呐喊。其中，代数数论和数学物理方面都是关键性的工作。数学基础，才是最重要的。由此，发展出公理集合论、证明论、递归论、模型论、范畴论等等。Hilbert本人直接开创了证明论，而整个数学基础可以说都是在Hilbert的大力推动下而产生的。数学基础为什么重要？就因为，这个问题搞清楚之后，数学才有了规矩。同时，通过数学基础，我们有了模型论，我们看见了无穷的可能性。每构造一个新的模型，就是一个新的方向。新的代数产生了；非标准分析问世了；拓扑斯降临了……即使是人们认为Hilbert忽视了的拓扑学，又怎么少得了数学基础呢？如今真的存在不是代数的几何么？
当有人说“永远的数学”时，请问，数学基础难道不正是真正的“永远的数学”么？谁又能反驳我前面说的“Hilbert给出了一个无限集”呢？谁又能说Hilbert不是20世纪以至于将来的数学的总设计师呢？ 当有人说“永远的数学”时，请问，数学基础难道不正是真正的“永远的数学”么？谁又能反驳我前面说的“Hilbert给出了一个无限集”呢？谁又能说Hilbert不是20世纪以至于将来的数学的总设计师呢？
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A: “數”"1″ 有什麼重要性呢? 任何即使是剛出生的小孩都知道其重要性 完全不需要公理化, 公理化數學基礎只是讓數學變的毫無矛盾, 並沒有給數學與活力,沒有提出夠多有意義的數學問題(除了一兩個之外). 羅素的工作其實是一點也沒有意義的, 除非你做的是數學基礎,而且就算沒有羅素數學今天的發展是沒有多少改變的. 數學基礎數百年來,除了 Godel 和 Paul Cohen 解決得問題之外沒有真正有意思的問題提出, Paul Cohen 在我工作的數學系上, 我倒以為他對Atiyah Singer 定理的貢獻比 AC 還大的多
B Hilbert 的確是很具洞察力的數學家, 但是您所說的 “不变式理论、代数数论、分析及数学物理” 也就是 初步GIT, 初步Class field theory, 兩個 analytic number theory . 這些工作他就是起個頭(除了華林問題), 真正的工作還在後人. 當然我承認他在狹義相對論的貢獻是巨大的.
當然起頭仍然是非常了不起的,不過要說 “模型论，我们看见了无穷的可能性。每构造一个新的模型，就是一个新的方向。新的代数产生了非标准分析问世了；拓扑斯降临了” 這段話實在真是令人匪宜所思的咒語, 您是學數學基礎的嗎,您知道數學基礎對這80年內的數論,拓墣,幾何的發展根本沒有任何的影響嗎? 沒有數學基礎這門學科,甚至沒有 Godel & Paul Cohen, 這些數學的核心科目的發展一點也部會受到影響, 數學基礎的確是”永遠的數學” 也是重要的數學, 但是早就變成”永遠沒有受到整個數學界關心的新問題的數學了”.
另外, 拓墣的降臨和 Hilbert 是沒有關係的,這是毫無疑問的, 非標準分析 其實也不是重要的科目.個人看法請不要因此太激動.
如同 Hilbert 的觀點, 他說” 一門數學分支 重要的是其內還未解決的數學問題,以及這些問題和數學其他科目的聯繫” 那更證明了數學基礎的沒落(在下不敢說死亡). 另外 Hilbert 當然不是 20世紀數學的設計師,事實上沒有人是20世紀數學的設計師包括Poincare也不是, 但是Hilbert 可以看成是 前半個20世紀的數學設計師之一, 不過前半個世紀因為世界大戰影響,沒有巨大的數學進展,
“即使是人们认为Hilbert忽视了的拓扑学，又怎么少得了数学基础呢？” 這段話更是表現您對數學基礎的狂愛, 事實上拓墣學當然一點也不需要數學基礎, “General Topology” 作為拓墣學重心的時間不超過五年, 這六十年來, 不論是微分拓墣,代數拓墣, 最近的拓墣場論, 辛拓墣,從來不需要數學基礎.
“如今真的存在不是代数的几何么？” 對於如今有沒有不是代數的幾何,如果說用到”數字”就算代數的話,當然所有世界上的理科都是數學基礎,但這樣也太小看代數學了, 事實上要用到代數方法為重心才應該算是代數, 否則把解析數論也看成代數,….這樣我就不知道該說什麼. 恐怕 陳景潤會復生跟您打一架也說不定.
黎曼幾何, 複幾何, 主要的功夫都是在分析,方程 而不是代數, 盡管在這些科目你需要 Holonomy”Group”,需要 “cohomology class”, 需要 “coherent sheaf”, 需要 “exact sequence”, 但是這些都不是這些科目主要問題被解決需要的技術,在黎曼幾何或複幾何中,真正需要的是微分方程和數學分析,只要稍微學過這兩個科目的人都知道這一點. 代數漂亮的地方往往是提供更清楚的看法,但在這兩個科目的情形,甚至也是很多其他數學分支的情形下, 這不過是提供一個人們描述問題更好的方式,但對真正的解決問題, 還有很大的一段距離. 舉例來說, P&NP 問題有數百種等價的問題描述方式, 但沒有依個可以給出解決的方向, 甚至是一點點的提示.
更何況,根本不應該認為數學基礎用的是真正的代數,所謂現代的代數學, 至少這50年來代數的進展 都不是在數學基礎, 比如說 Group Cohomology, Homotopical Algebra, Class Field Theory, Ring Spectrum, Hoschild/Cyclic cohomology, Lie/Super Algebra, Representation Theory (of lots of structure), Algebraic Group, quantization, Mordel Group, 等等..
“谁又能反驳我前面说的“Hilbert给出了一个无限集”呢？” 我能反駁, 任何人都很可以了解無限集, 無限集的概念一點也不困難,Hilbert 只是澄清了無限集的 cardinalty 的一些性質, 事實上當代的很多數學家都辦的到這一點,問題是無限集的 cardinality 對其他數學科目真是沒有巨大的應用,只能說這個概念是自成一個研究對象.是很有趣的科目,但剩下的問題不夠簡明. 簡明的問題如 連續統 已經被 Paul Cohen 解決, 雖然其答案很不能令我接受.
很抱歉指出一些事實, Hilbert 是偉大的數學家,和 Poincare 不同的方向 , 但數學基礎並不是他最重要的工作, 事實上我個人認為數學基礎脫離”主流數學”已經至少有40年了..
這是我三年前的看法.
三年來我發現, 代數幾何和數論和代數的關係, 是數論為對象,代數幾何是工具,也就是輔助用, 而代數幾何和微分幾何的關係,就變成了微分幾何是工具,代數幾何是對象,更嚴格的說應該是,真正的對象只有幾何(圖形)和數(或更一般的數體裡的數),而代數和分析式工具
那麼ˊ這樣來說代數幾何是用代數這個工具研究幾何這個對象的學科,他對數論的交互引響是吸引人的,但是沒有和微分幾何的交互影響深刻(個人看法).
不敢苟同，Grothendieck重写代数几何，最大的motivation是Weil conjecture.
代数几何本质是研究多项式零点集的几何，这根本就是数论。
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Grothendieck重写代数几何，最大的motivation是Weil conjecture.
代数几何本质是研究多项式零点集的几何
這三句話是對的,但是”这根本就是数论”這句話是錯的..
舉例來說, Weil 猜想裡最重要也最難的是第三個問題,也就是 Weil Zeta 函數分子分母兩個多項式的根的模都是固定值, 這真是依個數論問題,但是第二個問題, 這些多項式的次數是 smooth variety/C 的 betti 數.這就不是數論關心的重點了.
在正式的學科分類上,這是算數幾何的範疇,如果你硬要稱呼那是數論也無不可,只是和人(內行人)打交道時要說明白,因為所謂數論的幾乎的所有功夫都是在 代數數論(類域論), 解析數論(自守形式), 上面,真正用到的幾何(scheme)都是一維的,最多是 over Z 是一維的, 也就是實際上是兩維的,而這種情形也就是 Arakelov Geometry 也被稱乎是算數幾何而非數論
代數幾何為什麼不是數論呢?
Ans:早在 Grothendick 以前,人們就已經知道 sheaf,知道 cohomology, 知道 橢圓算子的 semicontinuity, 知道 coherent sheaf. 知道 Kodaira vanishing/embedding ,知道 代數曲面的雙有理分類 知道曲線的雙有理分類等於同構的分類,知道很多很多東西.
Grothendick 只是把這些東西用交換代數的語言改寫, 並且看到這對算數有利.
哪些代數幾何是數論學家不真正需要或不願研究的呢?
Ans: 數論學家,光是研究橢圓曲線上面的有理點構成的裙就頭破血流了,沒有人會去關心高維或者甚至不是 Abelian Variety的情形,您看 BSD 猜想, Laglands Program, 和姊悉數論..現在已經是所有數論學家眼裡看的道的領域和問題,幾何他們是不碰的
哪些幾何呢..基本上有四個代數幾何的中心問題,數論學家只是沾邊而已:
(1) 代數簇的分類(當然高維最多只能做雙有理分類,但是已經被證明,所以焦點已經被放在模空間的形狀和緊化)
(2) 代數簇裡面子簇的模空間,以及他們的相交,比如說 Gromov Witten 不變量數依個代數簇裡面的黎曼面的個數; 代數簇上面的向量叢的性質,模空間的性質,和這兩種模空間的關係,以及這兩種模空間裡面相交數反映的代數簇的拓樸性質( 例如 Donaldson 理論)
(3) 代數簇的霍奇猜想: 想問是不是一個下同調類是被依個子簇表達的,問其條件是否就是”調和條件”
(4) 鏡對稱猜想, 和弦論的關係, SYZ 猜想, …….
這裡面有很多幾何,雖然都可以看成是代數問題,但是用代數觀點是完全做不出任何結果的. 我想如果更願意談複幾何, Calabi Yau 流形等物件,在這裡面,數論就不是研究的重心.事實上很少沾得上邊.
讓我再回到 Weil Conjecture
事實上這個猜想還沒有完,人們應該努力的去看看Zeta 函數分子分母兩個多項式是不是也反映了原來的平滑簇/C 的 Hodge 數.既然次數反應的是betti數..那應該有些原多項式要分解成子多項式對應Hodge分解.嚴格上到底什麼才是正確的敘述呢,我不清楚有沒有人處理過這個問題.但是這會是很重要的問題,因為 betti數是拓樸量,Hodge數才是幾何量.
在我这个领域equivariant-k theory,用的很多，隔行如隔山，我自己只想学会能够使用就好了。 比如说Grothendieck的Scheme改写代数几何，这当然是革命。请问你所说的Quillen的思想对代数几何的巨大革命，如何理解？
还有三个革命都有关联，那么其中Langlands Program与其它方面是如何联系的？
我想做的是几何表示论，与所谓的“Geometric langlands program”据说距离比较近。
请指点
(1)
這一大串問題..我看完已經有點喘不過氣了, 花了三分鐘靜下來再花三天想一想答案是什麼,以下是我的看法
Quillen對代數幾何的革命, 主要是從兩個意義下來看,一個是 Higher K 理論和代數幾何的關係,從他定義的正確的 高階K理論並發現K理論是scheme上面的一個層,taking appropriate cohomology 得到了 Chow Group,人們因此想知道 cycle 的製造方法,看看是不是可以從 K理論取得幫助.
另依個是 Homotopical Algebra, 我的觀點是Kontsevich的廣義變形綱領,應以 Homptopical algebra 和幾何的關係面入手,這遠不僅僅是Grothendick scheme概念的推廣, 因為必須使用 Derived Category 的概念和 Homological Mirror Symmetry也許會有關聯,一個主要的研究對象是 Contangent Complex, 也就是 intrinsic moduli problem 的 Deformation complex.
(2)
Laglands Program 和物理方面聽說是非常有聯繫的請見Edward Witten在博客來數學系主頁上的一篇巨長演講稿, 和 K理論的聯繫我不清楚,但是聽說也是有的(Motivic Theory, 參見 Vovoesky或Levine的著作), 這兩個聯繫我都不清楚,但都是存在的,我只知道 Geometric Laglands Program 是 Laglands Programm 的另依種版本,主要的問題圍繞在廣義的 Shimura Variety. 我比較清楚的是前依個問題. 國內應該沒有 Laglands Program 的大頭, 要學的話應該在國外學. 聽說憲再的狀態是一團迷霧, 很多此門的博士生靠作一個特別的 algebraic group 的表現來畢業. 這也是混沌狀態的體現. 很抱歉無法提供更多的資訊
初學人都匯困惑於到底是學代數還是學幾何,通常發生在唸 Atiyah& Mcdonald 或是 Matsumura 的交換代數上 , 事實上(交換)代數就是幾何, 幾何也就是代數, 正確的方法如下:
唸 Atiyah& Mcdonald 的時候,一定要把習題作一遍, 看得時候最好一邊參考 Hartshorne 的書 1.1–>2.2 但是層的概念一開始不好懂, 可以參考 Gunning & Russi 的 黎曼曲面, 從複幾何來講層符合層的歷史發展也容易使人接受
唸 Matsumura 的人 唸的下去純代數的,表示有純代數的天份和傾向, 不然如果廿部下去, 應該參考 Eisenbud & Haris 的書: Commutative Algebra from geometric point of view
有一些書很值得參考比如 Eisenbud&Harris 的 The geometry of scheme, David Mumford 的 Projective Varieties, 或者是 Shafaravich 的 Introduction to Algebraic Geometry 但是這三本純粹是要討論幾合而非代數, 是真正代數幾何的書.(第二本有點難)當然最好的幾何介紹書是 Griffith& Harris 的Principles in Algebraic Geometry.
我個人並沒有看完所有上述的書,我不過是 把 Atiyah* Mcdonald 的抒看完並把習題作一遍, Hartshorne 看前三章並把習題作一遍, 其他的 書我只有亂翻一部份, 其實很令我難以忘懷的是後來閱讀 Griffith Harris 書的前兩章..真的是讓我覺的學了那麼多的交換愛數是很有價值的一件事.. 這前前後後花去我從大學二年級到博班一年級共五年的時光.(當然其中也做了別的事,我的意思是有些概念我花了很長時間消化,或毋寧說只是去習慣)
在你看代数几何书中的各种结论的时候
每个定理的几何意义和背景是怎么看清的呢?
背景其實我並沒有看清,定理被人們發現且證明的時代是很說的準的.
幾何的意義,基本上要掌握住Grothendick 語言,把交換環看成 affine variety, 把 環映射看成 affine variety 的 全純映射, 基本上就是把 Hartshorne 或 Atiyah Mcdonald 翻譯成 Griffith Harris 的書. 我下一篇再詳細說
這是我三年前的看法.
三年來我發現, 代數幾何和數論和代數的關係, 是數論為對象,代數幾何是工具,也就是輔助用, 而代數幾何和微分幾何的關係,就變成了微分幾何是工具,代數幾何是對象,更嚴格的說應該是,真正的對象只有幾何(圖形)和數(或更一般的數體裡的數),而代數和分析式工具
那麼ˊ這樣來說代數幾何是用代數這個工具研究幾何這個對象的學科,他對數論的交互引響是吸引人的,但是沒有和微分幾何的交互影響深刻(個人看法).
這次要介紹的是1980-1990中, 承先啟後的數學家, Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov :
先介紹 Gromov: Gromov 的主要工作是辛流形中仿全純曲線的構造, 以及其模空間的緊化, 這個工作和代數曲線模空間的緊化有點類似, 但不同的是仿全純曲線只需要給定辛流形上一個可行的近複結構 ( an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold), 不需要該近複結構是可積的, Gromove 了解了這種曲線的”specialization”, 也就是一連串這種曲線的極限曲線, 有名的 Gromov Compactness (緊化) 和 Uhlenbeck 的緊化 (見 Donaldson) 並稱齊驅, 後來 Ruan Youn Bin 和 Tian Gang 等人以此構造了數學上的 Gromov Witten 不變量 和所謂的量子上同調, 現在是辛幾何的主要研究方法. 這一工作對代數幾何的重要性是很大的, 至少Kaehler 流形是 辛幾何和代數幾何的交會點, 這上面的 Gromov Witten 不變量(也就是 數數看流行中有幾條訪全純曲線) 是代數幾何的一些古老問題解決的終極手段( 所謂的 Enumerative Algebraic Geometry 早有一百多年歷史, 只是一直沒有系統的理論來統合, Gromov Witten 理論是其中依個選擇)
其次介紹 Maruyama, David Gieseker: 他們的工作是層的模空間的構造, 他們?#092;用了 David Mumford 的幾何不變量理論(Geometric Invariant Theory) 考慮了一固定簇 X, 上面給定其陳類(陳類是簇的完全拓璞資訊)的所有 的 半穩定 的 層. 這一個(半)穩定性 (semi-stability) 被稱為 Gieseker (semi)stability. 這些層的搜集上面有一個天然的複結構,也就是(半)穩定層的模空間的複結構, 這個空間和所有穩定的映射 C->X 的模空間有相似之處,在 X唯一個點時就是曲線的模空間(十年前由Deligne + Mumford 構造)
Gieseker 還考慮了這種模空間的退化: 隨著簇的退化,模空間當然也跟著退化(degeneration), 這個退化的手段這五年來慢慢成為代數幾何的重要研究對象 (當然簇的退化已經有很多例子 ,比如說 K3曲面,或是代數曲線的退化)
最後講 Simon Donaldson:
Donaldson 考慮四維流行上面某依個向量叢上面辦自對偶的連絡的模空間,再這個空間上做一些天然同調類的相交,得到了一串量並證明這是該四維流形的微分結構不變量. 在他之前 smale 證明了大於四維的流形的 Poincare 猜想(和求同倫必和求同胚), Freedman證明了四微的猜想, 當時最大的拓墣問題還是 三維Poincare猜想,一直到最近才被 牛怕了悶 先生解決, 但是人們對微分拓墣的 Poincare 猜想毫無了解 ,也就是問如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚. Donaldson 用上述的模空間的方法構造了四微微分流形的微分結構不變量,找出了一些拓墣流形上面不可能有任何微分結構, 找出一個拓樸流形其上有兩個以上甚至無線多個 微分結構..這些微分結構的判定就是靠上述構造的相交數..稱為 Donalson 不變量,
當四維流形世袋鼠曲面時, 這個模空間和該向量從上所有穩定的複結構的模空間是差不多的,John Morgan & 李駿證明可用向亮叢的模空間上的相交數算出一樣的量, 這個情形就完全是袋鼠幾何的範疇, 一直到現在都還是一個很不清晰的狀態
後來有利用 Spin 結構造的 Seiberg Witten 不變量,比 Donaldson 的容易瞭解很多, 人們也開始比較重視 Donaldson 不變量的代數幾何面 ,因為其微分面很大部分已被 Seiberg Witten 取代,但是 這個故事還沒有完. Donaldson 的幾位弟子和他本人在下一個世紀中繼續的對數學做出創造性的貢獻,..他的弟子是 Richard Thomas, Paul Sedal 等人.
下次我們將討論1990到2006…也就是到今天,接下來的介紹因為將會強烈受到作者個人的研究和興趣影響,可能會很不很客觀,請大家提出任何可能的意見來討論,我將介紹
Maxim Kontsevich, Mori, David Morrison, Kenji Fukaya,Raoul Pandharipande&Okounkov, Marc Levine, Mark Gross, Kai Behrend, Li Jun, Richard Thomas(Donaldson 學派), 等人… 主要的頭頭是 Kontsevich 和 Mori. 但是其他幾個人現在都很活躍, 所以我也部會有立場做任何負面批評…:)
我是學代數幾何和複幾何,但是我最近發現 Quillen 的思想,包括 category 的方法 和 homotopy algebra 都將在二十年內對代數幾何起巨大的革命 (另一個革命是 微分幾何中 的 flow 而另兩個是現代物理和 Laglands program), 不巧的是, 參樣革命都有關聯, higher K 理論和 Chow cycle 的緊密聯繫就是一個例子, (連結 K theory 和 cycles , 而 cycle 是所謂 calibrated submanifold with repsect to kaehler calibration, 而 此子流形應該是可用 flow 方法構造, 事實上 flow 將改寫整套微分幾何).
因此我開始學習 Quillen 的東西和一點點微分幾何,畢竟我的 pde 不大行,數論也好不到哪裡去..
“但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,”我不同意你的这种说法，我觉得这种新的语言本身就包含了许多革命的思想，例如，以前，Riemann-Rohn只是纯粹关于簇的一个定理，而他却把它看作是一个关于簇间映射的定理，
现Deligne他们正在努力把凡是适合于Scheme的性质改造成适合于Champs，Grothendieck带来了整个数学思考方式的革命化。
—–Riemann-Rohn的推廣到relative 的情況, 我並不那樣以為是重要的工作,這是一個自然的推廣.就像一個定理是 over field 推廣到 over a ring 依樣/// 把scheme都換成 stack, 也許有其重要性, 但我也看不出來, 重要的 stack 一般是模空間,研究模空間的技術並不在於了解 stack 的 general properties.
所以，代数几何领域很久没有出Faltings这样的同党了。
—–更正確的觀點,算數幾何很久沒有像 Mordell 猜想一樣有趣又重要的猜想提出來了.
代数几何研究的主要对象，簇，是相当刚性的东西，怎样使它稍微软化到能够充分或者肆无忌惮的使用分析的工具，这是一个比较深的领域。有人开始改造经典的代数几何，什么同伦代数几何，非交换代数几何通通出炉了，可是，在思想上仍然没有突破，代数几何仍然笼罩在Grothendieck的阴影下。
—–使代數幾何軟化..這句話非常有趣,但是事實上 辛幾何 已經是這樣的工作了, 非交換和同倫代數幾何, 並沒有使簇軟化, 也沒能像辛幾何那樣需要大量的分析,我現在關注的焦點是同倫代數幾何,但不是 Voevosky & Levine 的那樣想定義 scheme 的 homotopy group, 而是著重在變形理論中的同倫技術和所謂 Virtual Fundamental Class 的構造, 我以為這個方向早已遠遠超過了 Grothendick 可以想像的範圍,遑論其陰影, 事實上變形理論 Grothedick 並無任何貢獻,真正的貢獻者是 Kuranishi 而Grothendick 只是把東西寫簡單一點罷了. 可用的對象也跟著減少.
作算數幾何的話,再過30年也部會離開 Grothendick 的”陰影”, 但是從物理和微分幾何來的刺激,早在 1980 年以後就遠遠離開Grothendick 作夢能想的到的數學. 比如說 叢模空間, 曲線模空間, Gromov-Witten & Donaldson 理論, Degeneration 技術, 甚至現在的 Derived Category & (Homological) Mirror Symmetry, 如果 Grothedick 再回來幹數學,他會很後悔當初這麼早離開的, 代數幾何並沒有在他的?#092;罩下死去, 反而是更多的人們用他的語言開創更有趣的方向,而不只是單純的研究 scheme.
我不是做物理的, 但是我以為數學上的 鏡對稱猜想, 是比物理還困難的, 至少物理已確定這是String model要對得跟著要對的….但物理若沒有實驗作證, 是毫無意義的, 比如數學鏡對稱猜想, 是對 任何一個 Calabi Yau 流形做的猜測, 但是物理只需要去找出弦論模型用的是哪一個 Calabi Yau 流形(再確定String model後), 物理用的幾何模型,就是最重要的一個模型,弦論理宇宙只是一個特別的流形, 所謂的弦只是流形中的 S^1, 並沒有特別的數學意義, 物理的想像力是很重要的,但是真正有意義的結論也沒有多少.不過都是真實世界的事.
數學本來就不規定研究的對象是我們存再的這一個特別的空間, 當然因此物理對此嗤之以鼻,以為數學只是依種工具的角色,這當然是物理家的共同觀點. 如果 LHC 不揭露 String Theory, 那 整個 String Theory 就是夢話, 如果實驗失敗, 那 我想近百年內不會有更大的實驗,畢竟人類能製造的能量極限已經到達一個瓶頸, 如果實驗成功,物理接下來的研究實驗只會更龐大,找到新現象的機會只會更小, 然後數學的困難只會更多.
您所說得,只要物理可以描述,其幾何就自動 follow,的話相當有意義,但這明顯表示您尚不知道幾何的本質,幾何決定於它所存在得空間,來自一格固定的metric, 一個固定的Calabi Yau 流形, 但物理上找的到的,也就是一個特別得空間,比如如果超弦存再的空間是五次三維流形的話(這要靠物理學家來發現,80年來Einstein metric 也不見哪一個物理學家找出來過,除來奇點附近的定性分析), 那麼所謂的鏡對稱十年前已經是數學得結果, 當然其他type場的對偶理論尚未被證實,這其實只是因為物理學尚不知道什麼是其數學對應的物件(比如說非微擾的情形), 簡單說,物理學家有點開始不知道他們在說什麼.(當然我想您更願意說是物理不知道數學對應的”語言”,因為數學的人工還沒到那個境界….:) )
更何況,五次三維流形是宇宙用的那一個的可能性很小..
我想你是學物理的, 對真正的物理來說,SUSY 已經走的太遠,走到沒有實驗再說下去都有點像在放空炮依樣,但在數學就不是這個光景了..因此現在物裡最重要的是實驗來合實一些隱性證據,而數學嘛……
數學從來都沒有比較重要或不重要,只有個人的興趣與否的問題..
rrua 您好:
之前有兩個帖, 一個是 Mirror Symmetry 的研究動機, 另一個是 有關 T duality 的文ˊ章 想請教並討論:
據我說之, Mirror 猜想是物理學家 suppose 兩種場論要 match 的對應的數學猜想, 但再霧裏這一鼎也不需要證明, 在物理裡更重要的是找到宇宙對Einstein 流形的 fiber 到底是哪一個 Calabi Yau 流形, 是更重要的問題, 數學對此無能為力, 但 Mirror 猜想物理根本沒有辦法做出有效的解決的建議, 所有的比如 Mirror 流形的對偶的製造, 物理沒有辦法提供任何可能的辦法
Yau Zaslow 的T duality 也是 SYZ 的提出, 但是從數學的角度看, 現在任何一個 Special Lagrangian in nontrivial Caliabi Yau 3 fold(比如 ellptic curve * K3) 都找不出來, 現在大部分的微分幾何學家認為 Yau Zaslow 的猜想還在夢想階段 正如同 Michael Reid 的 conifold transition 依樣, 既然一個 Special Lagrangian 都
找不出來,就不要說還要寫成 SYZ fibration, Mclean 的文章才是 Yau Zaslow 文章重要的原因, 當微分幾何學佳能找到任何一個 Special Lagrangian (比如說用 minimal surface, 或是curvature flow) 那末 Mclean 就確定了 SYZ fibration 的存在, 因為一個 Special Lagrangian 的旁邊也都是 Special Lagrangian.
我前陣子和 Victor Batyrev 請教過, 他也合我以為的相同, Mirror Symmetry 再物理上只是來自一個簡單的原因, 就是不同的 field 描述相同的粒子, 所謂的 Gauge/String Duality (我現在研究的方向)在物理上也是因此而簡易成立的, 但物理學家沒有辦法提供任何的例子和證明, 當你再說宇宙怎樣怎樣的時候, 既不知到底是哪一個 Eistein manifold也不知是哪一個 Calabi Yau 更不知其 Mirror. 數學家當然是很慚愧到現在都不能提供解答, 其實整個Mirror symmetry現在的數學證據是 Givental, Ke Fong Liu&….
的 Mirror Conjecture在 Quintic three fold 的驗證, 這個驗證在數學現在仍是無厘頭之極, 我想數學家研究鏡對稱也可以是為了解決這樣的窘境吧.
彭加勒和希爾伯特是完全不同的類型…但是彭加勒的貢獻是比希爾搏大得多, Poincare 提出了流形的 基本群,高階上同調群, 是永遠的數學, 他也提出了著名的彭加勒猜想, 至少養了兩個 Fields medal 加上一個拒絕領 Fields medal 的Perelman.
看起來 Hirlbert 似乎做了比較多的東西, 但是其直覺是遠遠比不上Poincare得 , 特殊相對論也是 Poincare完成的.homotopy 群對數學的影響, 不僅僅止於拓墣而已,甚至抵得上 Hilbert 工作的總和….
我也是 Hilbert 的 fan, 但是 Hilbert 的數學是不如 Poincare 的..也許其精神是超過的,但天份不大比的上
1980-1992 這個時期, 是代數幾何的一個黃金時期, 這個時期有三個大猜想被解決, 幾個分支先後出現, 能人輩出, 真說的上風起雲湧:
解決的猜想:
(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一個猜想, 認為over Z 的一個簇的整數點的個數隱藏了該簇的拓墣性質, 這是一個令人震驚的猜想, 藉由幾何物件連結了拓墣和算數, 這個猜想由 Pierre Deligne 解決, 他用了 etale cohomology 的各種性質, 比如 Lefshetz 固定點公式, 另外Weil 將整數點合在一起寫成一個生成函數, Deligne 證明了這個函數的黎曼猜想, 這些工作是 Grothendick 的 Etale theory, 甚至是代數幾何, 開始受到數論學家重視的原因.
(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 說一個虧格大於等於2又定義over Q 的代數曲線, 只能有有限個有理數點. 這個猜想非常的簡短漂亮, 人們知道虧格零的曲線有有理數那麼多有理數點, 知道虧格一的曲線的有理數點形成一個有限生成交換群(這是Mordell 的定理), 如果證明了 Mordell 猜想, 那就說明了曲線的有理數點結構決定其 Kodaira 維數.這又是一個聯結算數和幾何的特別猜想.
(Kodaira 維數是 Canonical bundle 的 section 的個數增長次數, 曲線有三個 Kodaira dimension, 虧格0 -> K.D=複無限大, 虧格1-> K.D.=0, 虧格大於董於二->K.D.=1)
這個猜想被 Gerd Faltings 解決, Faltings 據說是一個天生下來學習 Grothendick
語言的數學家, 他高中就把 Bourbaki的代數唸完,大學把 EGA SGA 唸完, 他證明 Mordell猜想的方法也是利用 Abelian Variety 的理論, 這個人和 Pierre Deligne 是算數幾何的宗師.
(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一個 Kaehler 形式可以調整為其Ricci曲率為給定的形式, 邱成桐證明了這個猜想, 也證明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性, 在 K trivial 的時候就是著名的 Calabi Yau 流形, 一維時是橢圓曲線, 二維是 K3 曲面或 Abelian 曲面,都只有一種拓墣結構, 三維以上就不依樣 , 至少有數萬種 Calabi Yau 流形有不同的拓墣, 隨著物理的鏡對稱理論和弦論, Calabi Yau 流形變成了和 Eistein 四維時空流形(with Eistein 測度) 一樣重要的物理概念, 成為了到現在20年內代數幾何得重要研究對象. 這個代數幾何和物理的連結, 某種意義上比前兩個猜想的解決還要有意義.
(Yau 的結果雖然是微分幾何的, 但對代數幾何的應用非常多,也可能持續發現其應用, 比如說 P^2 上只有一個 Kaehler 結構也可用此證明)
下次我將說到 Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov 的工作, 雖然第一個和第三個不能算是代數幾何學家, 但是在21世紀的今天, 他們的工作隊代數幾何起了深重的影響, 就如 邱成桐的一樣.
這裡貼上我寫的Hartshoren袋鼠幾何教科書簡介:
Algebraic Geometry (Graduate Textbooks of Mathematics) written by Robin Hartshorne, Publisher: Springer Verlag; (April 1, 1997)
Review by Hua-Lian, Chang.
Hartshorne’s book is a unique book in Algebraic Geomtry. The book, among all the textbooks, is the most compact and clear one. In this book Hartshorne describes the program Grothendick in his 8 huge volumes of EGA (Elements de Geometrie Algebrique) written in French, so that English students can learn about algebraic geometry in a convenient way. Instead of being completely general in Grothendick’s books, Hartshorne’s book reproduces important theorems to make them fit in modern applications. It give a complete reference for properties quoted, and provides enough examples in its first chapter to motivate the formal idea of schemes, the main goal of the whole subject. Hartshorne’s fluent writing and clear algebraic manipulations provide readers the right view on the link between algebra and geometry, and this is the most important issue in studying algebraic geometry
Algebraic geometry is a typical collection of methods for studying varieties. Varieties are special geometric object of abundant properties and are in the center of study of many different math-subjects. They were founded and discussed by Italian Geometers over 100 years ago. Around the 1950’s, Andre Weil raised his conjecture on relations between algebraic geometry and arithmetics, which was proven after 30 years by Pierre Deligne, bring a shock to the arithmetic world in the period. In the 80’s physics came into play, taking use of deep notions in algebraic geometry to describe paticles. Mirror symmetry initiated various directions of research after that. While all these keep on being developed and some of their solutions to be beautiful, the most used terminology is Grothendicks’ language of scheme. And Hartshorne does his job on clarifyomg Grothedick’s hundreds pages of complicated definitions and theorems and turned them into a more concise (compare to 7500 pages of Grothendick) and readable book.
Chapter 1 describes stories before Grothendick. Varieties are discussed from many aspects. The examples are given in the exercises. Algebraic sets are defined to be the zero sets of collections of polynomials. Since they are closed under intersection, their complements form a topology, defined to be Zariski topology. Maps of varieties, ie. regular morphisms, are introduced. Rational and birational maps, so important in classical algebraic geometry are also discussed here. Blowing up is put as an example of a birational map. Zariski’s interesting definition of a nonsingular variety intrinsically in terms of local rings is also included. Nonsingular curves are treated, and very condensed statements of intersection theory in projective space are given. The discussion is primarily from an algebraic point of view. It would be better if the author would give more motivation of why graded modules are necessary in the definition of intersection multiplicity.
Scheme theory follows in chapter 2, and sheaf theory is developed very quickly and with no motivation (such as it could be obtained from a discussion of analytic continuation in complex analysis). Scheme theory is infamous of being very abstract and requires readers tough exercises to gain an in-depth understanding. The author does put lots of exercises but appeared to be less organized. The later treatment on coherent sheaves is much better. An easier way for readers to be familiar with these abstract notion would be to work out examples invented by oneself, where Mumford’s book of “Projective varieties” and “Abelian varieties” provide good references. The author could also inform readers about the motivation of introducing “schemes” in the framework. The major reason that schemes are defined are the followings: the first is that a fiber of a family can be nonreduced, and the other is that to solve Weil’s conjecture, a notion of “varieties over any ring as base” must be invented (which is exactly the first step in Deligne’s proof on Weil conjecture). The author did not mention these two reasons and it might be better if he could have given words to it.
The cohomology of sheaves is introduced in chapter 3, and the reader is assumed to have firm background on homological algebra before taking on this chapter. Hartshorne uses “derived functors” to construct “sheaf cohomology” and identify it as the “Cech cohomology”. A very detailed discussion is given to the “Serre duality theorem”, which appear to be too general because the condition of “Cohen Macauly” (for the duality theorem) does not appear in many problems. The later part of chapter 3 is the best part of the book. He introduces higher direct image sheaves and flat families, which were very difficult to ancestors in geometry due to their lack of the “scheme” languages. In this chapter “Zarisky main theorem”, “semi-continuity theorem”, and “cohomology and base change theorem” are proved. These three were the most complicated theorem among 1950-1975, and geometers in that period were given a hard time understanding the three phenomenon. It would be better if Hartshorne could mention their use in the later development around 1980-2000 around moduli problems and higher dimension geometry, only through so can the reader find the specific power of these theorems.
The fourth and fifth chapters are more concrete. In chapter 4, by proving the Riemann-Roch theorem, the author studies curves via Hurwitz’s theorem. He also deals with embeddings in projective space, showing that any curve can be embedded in P(3), and any curve can be mapped birationally into P(2) if nodes are allowed. Giving a fair amount of desciption on curves over finite field, the author’s more arithmetic treatment might disappoint readers from complex geometry, who might find moduli of curves to be more interesting.
Chapter five is a brief on algebraic surfaces. Ruled and cubic surfaces in P(3) are discussed. A short introduction of the classification of surfaces is given after several words about minimal model program of Italian geometers in 1890’s. The theory of algebraic surfaces is the most fascinating part of classical algebraic geometry. Readers could try Beauvile’s “complex algebraic surfaces” or Barth’s “compact complex surfaces”for further results. The latter one is the best known in the field and the first one is a better introduction than Hartshornes’ 5th chapter because Hartshorne only uses one chapter to talk about surfaces. Here one should note that complex surfaces serve a big database of examples of four-dimensional manifolds. For differential topologists or gauge theorist, this is a huge collection of objects to test properties on. But the author does not give statement to these connections possibly due to his arithmetic orientation.
Overall Hartshorne’s book has complete content. Although several minors could be pointed out, they did not cover the major meaning of the existence of this book: “It is THE textbook”. Nearly everyalgebraic geometer in English country has read this masterpiece. It provides rougher introduction in the last two chapters about curves and surfaces, but the whole book is a substitute of Grothendick’s original French series, which are incredibly long and with too many details. The chapter 3 of Hartshorne’s book is written to fit in the use of modern study comparing to Grothendick’s book. The author has also written two further books afterwards: “Residues and dualities” and “Lectures on deformation theory”. Readers could consult with them and would find Hartshorne’s cohesive organization of stories of algebraic geometry after Grothendick’s program.
1965-1980 Part Two
既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見.
David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:
(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構.
這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..
(2) 曲線和 Abelian Variety 的模空間的緊化問題: 模空間的緊化一直是備受關注的問題, 人們想知道幾何物件的退化會變成什麼樣子, Mumford 研究了上述兩種物件模空間的緊化, 並証明了對任意幾何物件退化的 ” Semistable Degeneration” 定李, Mumford 也對 Abelien Group Scheme 作了一些貢獻 , 對算數幾何起了重大的影響.
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Phillip Griffith 相較之下 ,並沒有這麼傑出, 他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作, 他帶領了一堆學生和工作夥伴, 對霍奇結構的變形理論,和霍奇結構退化時的理論,作了相當的貢獻, 他主要的動機是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 問題. 但是他 失敗了 (ps: 霍奇猜想可看成是 torelli 的特例) 他也因此離開了數學界, 留下了他的兩個著名著作: (a) 和 Joe Harris 合寫的 Principles in Algebraic Geometry (b) 和他的團隊合寫的 Topic in Transcendal Geometry
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在1965-1980這個時期中 Pierre Deligne 還提出了他的 Mixed Hodege Structure, 也就是混霍奇結構, 是不平滑的簇的霍奇結構. 另外Hironaka 也證明了 Resolution of Singularity 的大定理 得到非爾茲獎.
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作為此文的作者, 我想說依下我的個人觀點, 雖然 Mumford 的工作比 Griffith 傑出, 但是我以為這只是短暫的歷史現象,Mumford 對他的學生非常惡劣.甚至盜取他的一偽超強女學生,的工作, 相較之下 Griffith 就帶領出一批學生和合作者,他雖然失敗於一個不可能的任務:解決霍奇猜想, 但他的學生在下一個時期中, 持續的在這個綱領上工作, 也取得重要的結果,一直到1996鏡對稱猜想出現,袋鼠幾何界對霍奇結構的重視突然飆高, 隨著這些故事,Griffith 的精神永存.
1965-1980
這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:
(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間,
(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.
(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,
接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作
(1)
Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.
回 Dlony:
做機率的我不考慮，谁说kolmogorov是做概率的啦
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kolmogorov 當然是做機率的.他也做了一點點別的東西 但如果要說真正的工作還是機率 不這樣說我猜他會來跟你急
Riemann，kolmogorov，Poincare ，Hilbert,他们都很牛，他们都开创了很多方向，没什么比较的！
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話說的很中肯.很有中國人的風範.
但要知道, Kolmogorov 和 並沒有開創什麼方向, 另外三位前輩, 你可以很容易看出, Riemann> Poincare > Hilbert. 原因其實很簡單, 你應該看得出來..
比如說, 對我而言, Riemann 就比 Gauss 強, 他 們都開創方向, 但是 Gauss 開創的方向狹隘, 和黎曼完全不能比..
Grothendick
Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ
他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式
關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 “概形”,另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念.
這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多.
Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.
Topo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的”拓墣中的開集合”, 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.
Grothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.
畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數…
而方法..只因為研究的對象而重要….
Kodaira 的三大工作:
(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 “Kodaira dimension” 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,
這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形.
配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)
嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理
對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具
變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想.
Kodaira 是神..
抱歉我輸入錯誤了 請讓我補上:
我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持:
1940-1965
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論 和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態. 在1950到1965年間 出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序 描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.:::
她們是 Hodge(加一堆人) 開創複幾何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象語言及新定義(問題):
讓我先講第一項工作.
Hodge + Lefschetz + Kaehler 考慮了複流形的定義和一般的性質, Kaehler 引入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的”Elliptic regularity” 對Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解, 並且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理, 用以連結一平滑代數促和其截面的同掉群.
這是一連串故事的開始, 這個故事到現在,甚至以後一百年內 都不會結束.
關於大學就把Hartshorne看完的人.我也認識不少.甚至還有女生.但是在我認識了這麼多數學工作者之後.我發現這樣的人並不是最牛的.
真正牛的人 是能從特殊例子讀出一般性質的人
代數幾何學起來很有趣.但是學的人有很多不同的背景 .比如念的下Hartshorne的人,分析不一定很行,唸的下 Griffith Haris的人..Hartshorne 就不依定廿的下. 兩者兼通的人,卻也不一定兩者的好處都能用上.主要原因是複幾何和純粹代數幾何有很大的不同,在複幾何裡 classical cohomology or homotopy 都不需要特別處理, 在scheme over K 且 K 不是複數體的情形(很多人關心有限體) classical cohomology 需要 一整本 SGA 來定義成
Etale cohomology 而 homotopy 要用 Voevosky/Levine 的 Motivic homotopic theory.
更不要說著名的 Hodge Decompsition 和 harmonic analysis 或是 connection (規範) on holomorphic bundle, 都是複幾何才有 而代數幾何說不了多少.
我個人非常認為複幾何比純代數幾何有學習價值. 主要是直觀的提供. 代數這種東西, 直覺不容易從中產生, 很多時候代數不過是簡便的討論對象的工具,和對象本身不大相同.但也不可以忽視.只是應以 直觀為體, 代數為用 (分析為用也可以).當然學到極高的境界代數會有很妙的功用.另外 代數是簡化分析語言的一個漂亮的辦法. 比如 Hartshorne 的123章都是.但不應該迷失在漂亮的語言中.畢竟會說話的做不了事.
Hartshorne 有兩個好處是複幾何沒有的.一是除了上述的 K不是複數 的這種 variety(or scheme)的性質,二是研究 singularity 的工具. 或毋寧說是語言.雖然只是語言,但是在分析裡研究 一般singularity是幾乎不可能的,在假設是多項式型態的singularity之後,交換代數就可以登台表演. 所以有一句名言很切實際: 代數不過是有限維的分析.
當然我上述的是 General 的理論. 代數幾何裡面, 代數曲線=黎曼曲面=有
常曲率度規的流形, 這個一維(實數二維) 的情形是所有學科的交會點. 沒有從哪一個方向學習比較好的區別
什么猜想你认为最重要!
在幾何和數論和物理中, 我想當前正式的大猜想中 依其重要性排列如下:
(1) Hodge 猜想
(2) Mirror 猜想
(3) 黎曼猜想
(4) SYZ 猜想
(5) BSD 猜想
但是有很多重要性不次於此的問題,因為人們的了解不夠多.所以還沒有猜想提出來
比如在幾何中:
(1)高階的代數幾何變形理論
(2)路徑積分的數學化
(3)三維拓墣在分類後與其不變量的關係
(4)四維流形的完全不變量
(5)Calabi-Yau 流形的分類
(6)Motivic 理論的真正內涵
(7)辛流形的完全不變量
等等等等…說不完 |
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