对宇宙的沉思

RR兄您好:

Griffith Harris 是很棒的書, 不過第零章有一個關卡 就是 Hodge 分解的証明 , Warner 的最後一章可以做為小替代方案 另外您提的多複變其實 該書並沒有要很多 , 只除了前二十頁有用到之外後面就幾乎不用到了 強烈建議把第一章給讀了.. 不會是太困難的工作

我的 Email 是 hlchang@math.stanford.edu 不知道您有否寄錯, 不過也有可能你寄對但是因為是中文信件被系上自動標示為”spam” 於是就被我不小心刪掉 如果要寄的話可否寄往 chhwli@hotmail.com

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“是否能够谈谈现在的代数几何里哪些方向是最有发展前途的?我想,与数论的联系大概是取基域为有限域的原因.”:
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這是個有點大的問題 讓我區分為以下兩種:

代數幾何但是偏向複幾何: 最大宗的分支現在是圍繞在 Calabi-Yau 流形的研究 代數幾何中的各種理論 包括 Gromov Wittem 理論, Donaldson-Thomas 理論, Variation of Hodge Structure(霍奇結構變形理論), Toric variety 的領域, 簇的 Degeneration 理論(退化理論), Derived Category (誘導範疇)的理論, 非交換幾何的理論, 等等都在 Calabi Yau 流形上起了相互影響的現象. 這些影響有些是物理學家猜測然後被數學家以例子證實, 有些直接是數學家猜測 不過都沒有所謂的嚴格的証明 , 大家都知道”有東西在那邊” 但是不知道是什麼. 另外這個方向也和幾乎所有的別的數學學科起了交互作用, 包括 微分幾何中的廣義相對論, special lagragian(特殊拉格朗日子), curvature flow(曲率流), Hermitian-Eistein connection(連絡=規範場), Chern-Simon 理論…包括 辛幾何中的 Fukaya category, Floer homology, integrable system..等等甚至在表現理論, 數論 都有影響 幾乎是無孔不入

代數幾何偏向算術: 這主要是圍繞在算術的幾個猜想上, 包括 Birch-Swiner Dyer 猜想, Hodge 猜想(也可以算上面的但是現在做的人很多是從算術面), Bloch 猜想, Higher Chow theory, p-adic Hodge theory, 等等

我對第一種比較熟一點.. 很多人從不同的方向來研究這個方面 不過個人覺得做第一種的一定要研究一下模空間 會比較有意思..另外也以為代數拓墣中的 同倫理論 和 spectrum 的理論 在抽象的代數幾何發展中也會起到作用

在幾何與拓墣大約一百多帖前有我發的代數幾何百年發展, 基於某些原因暫時沒有完成1900-現在 的部份 但是之前的部份您可以看到是過去一些大理論的描述..那些理論雖然是過去發展的 但也可作為參考的標準 很多在現在也提供研究的課題 可以此看到代數幾何全面的方向和猜測將來的趨勢..我以後會多寫一點這樣的東西…希望多多討論

(本是在咖啡屋;經 bird 兄糾正後換在本版)
編查標準: 幾何＞拓墣 數論大家省略..
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1.黎曼
2.Poincare (彭加勒)
3.Hodge
4 Grothendick
5 Serre
6 Daniel Quillen
7 Donaldson
8 Shin Tung Yau
9 Edward Witten
10 Maxim. Kontsevich
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在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說

1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼

2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究

3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..

4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)

5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)

6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭

7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去

8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..

9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)

10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作很多時候顯得制式化……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…

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路人提問:

Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但表示理論的問題除組合和代數技巧性難關外通常沒有難度 相對比較 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 大部分的數學家回到那個時代 都會做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但在我看來 表示理論的問題除組合和代數特色外通常沒有難度 不過 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 如果我是當年的數學家 我做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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楼主的十大,如果仅看1950年以后,还是很中肯的,但是不能把先人和现在的人想提评论的说,这个比较本就不在同一层次上.
其实Chevalley也是非常非常好的数学家,我觉得他至少不比Serre差很多.
也许Yau跟楼主有千丝万缕的联系,但是Yau确实难以跻身前10,甚至如果宽泛一些的说,前30
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您說的沒錯 但是我個人認為 1950 年以後的數學家當然比 1950 年以前的強很多 Riemann Gauss Poincare Hilbert 是僅有的四個例外 但也不見得他們的層次就高到哪裡去
Chevalley 對純代數的貢獻比較多 但是對幾何 拓墣 都沒有 SERRE 大
Yau 和我的關係不大 也就是老闆的老闆 數學上也沒有聯繫 Yau 擠身前十是我個人的觀點
姑且不論 相對論或正質量定理 Yau 找出來的 Kaehler Einstein 度量在 過去 20 年內人們完全沒有更深刻的認識 其重要性在幾何裡面是非常巨大的 類似的度量在下個世紀會是幾何研究的核心.

我在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說

1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼

2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究

3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..

4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)

5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)

6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭

7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去

8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..

9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 我就不敢在這邊說了 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)

10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作太過制式化 不算是由心而發的數學……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…

Hartshorne的AG,我只粗略的看了前三章,感觉这本书看后收获不是很大,现在,我总感觉自己的几何学的太少了,代数几何里尽管用了很多代数知识,要懂很多的同调代数,但是,我觉得心中对这些代数对象没有一个对应的几何印象,学起来总是感觉隔了那么一层,
还有一点个人建议,你还是要弄一个博士头衔在手上,否则以后要吃很多亏的.如果有条件,还是去国外拿个博士.在国内你是不断的追赶前沿,但是,在国外的那些好的数学系或者研究机构,你就置身于前沿中,你就是主流.很欣赏你的这句话:数学的灵魂是自由的.我们喜欢数学,主要是仰望数学中那永恒的自由给人带来的一种内心的宁静!

R.R. 兄您好:

雖然是發給Hu兄的帖但也讓我插幾句話: 我第一次唸Hartshorne 的時候也是不太舒服 但我想很多第三章的定理在複幾何中都是很難用解析方法輕易證明的. 不過如果能看 Griffith Harris 就更好了. 事實上HARTSHORNE 的書可以讓我們更好的研究 singularity, 是現在幾何學最難的部份(微分幾何幾乎無法處理) 也可以讓我們考慮over 非複數體的情形(主要為了數論的影響)

另外”在國外拿博士” 這件事真的是一個很痛苦的過程 我五年念下來錢沒賺多少白頭髮倒是長了幾根..不過我想有心的話也許真應該出來看看.

引用 (huzhengyu @ 2007年04月03日 21时08分)

1 我总觉得镜对称很物理。请问toric geometry在镜对称中的应用？ 2 另，据个人感觉，极小模型的得到基本是通过-1曲线的吹落的终端元。不知您认为对否 3 最近有不少关于Kahler-Einstine metric的文章，有兴趣聊聊吗？

Huzhengyu 兄您好:

鏡對稱的確是源於物理 但是其中的 幾種對稱已經完全的被數學化 也就是說 他們變成了純粹的數學問題 一般說”鏡猜想”這個名詞指得就是數學中的鏡對稱猜想

Toric 在現有的鏡對稱的數學中扮演非常關鍵的腳色. Victor Batyrev 提出用 互相對偶的 一組 toric varieties 的個別其中的 complete intersection subvarieties 可以得到所有物理上所猜測的 Mirror pair of Calabi Yau 流形 他的這個猜測 已經提供了無數的鏡對稱的例子 和 Strominger, Yau, Zaslow 提出的 Special Lagragian fibration duality 相比較 雖然兩者都是提出製造鏡對稱流形組的猜想 但前者非常的實際並有很多例子 後者一個例子也沒有 (除了幾個沒有意義的例子) 但後者有助於所謂 “Homological Mirror Symmetry” 的可能的証明

有關極小模型, 我想您說的是對的 但只適用於三維或二維 比如說再四維的時候就得吹落一些二維的東西

KE Metric 現在最紅的是 KE flow 其次是 open manifold 上面的 KE, 我的微分幾何也學的不好. KE 是 HE (hermitian eistein)在切叢的特例 我對這個 HE 比較有興趣 他們對應到代數幾何的 穩定性 是很有趣的課題 我將來有時間會好好學一下這個東西..
huzhengyu 兄:

在下真的對 Birational Geoemtry 沒有研究 . 我都是泛泛的聽說一些名詞 比如說 flip flop 是曲面情形的 blow up(down) 在高維的推廣 還有說在高維極小模型必須容忍不平滑的情形出現 有兩種不平滑性: canonical singularity 和 minimal singularity(專屬極小模型的 singularity)

除了 minimal model 還有所謂的 canonical model, 似乎就是用 pluricanonical map 得出的 image, 其 奇性 就稱作 canonical singularity, 而 minimal model 似乎 介在原來的 variety 和這個 canonical model 之間

我有聽過 蕭蔭堂本人 的有關其大定理的演講 另外四位外國人合作解決同一個問題 ( canonical model 存再性) 我也聽過其中一位 hacon 講過兩次 還有另一位講過一次 即使如此 以我對 雙有理幾何的?#092;薄知識也聽不出多少 detail 來 我只知道 蕭處理的是特殊的情形 然後 四個外國人處理的是一般的情形 他們證明的那個定理是:

“對任一平滑射影簇 X 其 canonical ring = \bigoplus H^i(X,K^i) 是有限生成的
因此存在從X到其 canonical model Y=Proj of canonical ring 的滿射, 是一個雙有理映射 Y 被稱為天然模型 ”

在三維情形 MORI 證明的是 “minimal model”的存在性 但我也不知道什麼叫做minimal model. 見笑了

蕭的證明只對 general type 有用 他的技術是 “mulitplier ideal sheaf” 這個理論似乎是值得研究的對象 即使在這個 MMP PROGRAM 被解決之後 記得有新書專門講這個 另外蕭的証明似乎是分析方法的

那四個外國人 的方法 我比較清楚一點 他們使用對維度的歸納法 但是其中引用了現在相當熱門的 “log struture” 的理論 這個 log struture 大致上是對 “好的 邊界在無窮遠的 open variety” 做一種理論的描述 “log” 理論 的使用讓他們可以實現數學歸納法的証明 詳情我想 ARXIV 上面有 (查 MMP)

很抱歉我在這個方面不能給您多少幫助 還是一樣得泛泛而談 我想有關 MIRROR SYMMETRY 的東西我可以說的細一點…
huzhengyu 兄您好: 在下名字是 張懷良.. 我的畢業論文還沒有放到ARXIV 上 主要是想要做多一點東西 因為原來的東西好像太少了點..不過那是有關所謂 Donaldson Thomas 不變量 和 Gromov Witten 不變量的東西 和雙有理幾何無關 目前做出來的不算是很大的結果 所以後來在美國也找不到什麼好工作 畢業後說不定會去義大利進修 還拿不準

在下對 Minimal Model Program 有些興趣 但是不是主要的興趣所在 一個原因是以前沒有好好唸過這些東西 (當然曲面不算) 一個原因是聽說最近已經有 蕭蔭堂 證明了 任意維度的 general type smooth variety 的 canonical ring 是有限生成的 (有另外四個外國人
證明了 不需要假設 general type 的情形) 也就推導出 Canonical Model 是存在的
雖然還沒有把 Minimal model 找到 但是在我來看可能不會算距離太遠了..

我現在有興趣的幾個方向依次是:

(1) Homological Mirror Symmetry 和 原本的 Mirror Conjecture 的關係 Mirror Conjecture 是 Calabi Yau 流形上面 物理學家稱呼的 2A (數學家的 Gromov Witten 不變量) 和 2B (數學家的 Hodge Bundle 上的聯絡不變量) 兩個理論被物理學家猜測是一樣的 該猜想花了數學家十年的時光, 挑了一個例子來檢驗 結果是正確的(1990-2000).. 之後 Maxim Kontsevich 提倡用 Derived Category of Coherent Sheaves 來了解這個猜想 也就是 Homololgical Mirror Symmetry ..我這兩天剛在學這個 Derived Category 的性質

(2) 規範不變量的高維情形: 在80年代Donaldson 利用實四維流形上的聯絡模空間的拓墣給出該四維流形的微分拓墣不變量 發現”四維”是微分結構開始變的詭異複雜的維數 並証明了在代數曲面的時候該不變量可用曲面上穩定向量叢的模空間來給出 但是再超過四維的情形這個問題遇到了神祕的障礙 現在世界上沒人知道高維流形的 “規範不變量” 應該是什麼樣子的 這個問題有代數面也有分析面 我比較熟析代數面 那牽扯到 Daniel Quillen 的同倫代數(1960-1980) 和 茅頭初露的理論: “Differential Graded Scheme” (好像還沒有中文翻譯)..甚至也扯到了最一般的 相交理論 (尚未建立) 和 代數奇異點的變形理論 (框架已建立沒有根本理解) 等等大大小小萌芽中的理論..我還在一個一個啃..

(3) 就是有名的 Hodge 猜想拉 我現在開始覺得這個猜想是錯的 原因當然不好說 但是想真的證明可能半條命得丟進去 不過感覺上 彭佳樂猜想解決了就應該輪到這個猜想吸引世人注意了..當然我對現在紅得發紫的 非交換幾何也有一點興趣 物理也想好好學一學 不過這些就拿不准要怎麼下手了..

MMP 方面 在下知道的 Birational Geometry 和上述的 Derived Category 也有相當關係 另外有所謂的 Arc Space 的理論 和 K-equivalence, 都有關係 … 我甚至有點想看看所謂的 Cotangent Complex (是一種scheme 上的 complex of sheaves 其上同調可以看成Cohomology of Singularties, 也就是如果上同調都是零則是平滑的) 和 這個 Birational Geometry 或是 Resolution of Singularity 有什麼關係(肯定有關 但不知道是什麼)

抱歉講的這麼長 不過希望能多多討論 隨便哪個方向都可以 (袋鼠幾何);..
只是希望在这样一个时代，自己能有自己的一些特色。但看了Quillen兄的一些见解，确感自己的差距还非常大，而且对数学学习和研究还有一些误解。加上一些基础知识准备还不太够，确实达不到Quillen兄所说一边在前沿研究，一边在前沿学习的程度。看来自己还得找到正确的方法然后好好努力。

您太謙虛了.. 代數幾何五花八門的知識的確讓人覺得這個分支的人懂很多東西 但是事實上能工作的自由度是很低的 因為東西過度抽象 不具體 每個概念能操作的工具定里也不多
(其實都等待發展) 然而幾合分析是非常具體實際而且操作自由度相對大很多的學科 我個人認為這是非常值得好好學習的學科 如果給我再一次機會回到三年前剛讀數論的時候 我可能會重新選擇幾合分析

另外我覺得這年頭做數學要像胡適說的那樣 “寧小勿大” 也就是要把握自己的每一個新想法去研究 不要太求取大問題 (但是要保持關心, 嘗試也可 只是不用埋頭去做) 除非相當確定自己有好的想法可以對付這種問題

如果做幾何分析的話現在的潮流是 FLOW 理論 或是 CALABI YAU 流形的 SPECIAL LAGRANGIAN, FLOW 的話我想聯絡的FLOW 是一個重點 比如說已經有的 YANG MILLS FLOW, 而且其他的聯絡的FLOW 應該也會開始有很好的發展 另外一些重要的PDE像 SEIBERG　WITTEN 或許也適合己合分析研究
axlwacc 兄您好:

在 Stanford 接近20位有做研究的教授之中 就有 7 位 做幾何分析 他們是
Simon Bredle, Larry Guth, Eleny Ionel, Rafe Mazzeo, Richard Shoen, Leon Simon, Brian White. 其中我想最有名的就是 Richard Shoen, 和丘成桐一起證明了相對論中的正質量猜想..另外在大約60位博士班研究生之中 也都有超過十位的做幾何分析方向的學生.做分析的學生一般比較用功也比較樸素 也相信從估計中可以得到真正好的結果 我不是做這一門的對其內容也不算熟 但我想幾何分析的人一定得把黎曼幾何中的曲率張量大大小小性質 以及偏微分方程搞的滾瓜爛熟…

想要在數學裡作有自己特色又有意義的工作 本來就是一 非常困難的事情 我也沒認識幾個能做到這樣的數學家 一般我們做出來的結果都不會是大結果 而且甚至離大結果還很遠 要做出有意義的那就是難上加難了

“即使有些小想法，往往觉得在庞大的分析学科面前，还是很难发挥本质性的作用:” 我個人覺得只要有任何自己的想法 無論是大是小 都應該想辦法去實現 或這去確定其無法實現 反正不能浪費自己的靈感 致於本質性的新想法 那是需要?#092;氣加上時間還有瘋狂努力的

分析和代數幾何的內容本來就差很多 學習過程中很多地方都不同 做分析不能不坐下來好好的估計要處理的方程或是積分 要精確的處理每一個誤差向 知道每一個函數到底是落再哪一個空間裡面 代數幾何從學習上比較趣味 五花八門的概念 炫透的定義和定理 令人眼花撩亂 但是在幾何的領域這兩個科目是互相輔佐的 很多代數幾何的大問題 都要仰賴分析的工作 其實都是分析問題 比如說 CALABI 猜想 HODGE 猜想 SYZ 猜想 甚至像最新的 GROMOV WITTEN 不變量 或是 DONALDSON 不變量 都是分析工作者領著代數幾何工作者去理解這些新概念的 所以並沒有絕對的優劣的差別

有件事我倒是覺得很重要 就是找到可以學習的對象或是工作夥伴 或 學習夥伴 國內的環境差只是差在這邊 一般有功夫的人不說話 沒功夫的人你卻很容易去認識(因為愛說話) 國外的優點是你可以上網去查每一個人發過的文章 就知道他們專精的方向和程度 也可以部大困難的在學術上互相學習(當然還是要花點時間) 所以這點請費心
如果你證明了費馬小定理 或是艾森斯坦判別法 大學的時候就應該延續下去去對付二次互倒率 體上的算術理論問體 也就是現在稱呼的代數數論

如果你了解無限集基數 大學的時候就應該去看看連續統假設

如果你高中就能對組合數學有所掌握 大學的時候就應該去看看群的表現理論 和 李代數的表現理論 看看組合學如何影響表現理論 又看看組合學如何透過表現理論去影響整個數學界

對平面幾何(2400 年前)的興趣如果沒有消滅 就應該去翻一下 射影幾何(1700-1900) 如果興趣還不滅掉 就應該去看看古典代數幾何或是微分幾何(1850-1950) 如果興趣能繼續延續
應該去看看現代的代數幾何或微分幾何或辛幾何(1950-2007)

高等代數其實並不高等 甚至是初等的
有意思的代數比如 交換環 有限群相關理論 有限體 算術體 函數體 加洛瓦理論和類域論
模論 同調代數 非交換環論 數論 李代數 無限維李代數 環的變形理論 橢圓曲線上的算術
自守形式和其表現理論 …….. 全部都是尚在研究的領域 無數的全世界沒人知道答案的問題等待被解決

那為什麼還需要去做別人設計好的初等代數題目呢?

同調論是所有學代數幾何微分幾何辛幾何代數拓墣微分拓墣的人都需要學的東西

代數拓墣往後面學 有所謂的

chern class, classifying space, fiber bundles, knot theory, homotopy theory,
ring spectrum, topological field theory, generalized cohomology theory, eliptic cohomology, rational homotopy theory 等等

每一樣都不是已經完成的領域 都還有很多問題在裡面

學拓墣最好也看一點幾何 不論是黎曼幾何或代數幾何或辛幾何 你將會發現拓墣的驚人功用 現在最流行的不是拓墣本身的問題 而是拓墣和各個幾何或代數方向的鏈結, 有興趣可以在談談

我的博士論文題目是

如何用退化公式解決MNOP 猜想:

MNOP 猜想 假設 X 是一個射影三維複流形 則其 Gromov Witten 不變量 和Donaldson Thomas 不變量 在 沒有 descendend insertion 的時候是互相被一變數代換決定的.

我解決了 X 是 將一個線叢在一曲面上緊化而且該曲面是K3 blow up 一個點的時候 但是我使用的 \theta 局部化方法 是有可能對之製造退化公式的 如果可行就可以做X為線叢
在曲面上緊化且曲面的 canonical curve 是 虧格 g 的情形

這種特殊三維流形式使用退化公式證明MNOP猜想中最後需要處理的元件..主要是需要用到 relative GW=relative DT, 只要這個証完那樣MNOP 就証完了

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在下手上還有 8個左右的問題 大致是博士論文水平或是更高的問題

比如K3 twistor family 的退化問題 利用退化公式計算K3 twistor family 的 GW 和 DT 不變量 還有把不變量利用 multiple cover formula 還原成基本 Gopakuma-Vafa 不變量
又比如說 Derived Kodaira Spencer Map, 高維的 virtual cycle 製造問題
又如 Kevin Castela 的 Calabi-Yau category 和其伴隨的生成函數以及從 Derived category oh sheaves 到 B-field partition defined by variation of Hodge struture of CY manifold near large complex struture limit
等等等等
要學好拓墣學

第一個要搞清楚二維的流形

比如說 一千元紙鈔 和 一張中間破了一個洞的衛生紙 是不一樣的形狀

前者和一粒屎具有相同的拓墣結構

後者雖然已經不能用來(擦…) 但是有整數那麼多的第一基本群

就是說 拓墣學家認為 破洞的衛生紙價值遠遠超過一千元紙鈔

所以如果你不是很有錢的話不要輕易嘗試學拓墣

不然學到後面會想辦法在千元鈔上面挖洞的..

建议楼主改题目为“真正的近现代十大几何学家”
然后加一个Gromov，扔掉Grothendieck，他是完全反对几何直观的。 [/QUOTE]
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A.Weil
1).Adele
2).任意field上Variety的内在定义
3).Kahler
这些都是很大的工作
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首先 Adele　只是黎曼面上線叢的截面在　算數版本的類比　　　　Ｖariety　/k 的定義其實就是把　複數平面這個字改成　＂k” 而已　　Kaehler　理論的貢獻者　Kaehler　本人應該比較大不是嗎
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H.Weyl
1).Riemannian surface
2).Group<->Quantum mechanics
3).Unitary trick, Char. formula
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這的確是比較好的工作　但是難度上　至少量力的難度不大　
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这句话过分了一点，Euclid的工作没有Weyl的深刻，那楼主如果在Euclid的时代，……
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如果在Ｅuclid　時代　我應該是一個奸商
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>說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的
也许Gromov会持保留态度。
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Ｇromov 的工作我以為只有 pseudo holomorphic curve　的　Gromove compactness　和 generic smooth　比較重要　　其難度也比 Donaldson 理論小非常的多
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加一个Gromov，扔掉Grothendieck　我想 Grothendick　雖不主直觀　但是他對代數幾何的影響不小　也許把誰換掉以後加　Ａitiyah　我比較贊成..
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cnbjy 是在什麼單位做事呢？　做的是什麼方向？　似乎對現代數學有相當的了解.

Yau不管有多大能力,总是不如Chern的,他们的认识本就不是一个层次上的
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事實上並不是這樣, 兩人是很難比較的 但是陳省身只是提出了用聯絡表示特徵類以及Gauss Bonet 定理. 兩個重要性大但是難度不高 丘成同做的事情難度遠高於陳. 而且邱在上個世紀的最後十年內的工作的分量比起陳還要多很多 陳的名聲很大程度上受惠於他和外國人的關係非常好以及他的學生滿天下 丘則是苦幹的數學家
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Quillen能及Weil, Deligne?
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Weil 除了提出Weil 猜想沒有做什麼重要的東西. Deligne 很大程度的工作是在推廣 而且是單純的推廣 比如說 etale 理論. 他最重要的工作我看來是 Weil 猜想 和 Mixed Hodge 結構的構造. Quillen 的定理似乎沒有 Deligne 有名氣 但是同倫代數 高階K理論 和 Cobordism 理論的深度比起 Deligne 的工作高的多 下個世紀 Quillen 的工作會被重新發掘出來成為數學的新方向 相較之下 Deligne 的工作除了少數本質的內容外,噱頭就比較多.
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Hodge能及Weyl?
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您是做表示理論的 我想看的起Weyl 是正確的 但在我看來 表示理論的問題除組合和代數特色外通常沒有難度 不過 Hodge 做的 Harmonic decomposition of cohomology 是一個數學的斷層 從這裡之後人們發現幾何和代數的深刻連結 更發現這種連結的內在遠遠比其他數學難以了解 . Hodge 本人提的 Hodge 猜想 以及後來拓墣學家用這個鏈結 幾何-拓墣的算子做出 Atiyah Singer 定理 在我來看 Hodge 的貢獻遠遠多過 Weyl. 如果我是當年的數學家 我做的出 Weyl 的工作 但是一定做不出 Hodge 的工作
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Donaldson能及Gauss?
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從廣度上來看 也許Donaldson 不如 Gauss 但是Donaldson 做的東西的深度比Gauss做的所有東西的深度多了十倍還不止 當然您可以說後人總是比前人做的深 問題是Donaldson 的東西是在下100年內才有可能看清楚的那麼的巨大: 規範理論 慢慢成為幾何和拓墣的主流 Donaldson 的理論刺激了 Gromov Witten 理論的建立 Seiber Witten 理論的建立 後來的 鏡對稱和弦論與此關係非常的大. 說 Donaldson 是 上個世紀最偉大的數學家 沒有多少人有意見的 另外在帶學生這件事情上 Donaldson 的學生不算太多 但是每一個的貢獻都是很傑出的 比如 Richar Thomas, Paul Seidal 是其中最出名的兩個. Gauss 的學生只有黎曼一個人說得過去 而且似乎也不算高斯帶出來的..
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楼主的十大,如果仅看1950年以后,还是很中肯的,但是不能把先人和现在的人想提评论的说,这个比较本就不在同一层次上.
其实Chevalley也是非常非常好的数学家,我觉得他至少不比Serre差很多.
也许Yau跟楼主有千丝万缕的联系,但是Yau确实难以跻身前10,甚至如果宽泛一些的说,前30
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您說的沒錯 但是我個人認為 1950 年以後的數學家當然比 1950 年以前的強很多 Riemann Gauss Poincare Hilbert 是僅有的四個例外 但也不見得他們的層次就高到哪裡去
Chevalley 對純代數的貢獻比較多 但是對幾何 拓墣 都沒有 SERRE 大
Yau 和我的關係不大 也就是老闆的老闆 數學上也沒有聯繫 Yau 擠身前十是我個人的觀點
姑且不論 相對論或正質量定理 Yau 找出來的 Kaehler Einstein 度量在 過去 20 年內人們完全沒有更深刻的認識 其重要性在幾何裡面是非常巨大的 類似的度量在下個世紀會是幾何研究的核心.

我在列這些人的時候 很大程度上是考慮其對後人的影響 一大程度上取決於他們是否提出非常重要的問題 另一個程度是他們是否把自己的問題做的一乾二淨 如果那樣是非常不好的因為數學的活力在於還沒有解決的問題 比如說

1 Riemann 的黎曼幾何和黎曼曲面論是20世紀數學的研究中心 下個世紀也不會例外 Gauss 可以算他的論文的引出者 當然也不能忽視 不過主要的提出者還是黎曼

2 Poincare 的 Poincare 猜想 雖被解決但是後續的問題非常的多 主要是三維流形所有不變量的整合, 曲率流技術在其他幾何問題的威力, 加上對奇異點的研究

3 Hodge 的 Hodge 猜想 和 調和形式的相關問題 這個Hodge 猜想可以算是 Poincare 猜想解決後最重要的幾何問題 其正確和錯誤都會影響整個幾何和拓墣學界的發展. 經由 Tate 猜想也深入的影響數論的發展..

4 Grothendick 提出的 Stack 一直到最近才開始有小小研究 以及他的 Motivic 理論結合 加洛瓦表現(數論)和簇(variety)的上同調(幾何) 甚至加上 同倫 (homotopy)(拓墣). 是近代數論學家慢慢開始關心的主題… p-adic Hodge 理論也要仰賴他的工作 (當然 Deligne 尤其是 Faltings 才是這個方向的領頭)

5 Serre 雖然他的數論猜想已經被解決(今年) 但比如說高維球所有同倫群的計算問題還沒解決 拓墣中到處見到的”homotopy fibration”是他的工作… 他提的 Spectral Sequence 也是代數技巧的顛峰之作(我想把 Serre 換成 Tate 或是 Thom 也可以接受 不過似乎把他換成 Atiyah 比較合適)

6 Quillen: 上述的 同倫代數 高階K理論 Category 的手法 和 Cobordism 理論 都是後續研究無限延長的例子 他的構造不同理論的聯結是上個世紀的數學之謎 下個世紀如果能稍微看清楚Quillen的工作 都會是震動數學界的結果 要說 Quillen 是當代最強的代數學家 我第一個點頭

7 Donaldson 提出的四維拓墣的微分結構不變量 和此不變量取得的方式 完全罩住了1985年到現在的幾何和拓墣 這個世紀是規範理論的世紀(Atiyah 這麼認為) 也是數學物理的世紀 Donaldson 是第一個用物理研究數學取得成功的範例 無數的幾何和拓墣學家將要走上這條路 我也想辦法混進去

8 Shin Tung Yau 的工作就不用說了 正質量對相對論的影響和 Calabi 猜想對 宇宙除去相對論部分 的量子部分的分布空間的研究 講狂一點他研究的領域把宇宙的兩個部份給走了一便 (弦論學家預測宇宙是一個 Calabi Yau 流形 fibration over Einstein 的 四維非黎曼度量宇宙(也就是廣義相對論的用的度量) Yau 解決了兩個部份中根本的數學問題). 丘成桐同時是 上個世紀微分幾何的領頭人 他的學生遍部美亞 他提的問題 我就不一一列舉了 詳見 Arxiv 的 “Prospectives in Geometric Analysis”, 是下個世紀 用幾何研究數學物理的數學家們聚集的研究對象..

9 Edward Witten
這個傢伙來頭更大 我就不敢在這邊說了 雖然算是物理學家 但是他對數學界的衝擊令數學家們汗顏 Gromov Witten 理論 Seiberg Witten 理論, 曲線模空間的 Witten 猜想 拓墣場論…無數的猜想和理論從他手上生出來 如果實驗證實世界是弦論預測的那個宇宙 這個 Witten 的數學可能要變成所有數學家和理論物理學家的研究領域 (數論學家可能可以例外一陣子)

10 Maxim Kontsevich
他的主要工作是 用 Gromov Witten 理論來解釋物理的閉弦的交互作用 和其對 辛幾何的量子變形理論的研究 所謂的 “Virtual Cycle” 的理論由他預測 是另一個連起幾何和拓墣的方法 我的一個研究方向就是這個 希望藉由 Quillen 和 Donaldson 的工作的想法來構造出 Kontsevich 預言的 virtual cycle 那樣的話 連絡的模空間就可以代數化 數學家就可以反過來推動物理學家.
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我曾經是代數結構的迷 但是我發現幾何和拓墣的結構更比代數結構古怪 代數結構的操作太過制式化 不算是由心而發的數學……………………上面的人選也許不是最適合代數學者或是分析學者 甚至數論學者 但是數論中 做完一個大問題的人很少問出更有意義的問題 比如 Faltings 或者是 Deligne 甚至 Andrew Weil, 我承認他們是很強的數學家 但是他們解決完世界級難題後就沒有好的深刻的問題的提出(Deligne還有一點).這不符合我對數學的看法 一個問題被解決了 那麼那個問題的價值就消失了 重要的是更多的被提出的問題以及彼此學科中的關係和連結… 數論的美當然並不建立在我所說的這個標準之上. 但是我也因此沒列入數論中的大數學家. 希望做代數或數論的朋友們不要生氣…

bird 兄

辦法是有的

但是你要知道 這是一個地獄式的學習 可能會耗掉你可能一年壽命

首先你要把第一章徹底唸完.

接下來第二章 2.1. 2.2 不用做習題. 想辦法邏輯上念過 2.2 2.3 2.4在 scheme 的部份會很困難 要盡量找人問.不行的地方也邏輯上看過, 2.5 最重要 2.6 2.7 可以先跳過

可以參考 Harris 的 “The geometry of scheme”. 第二章一定要至少邏輯上搞清楚 base change (也就是 fiber product ) 2.4 有一些 scheme 的性質第一次看可以選擇跳過
第三章是重點

學習拓墣 不要花太多時間在 metrizability 問題 也就是各種 T1 T2 T3 T4 T5 條件和可賦距問題, 看懂緊致性, 連續 , 開閉集 就可以, 趕快先去學 基本群 和 拓墣流型的性質, 以及同調群 同倫群 及其應用. 就可以. 所謂的 點集拓墣或是 general 拓墣 , 不需要花太多時間就可以唸完 (兩個星期吧)…真正的拓墣在後面 代數拓墣或是微分拓墣
你畢竟還是不懂

首先1950年以後的數學 和以前的數學不一樣

你說的這三個例子 都是很久很久以前的 那時候要做數學研究 不需要學習多少背景知識 因此這種例子你是不可能舉出50年內的情形的. 事實上華和陳後來也搞不了研究 主要因為是他們也不會別的比較深入的科目 他們一生 都沒有該背景知識. 因此都搞無聊應用去了

我現在講的是純數學 就讓我指明是民科的純數學吧

愛因斯坦的狹義相對論 首先完全不需要背景知識 當時有很多數學家都搞出來 比如 膨加勒和希爾伯特等等, 愛的相對論真的開始有意義 是在他花了很長的時間學習數學的黎曼幾何的語言之後.至少花去他六年的時間當時他也早已不是民科 而且重點是這也是 1950 年以前的事情

1950以後的例子 您樓主一個也沒辦法舉出來的 不信試試

我門都有資格發言 只是發言別人信不信 事實上我有做出結果來作而你沒有 那麼信我話的人會比你的多一點 因為你根本不了解什麼是做新研究 研究要做別人沒做過的問題 這個年代這些問題都需要背景知識 不知道您到底懂不懂我在說啥

丘成桐對中國數學界的觀點 那是另外一回事 和民科一點關係都沒有 請不要插科打渾 你真的知道邱對民科的看法嗎 請讓我看看

您說”如果圈子里的也认为是不正常的，我们还有必要讨论吗。” 的確 我開始覺得有對牛彈琴的情況 我至少是圈子裡的 不知道您在哪 還要在討論嗎? 如果你一個現代例子都舉不出來

“在他们成为数学家，拥有权威，拥有荣誉后，他们的责任是什么？” 可見你還不曉得 他們的責任 並不是維護民科 事實上他們完全有鄙視民科的權利 另外擁有這些東西 並不代表他們就有責任 另外 我想中國的民科眼中能見到的就是這些”權威吧” 樓主您是否也只見到這些呢 這些是虛幻沒有意義的ㄚ 榮譽我承認是有一點點的 但是榮譽和責任有關係嗎

“美国人在政治领域都是讲民主，讲自由的。而你要在学术领域要轮大棒，不知是学的美国人的那一招！”

很好 就對這句話 表示你還沒有看清楚什麼事民主自由.民主 指的是人民的行政權利 自由 是在法治之下人人的行動是受保護的. 那麼我問你 關於民科被鄙視以及不接受這件事 哪一件事情是違法的 那一個人是不自由的 如果您說民科沒有被給予進入學術界的自由
哪表示你不知道什麼是真正的自由 一個人做了事要別人看 別人當然有不看的自由 當事者可以抱怨 但是連官司都不能打 .您想清楚再講這渾水吧.

說話要分清楚 不要拿無關的事情來攪和 不然可能也說不下去
我沒有”重要”的結果 但再袋鼠幾何方面有一點點小結果. 我想我比妳有資格發言 你並沒有看到不合理的現象 事實上妳認為不合理 但是所有圈內的數學家都認為是合理的 沒有一位數學家會支持自認為已經把大問題給解決的民科, 這是眾人皆知的. 難道你不曉得嗎

就算是國外重視獨立研究的環境,民科幾乎是沒有人引以為然的, 樓主你能說說你學過什麼 1900 年以後的數學嗎? 我想如果你學過的話 你會知道我為什麼這麼說.

“非要维护那些傲慢的中国数学家们？以有没有成果来判断是否可以发言欠妥。”

首先我不維護”傲慢”的中國數學家, 我維護的是數學家們不理會民科的權利, 民科可以把他們自以為正確的結果寄去給雜誌看能不能刊登,不要無聊去騷擾數學家們, 你以為這些數學家傲慢, 但是如果你真的知道內情的話, 這些自認為解決了大問題的民科先生們 才是真正目中無人的傲慢份子.

已有沒有成果判斷是否可以發言是欠妥, 但是你有沒有成果會影響我門信任你發言的正確性產生影響, 如果你沒有成果, 你怎麼知道為什麼學者們對這些民科不屑一故, 您最多的解釋就是傲慢 但是事情不不是你想的這樣, 如果你不是數學工作者, 有過任何的結果, 或者是有在進行研究的研究生, 你怎麼取信別人, 你怎麼知道數學家們的正確看法

每一個民科當然都有可能是對的 問題是, 如此微乎其微的可能, 數學家們為什麼要浪費自己的時間呢, 比如我最近是因為剛做完一個段落的研究可以喘息一下, 不然哪裡有時間在這裡詢問樓主做過什麼呢.

樓主請給出一個 真正是民科, 完全沒有受過大學類別的教育, 在 1930 年以後, 然後有過正確的,有意義的結果. 不需要再這裡虛談 請給我一個您真的想要替她洗白冤屈的例子, 好嗎

我學過一點簡單(基礎)數論 我想

1 代數數論
2 解析數論
3 模形式(自守形式)
4 加洛瓦表現
5 算數幾何

是進階的數論的主要分支
因為個人的分析不夠專精, 比較偏向代數和幾何,
所以沒讀什麼解析數論另外每一樣都看過一點點
因此 在代數數論 和 算數幾何懂的稍微多一點

就講這兩個吧
(1)

代數數論我主要是唸了 class field theory, 真的很棒的理論 , 是代數數論的人一定要學的理論, 也是加洛瓦理論的一個終極結果, 甚至具有幾何的意義, 讀這個有很多書可以看, 要從 local field 開始來, 比如說 我先從 Serre 的local field 看起,那是一本名著
之後 我就讀 “Algebraic Number Theory: Proceedings of an Instructional Conference Organized by the London Mathematical Societyby J. W. S. Cassels, A. Frohlich” 這本書是經典中的經典. 我只看了其中 類域論附近的篇章.

我沒看Serge Lang 的書因為感覺寫的不好. 另外我也參考了 J.S.Milne 網上的免費講義 和寫的很棒的 Neukirch 有 class field theory . 學這個真的只有一個字可以形容: 爽.

代數數論裡面有所為的 cyclotomic (分圓)擴張是很重要的, 我幾乎都不懂, 但是這是最大的例子來源.

(2)

算數幾何我念了 Silverman 的 In introdution to Diophntine Geometry, 還有他的 Arithmetic on Elliptic Curve 第一冊及第二冊一點點. Mumford 的 Abelian Variety 的3/5, 還有 Milne 的免費講義裡面的 modular form, 這些對專家其實都是很初等的東西. 不過我學的挺快樂. 雖然我後來有讀一點有關BSD 猜想的特殊情形的理論, 也就是現在俗稱的 歐拉系統 或是 Kolyvagin 系統, 但是學的糊里糊塗 頭昏眼花

說真的 如果能夠去唸 Deligne 的 Weil Conjecture 或是 Faltings 的 Mordel conjecture 或是 Wiles 的 Fermat conjecture 都是人生一大享受, 我想以後會找時間回來看一看的. 畢竟成熟度增加 讀書速度也會大增. 另外這些大問題都可以讓人開始研究其他未解決的小問題, 所以應該很值得做
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我以為學習數論很重要的是喜歡計算例子. 然後一定要非常的心無旁鶩, 其實也不用太聰明, 聰明在自己研究的時候是需要的 但是唸的時候不需要.

最重要的是勤於工作,不過做哪一科不是這樣呢. 事實上 解析數論越來越火, 可能也值得注意 Harmonic analysis ..可能中國國內的數論工作者對這個比較有興趣..
楼主所提到的人的确是很牛的，但是我觉得还是挂一漏万，至少Kolmogrov 和 Hilbert是没有争议的比你所说的那是个人中的很多的人不差的。你也许就是了解你自己的圈子里面的一些人而已，然后就认为他们是最好的。至于说“搞概率的我不考虑”， 不知道你这样考虑的动机如何，“文人相轻”是中国人自古以来的弊病，其实每一个学科都有他自己的特点，如果拿你自己的圈子的标准去衡量别人，不是很荒谬的吗？ 邓亚平打篮球不是乔丹的对手，但是乔丹在乒坛上也不堪邓的一击。我觉得在这里的人应当都是受过不错的教育的，动辄就进行排名之弊端，人尽皆知，我认为以后可以不要干了。桃李不言，下自成蹊。

我列舉這些人 第一個原因是其工作的重要性, 重要性是個人的觀點, 況且帖子名稱是 十大數學家, 當然是我列出我覺得最好的數學家. 那又當然是和我領域有關係的

機率這個科目本來就沒有什麼難度, 難的是和隨機方程, 機率論就是分析裡的測度論, 只是分析裡的一部份而已

Hilbert 當然是了不起, 但是他的時代我只選一個人 您可以看倒我是個”decade”中最多選兩人, 1900 前的最多選倆人

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如果拿你自己的圈子的标准去衡量别人，不是很荒谬的吗？ 邓亚平打篮球不是乔丹的对手，但是乔丹在乒坛上也不堪邓的一击。我觉得在这里的人应当都是受过不错的教育的，动辄就进行排名之弊端，人尽皆知，我认为以后可以不要干了。桃李不言，下自成蹊。

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上述這段話非常激烈, 但如果您學過機率和其他更深入點的數學的話 您應該會了解我的看法. 排名本來就是大家說著玩玩, 機率的純數學難度不高但是對物理和社會的影響相當大,雖然最近對數論或幾何開始產生影響, 但還未成氣候, 人人有發帖的權利 不多說了..

剛剛忘記說了 我推薦 Humphrey 的 Lie algebra and their representation (名可能有誤)或 Daniel Bump 的 Lie groups

我以前是看前者的, 沒有李群, 李群在很多微分幾何書都有, 比如 Warner 的 Foundation of Differential Geometry and Lie Groups 挺好
李代數的基本理論讀起來不難, 主要是用root system分類單李代數. 但是如果要把所有表現理論都搞清楚而且熟練 會需要很長的時間. 另外如果學得時候想知道理論的來由和根據, 最好參考李群的書, 比如 Thom& Dick 有一本 李群和她們表現的書..

現在李代數的一個研究趨勢是到無窮維, 無窮維李代數對現代的數學(和將來的)已經有很大的影響, 她們也都有對應的李群的理論, 只是比較少因為無窮維流形上分析是很彆腳的.另外一個方向是研究代數群的李代數,或者量子群, 後者和物理有關.

要看就拿起來看, 需要的再去找. 不要讓我們決定你該不該看 可不可以看, 卡住了可以來問問題, 當然自己想辦法更好.
除了基本的辛幾何教科書 額外一定要學 Gromov Witten 理論 和 Kontsevich 的 deformation quantization, 都是辛幾何的主要內容, symplectomorphism 和 integrable system 也是重點, 很多數學書都可以在 “www.amazon.com”上面查詢關鍵字找到.

舉例說

The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism (Lectures in Mathematics. ETH Zürich) by Leonid Polterovich
是symplectomorphism 的書

$J$-holomorphic Curves and Symplectic Topology (Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc)) by Dusa McDuff and Dietmar Salamon
是一本專門講 Gromov Witten 不變量的書..

An Introduction to Sympletic Geometry (Graduate Studies in Mathematics) (Graduate Studies in Mathematics) by Rolf Berndt and Michael Klucznik
應該也不錯,好像各個方向都有談一點

Deformation Quantization 可以看Kontsevich 在 arxiv 上的文章

另外可積系統聽說也是辛幾何的重心, 書的話不知道Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Systems (Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona) by M. Audin, A. Cannas de Silva, and E. Lerman (Paperback - Aug 1, 2004) 怎麼樣

我只知道相關 Gromov-Witten 不變量的一些東西, 另外的我都不懂, GW不變量對袋鼠幾何有很大影響, 其實是互相影響, 辛幾何在這個分支上面屬於理論派,袋鼠幾何屬於計算派, 你如果多了解以後我們可以多聊聊

辛幾何的書不多, 但是這是將來很有發展潛力的學科, 因為和物理中的保角場論,微分拓墣, 非交換幾何, 都很有關係..阮勇斌和田剛都是超級專家..他門的文章也值得看

但是再學這一科的 Gromov Witten 理論時 你會需要一天到晚用到 橢圓微分方程的正則性定理, 以及裡面常用的不等式, 另外 Atiyah-Singer 指標定理也會少少地出現一兩次

也許我的理由不夠充分

但是這個問題要是可以用出等方法解決

那那些, 類域論, 模曲線, 模猜想,
class field modular curve modularity conjecture

模形式, 古山-志村猜想, 加洛瓦表現
modular form Taniyama-Shimura Conjecture Galois representation

和 group scheme 的 理論不是應該全部都靠邊站了嗎, 為時一百多年

至少有 Gauss , Shimura, Grothendick, Tate, Serre, Deligne, Faltings, Ken Ribet, Andrew Wiles, Richard Taylor, Brian Conrad, ….. 的相關工作, 裡面至少有五個菲爾茲獎得主, 這些人是不是都應該來向jixuan 虛心求教, 要不然跳河也可以……

有空還是去想想 Birch Swiner Dyer 猜想, 做出來的話還可以拿 100 萬美金

我想 AlgeGeomelie 是抽象派和非交換幾何的..袋鼠

我這隻袋鼠比較崇尚模空間的研究, 和 variety 的拓墣性質, 以及 Hodge 猜想,物理對袋鼠幾何的影響 (Mirror Symmetry),

這個年頭的袋鼠們有很多選擇, AlgeGeomelie 對 stack 熟不熟, 好像對算術有很大功用
希望可以多多請教 etale cohomology & nocommutative geometry.

法文真的不好讀 以前嘗試過讀一些文章, 還自己一步步照字典翻譯, 翻了 20 頁就放棄不幹了, 因為速度實在是太慢了…

不過為什麼Connes后悔没有和的Grothendieck交谈呢, 能不能多說一點?
有關該書的話”不要去花太大的精力做难题，有这样的时间，为什么不自己做研究呢？”

是有道理的, 如果是學生時期(博班或碩班以前),問題又有趣, 那就去做, 步要想太多

如果開始做研究, 那就要把心力放在研究上, 再有趣的問題, 可以放在腦子裡的暫存區, 反正腦子不會關機, 自己支配空閒..

講這麼多… 其實說真的 我應該回答您 “自己決定”
這個問題很有意義

如果難題很困難又不見得多有趣(也就是你會想”做出來又怎麼樣”) 的話 那當然隨便試試看, 要放棄也沒關係, 也可以拿去問自以為是的民科學家, 或者拿去問你很討厭的同學, 讓他們在裡面轉的頭昏眼花再跟他們說你不知道答案, 是一件有點卑劣 但是令人非常舒服的一件事

如果難題有趣, 那要分兩種

如果有解答, 那就看你的 狀態, 想要做就做, 想跟它熬就熬, 但是如果沒時間, 就直接看解答.

如果沒解答, 可以拿去問你欽佩的高手, 或者是老師, (註 千萬部要拿給您討厭的高手, 幹麻要給他們這麼有趣的題目, 趣味的累積才是實力), 接下來又分成兩種

如果有人會做, 那就要想辦法虛心學習是怎麼做出來的, 並且可以多跟 欽佩的高手聊聊天

如果沒人會做, 那有兩種可能,

你不認識多少真正強的高手或老師, 那要好好加強數學家人脈了(不用送禮啦)

你認識的很多超級高手都做不出來, 那

拜託您把問題拿去問當代最強的數學家, 寫 email 去問他/她 比如說如果是微分幾何, 寫信去問邱成桐 , 複幾何 去問蕭蔭堂, 數論去問 Wiles (也有很多別人可以問), 袋鼠幾何去問…恩 這個問題有點嚴重, 可以把問題寄給我,

我幫你去問
R^n 內的集合是緊致 當且僅當 該集合是 必急且有界

拓墣空間可以寫成兩個緊致集連集的集合還是緊致

Klein Bottl 是兩個緊致集的集合, 因為是管子的兩邊用相反 orientation 連起來 直接切開就可以

但是一個有趣的看法可以把 Klein Bottle 放到 R^4

管子可以放到R^3, 所以也放到 R^4, 假設管子的兩邊是 A 和 B 兩個 S^1

如何把 B 內外顛倒接到 A 也就是看其來從管子內部穿過去來接到A , 但又不能真的碰到管子碰到 ？？？？？？？

方法很搞笑, R^4 比R^3 多一維 , 姑且稱那待四維度是時間 , 線在你手上有 管子和兩邊界 A B, 方法就是, 讓時間暫停, 慢慢的讓 B 回到昨天, 昨天的 R^3 世界就　只有 B
所以可以把 B ＂穿到” 　A 的位置, 這個過程都沒有管子而只有B 所以不會碰到管子,

然後　再讓時間慢慢回到今天　　這樣　B 就接到 A 了　　以我們想要的方式　（orientation　相反)

這就是把 Klein Bottle 放進 R^4　的構造, 可以證明不能放到 R^3

顯然這是R^4　裡面一個閉的有界集, 所以是緊致的　

諾貝爾告訴我們 老婆被拐了要怎麼報復,

Galois 告訴我們, 流下生命作好的數學遠遠不如位愛情賣給一發子彈,

高斯告訴我們 想出問題以後要把思路擦的一乾二淨, 不要讓任何人看到自己的天才..

Grothedick 告訴我們 搞政治 和回家種田都比做數學有意義.

John Nash 告訴我們 學數學發了瘋沒有關係, 但是要讓別人知道自己有一顆

美麗的心靈..
Ravi 是一隻有趣的印度幾何袋鼠, 這是他的網站, 有很多東東 , 包括他和一寫人 唸 EGA 感想, 還有他個人的交過的課的講義 他的袋鼠幾何講義適合算數幾何的人學, 也有微積分 線代, 袋鼠, 還有之前在MIT 教 模空間和變形理論(袋鼠幾何專題)的講義, 也有很多其他的連結 有興趣可以翻一翻

http://math.stanford.edu/~vakil/

美加州 史丹佛大學數學系

這是一個大約 50 年的數學系, 非常年輕, 但是因為史丹佛是一個暴有錢的學校, 花了大批銀子的結果還是有很多大數學家在這裡貢獻

過去有 Paul Cohen 拿了 菲爾茲獎(證明了連續統是和集合論不能互相推論的假設), Kodaira, Atiyah, Shing Tung Yau 都在這邊工作過 現在有幾位大頭 如 Rich Shoen (中文翻孫李察) Leon Simon & Jun Li & Elent Ionel & Yasha Eliash Berg (後兩位是辛幾何學家 國內可能不熟)

這裡有一個很大的缺點, 學校的附近是美國最富有的區域之一, 諸位知道美式資本主義國國家 貧富差距巨大, 最富有的地區主要道路上都是BMW, 法拉利 , Porche 滿街跑, 來這裡唸書的博士班學生會有強烈的貧窮自卑感, 數學系甚至有都做到博士後研究的學生轉去商業重新念博士, 我也不知道怎麼撐過來的..

每一個教師的教學都非常認真, 數學系也有一些中國人, 一個星期正常都有八九個演講 . 每天一個或兩個 , 從星期一到星期五分別是 數論 辛幾何 微分幾何 拓墣 代數幾何

這裡的數論比較弱 有作表現理論和automorphic form的 Daniel Bump而已. 學生之間有非常多的討論班, 和博士後研究之間也有私下討論班, 這些討論般的主要原因是大家和教授們水平差太遠, 希望靠著博士後研究的學者幫忙一起學習, 我自己就常舉辦只給中國人的袋鼠幾何秘密討論班,希望可以比外國人更強一點, 現在袋鼠幾何的學生討論班至少有:
Etale cohomology 討論班, 眾人小讀文章報告班, 中國人秘密袋鼠幾何討論班, 三個.

學校非常漂亮 可以說是美國屬一屬二的. 到三藩市開車要一個小時, 加州是美國最漂亮的州之一,有七個國家公園, 但是最大的缺點是MM太少, 強烈建議光棍不要申請,否則就是葬送寶貴的青春……..(說到這裡 筆者已經揮淚欲下…………………)
你们一定以为“向大师学习”，只是一句说来动听而不切实际的话。这是可以理解的。毕竟年轻人爱时髦，看的文章总要越新越好。所以一二十年前的文章便已有过时之嫌，更遑论十九世纪的文章？可是这个提法是无需我来辩护的，因为有才学远超过我的人来代替我做。在我做研究生的时候，有一次去听Andre Weil演讲。他一开头就说年轻人一定要找高斯，Euler等第一流的数学家的全集来读。在这方面，Weil是一个言行十分一致的人。1947年有一段时间他的情绪低落，但从翻阅高斯的文集中得到启发，因而作了一连串的猜想。

这就是支配了过去三十年来代数几何发展的“Weil猜想”。其实相像的例子是太多了。
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讓我做幾點補充並且回shannon的評語

Andre Weil 的時代 是一個很特別的時代, 在 1910-1940 中間的數學發展非常緩慢 主要的原因是世界大站和歐洲政局動盪 (當時美國羽毛都沒長齊), 數學家們流離失所, 沒有什麼成果, 那時的人要學習,當然要找前代的大師們學習, Gauss Riemann Hilbert Poincare Lie Hurwicz 主要工作都在1900前

Andre Weil 是一個很特別的人 他為了反戰被關在監獄裡,在那提出了Weil猜想的例子, 這樣一個能自己思考 為數學嘔心瀝血的數學家, 你可以想像 閱讀前輩大師文章中隱藏的各種構思 是Weil獲取靈感和樂趣的唯一方法

問題是..現代是怎樣

現在不是那時 , 數學的發展已經到了非常成熟,很多科目都需要大量的基本知識, 越讀書籍外還要閱讀文章, 諸位大學所唸的數學,都是 1910 年以前的, 但你想想. 從 1940 到 2006 之間的數學發展, 是 之前人類數學發展(就把 Gauss Riemann Hilbert Poincare Lie ..) ?#####氵M去, 的五十倍也不止.

基本的東西是要學習,但要學習到可以做研究,學生們要突破的難關是這 70 年來的巨量的知識的掌控, 所以現代正確的學習方法和五十年前不依樣, 很多知識來自於道聽塗說或是直覺任意的推理或翻閱文章, 要細細閱讀前輩大師的著作,很有機會墮入古老的深淵..也就是不能習慣現代的思考方法和觀點, 很多這 30 年的大工作是沒有書唸的, 文章也是零散的, 如果不念這些文章 , 沒有工具也沒有機會了解問題, 伍鴻禧教導的是 1950 年左右的學生, 他的觀點是錯的, 除非你只想待在一個領域裡 (我說的是適合想要接觸每個數學領域的學生的學習方法)

伍鴻禧也因此很早就去做數學教育,很早就放棄數學研究, 原因很簡單, 他閱讀的”前輩大師”著作的細節,都被外國人做光了, 他本人又不挑一個微分幾何問題下去專研, 因此放棄是唯一的選擇, 如果跟著他說的做,那就得走他的路 (除非時間是別人的兩倍)

不知道有沒有也再學習做研究的學生可以出來說幾句話,

一般的正式袋鼠拓墣書都有交換化

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您問的是一個很著名的問題.

Thom & Quillen 解決了 Universal cohomology theory 的 構造

就是一個廣義的 cohomology theory, 出始條件決定可能是 classical cohomology 或者 K theory , 別的出始條件會給別的 theory, 比如現在有點紅的 elliptic cohomology

這些 cohomology 都來自於一最廣的 cohomology theory, 就是配邊理論

cobordism theory, 是研究高維流行如何在某種意義下從基本的幾種組合出來. 有不同的 cobordism theory , 端看所謂的 (B,f) 條件

筆者不是專家, 但是這方面是代數拓墣這個世紀最主要的發展之一, 包過 spectral 理論, 如果學會你已經打敗吳文俊老先生了(知識上) 請參考
(到 www.amazon.com 網站可以購買國外圖書, 有點貴但很值得)
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Generalized Cohomology (Translations of Mathematical Monographs) (Translations of Mathematical Monographs) by Akira Kono and Dai Tamaki
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On Thom Spectra, Orientability and Cobordism (Springer Monographs in Mathematics) by Yuli B., Rudyak and Yu B., Rudyak)
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還有一本是 R. Stong 寫的忘記名字了, 十年前的書但是是經典 本分之中人人手中一本

Forms 在 代數和數論參考書的精華帖中轉在了下述好帖, 筆者曾經和 作 BSD 猜想的Karl Rubin 教授學習過一點數論, 雖然後來半途而廢, 但在此補充 Forms 的帖發一些算數幾何參考書, Forms 的帖如下:
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转载

我是学数论的研究生，以前见有人发贴子，也有同学曾经问过我一些学数论的参考书。今天谨以我个人的喜好，谈谈学习数论的参考书。在此我只提：我以前曾经读过现在正在读着和将来十分想读的数论参考书目。一家之言，仅供参考！

在国内有一个不好的倾向是把数论分的太绝对化，要么是学代数数论的要么是学解析数论的。听过美国威斯康星大学杨同海教授的一个报告，说了一句挺有意思的话：在美国都认为我是做解析数论的，而在国内?#####滴沂亲龃鄣摹Ｆ涫滴胰衔魑桓鲅鄣难芯可谒妒拷锥危词鼓闶茄Т鄣囊灿Ω弥繰iemann－zeta function zero-free，学解析数论的也应该明白Adele ring,Idele group,这些都是以后进一步学习最基本的东西5。如果作为一个硕士毕业的数论研究生这些你都不知道，那只说明一种情况是你老板不是一个合格的导师。我一直认为一个合格的导师是不仅把自己的专业知识传授给学生，更重要的是告诉学生自己的学科在整个数学中的所处的地位和作用，在和自己相关的学科中别的数学家都在做什么工作什么是主流的数学什么是核心的数学，而不是逼着学生去读你的只能发表在某某大学学报上的论文。
我所说的书目，一类是可以做教材的一类是平时学习的参考书。做教材的书我认为起码要满足三个条件：不要太厚 不会让人望而生畏；起点不要太高，即预备知识不要太多；要有当代数学的内容，你不能整个一本书都是讲一百多年前的数学，那是本科生的教材!

1 初等数论

内容主要是数论函数和同余性质。国内外都有很多很好的参考书的。

2 解析数论

H.Davenport multiplicative number theory springer-verlag GTM74
A.A.Karatsuba（卡拉楚巴） 解析数论基础 科学出版社 有中译本和英译本

这两本书都是非常适合做教材的。包含了Riemann zeta function，Diriclet L-functions, zero-free , prime number theory , explicit formula，three primes theorm of Goldbach conjecture , circle method … 解析数论所有的基础知识。 H.D的书写的非常简练优美可读性很强（除去前六章,我认为！ ）。

另外如果你有足够大的书架足够高的学习热情，你可以买本潘承洞潘承彪的“大词典”：解析数论基础 科学出版社。我觉得这本书只适合做词典用。

有了这两本书的基础，如果你想了解 Goldbach Conjecture and Chen’s Theorem,你可以看 潘兄弟 歌德巴赫猜想 科学出版社 有英译本。这可能是他们合写的一本最好的书。

如果想学习更详细的 Reimann zeta function 知识，你应该只看E.C.Titchmarsh The theory of the Riemann zeta function, second ed. Oxford Univ. Press.这是因为在 BAMS 中 P.Sarnak 给 A.A.Karatsuba and others The Riemann zeta function 写的 book review 的最后一句很有意思的话是：If I were limited to having just one book on my shelves on Riemann zeta functions,I would opt for the 1986 edition of Titchmarsh”s monograph. 最近一二十年Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory的研究有很大的关系，但一般讲Reimann zeta function的专著中很少讲到这一点的，不过可以从网上找到一些这方面的survey文章来看看的。

最近又有一本非常新非常好的讲解析数论的书，那就是H.Iwaniec E.Kowalski analytic number theory 2003 AMS 书比较厚当然内容也非常多，基本上包含了当代解析数论所有的工具技巧和内容。有了这本书上面所有的书你都可以不用读了。

3 代数数论

H.P.F.Swinnerton-Dyer A brief guide to algebraic number theory Camb. Univ. Press

这是我见过的最适合做教材的一本书，一学期的课程足够了！作者是大名鼎鼎的 BSD Conjecture 中的 SD。薄薄的一百多页讲述了 Ideals ,Valuations ， Adele , Idele , Special fields , Tate’s thesis , L-series ， Class field theory ect . 我一向不喜欢写的太厚的书更不喜欢写的太初等的书，书中没有这两个缺点而是很多地方充溢着作者对代数数论独到的精辟的见解。关于其他参考书目我建议大家看看冯克勤老师的代数数论的一个附录和结语，我认为这是那本书最值得看的部分 。

我比较喜欢 S.Lang algebraic number theory springer-verlag GTM110. S .Lang是一个以写很多书而著名的数学家，光springer－verlag就好像给他出了三四十本吧！出书多了就有很多人对他写的书不以为然，其实就这本书来说我认为还是非常好的讲了class field theory ,analytic theory , Hecke L-functions , Artin L-functions, … .

另外一部名著我认为是学数论的学生大都知道可能大都没仔细读完过（起码我是只仔细看过其中的chapter VII Zeta-functions of A-fields,另外第二部分classfield theory并不是我很感兴趣的地方。），不用猜你知道我说的是 A . Weil Basic Number Theory. 大数学家都喜欢给自己的书起个不起眼的名字，A . Weil就是这样，其实讲的东西绝对一点都不basic，用simple algebras和group representations的工具使用Adele ring and Idele group的语言 ，统一讲述Global Field－number fields and functions fields上的数论。读这本书之前可能需要懂点拓扑群和群表示的东东。

4 自守形式 自守表示 自守L－函数 郎兰兹纲领

(1) H . Iwaniec Topics in classical automorphic forms AMS
H . Iwaniec Spectral methods of automorphic forms AMS second ed.

这两本书都是从analytic methods出发。第一本讲述了GL(2) 上的 holomorphic modular forms 的情况着重讲 了 Kloosterman sum , automorphic L-functions ; 第二本讲述了GL(2) 上的 Maass wave forms 的情况着重讲 Spectral theory 中的trace formula . 从这两本书里，你能看到当代解析数论的主要研究领域和主要研究方法，这与经典的堆垒素数论additive number theory在内容和方法上都有很大的差别。Kloosterman sum , Trace formula 在当代解析数论研究中起着桥梁的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道L-Functions的研究在 Langlands Program 中起着中心的作用，而研究L-functions 往往需要很强的分析方法。最后引用别人的一段话

：… we remark that over the the past three decade research in the Langlands Program has been pursued along main lines; via L-functions,via dual reductive(theta liftings)and via the trace formula … one can take the point of view that automorphic forms are primarily of interest because of concrete analytic information they give us classical problem. In the optic, functoriality is a tool rather than an end in itself,and a wide range of other methods from analytic number theory play an equally important role…

（2） Automorphic forms ,Automorphic representations , Langlands Program

关于伟大的Langlands Program , 最原始也可能是最好的参考书是伟大的 H.Jacquet 和伟大的R.P.Langlands 写的伟大的 Automorphic Forms on GL(2) LNM 114 （可在Langlands主页上免费下载）. 当然这本书对初学者来说也是比较难读的，需要掌握很多预备知识。

S.Gelbert Automorphic Forms on Adele Groups （Princeton 出版的一套红皮书）应该是一本非常好的参考书尽管出版于1975年。励建书老师曾在一个Summer School给同学们推荐过这本书. 但是我翻过感觉写的有点乱，不像一般的书，将这方面的理论分成local theory和global theory，一目了然！

还有一本不错的书是 R.Godement（法国人，Jacquet的博士生导师）写过一个比较薄的讲义 Note’s on Jacquet－Langlands’ theory 书中主要是把LNM114的重点内容讲了一边，比LNM114好读多了，就像在perface中作者说的那样，书名其实也可以叫做 Jacquet－Langlands’ theory made easy ！这本书的缺点就是一般的图书馆都找不到，好像没有出版？ 只是一个内部讲义！笔者最初就是从这本书学起的，一位非常认真的老师给仔细讲过。

可能很多人喜欢看, D.Bump Automorphic forms and representations 当然这是一本非常好的参考书。书里主要讲了 local and global theory (Jacquet-Langlands’ theory) for GL(2) 和 Rankin-Selberg Method ，“… but it less tightly organized and considerably longer ( 574 pages ) … ” . Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi method当然是研究automophic L functions的重要的解析方法。Rankin－Selberg method 也是 Bump 所擅长所偏爱的部分，书中就写的比较多。内容有点偏 (励建书语,呵呵).

另外著名的书就是 A . Borel W.Casselman Automorphic forms, Representations , L-functions PSPM vol. 33 (AMS上可免费下载)。 这是一个会议论文集，都出自大家之手，当然也是非常全面非常厚的。这本书可能是做这方面的数学家人手一册的必备参考书，让AMS 赚足了钱，后来就索性贴到网页上 online 。一位老师告诉我这是一辈子都有用的书 ^-^. 当然，初学者不可能也没必要从头读到尾，拣你喜欢感兴趣的看就行了。

还有两本非常新也是非常好的书 J.Bernstein S.Gelbart An Introduction to Langlands Program 这也是一个会议论文集，但不太厚，作者都是这方面的专家的，重要的是从最基本的基础讲起，也不需要太多的基础知识就能看的懂的

J.W.Cogell , H.H.Kim , M.R.Murty Lectures on automorphic L-functions 书中分了三部分分别讲述了Rankin-Selberg method and converse theorem，Langlands-Shahidi method 和applications of symmertic power L-functions to analytic number theory 三人都是这方面的专家。看看下面的介绍你就知道是一本非常好的书 This book provides a comprehensive account of the crucial role automorphic L-functions play in number theory and in the Langlands program, especially the Langlands functoriality conjecture.There has been a recent major development in the Langlands functoriality conjecture by the use of automorphic L-functions, namely, by combining converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction to these developments and explains how the Langlands functoriality conjecture implies solutions to several outstanding conjectures in number theory, such as the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin’s conjecture. It would be ideal for an introductory course in the Langlands program.

中文的可以看 黎景辉 二阶矩阵群的表示和自守形式 北京大学出版社。书中的内容偏少些，重要的Automorphic L－functions基本上没讲，但无论如何是一本不错的参考书。

还有一本不错的中文书是 李文卿 数论及其应用 北京大学出版社 书中也是统一处理数域和函数域的，前几章讲当代解析数论的基础内容，第七章讲的是classical的模形式，第八章automorphic forms相当把 LNM114 简要的叙述了一边。

5 算术代数几何

arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年数论和代数几何相结合发展起来的一门学科.由P.Deligne，G.Faltings，A.Wiles最近二三十年的工作，显的尤其重要，也可能是在国外数论最热的方向。需要较多的预备知识，起码你要知道点 代数数论 （integers ring , discriminant and ramification , ideal class group ）; 交换代数( Dedekind domains ， discrete valuation rings) ; 代数几何( affine and projective curves , scheme theory ，Riemann-Roch theorm) .

我见过的这方面的书比较少，有一本是 D. Lorenzini An Invitation to Arithmetic Geometry GSM9 AMS ，这本书的优点是你不知道上面的内容也没关系，从头开始，最后证明了 Riemann Hypothesis for curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用Riemann-Roch Theorem 给出的证明方法，可能对于要做这个方向的硕士生来说还是有点太简单吧。
另一本书 IAS/PARK CITY vol 9 Arithmetic Algebraic Geometry 是AMS组织的 summer school的讲义，总要讲了 Elliptic Curves，Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry,Galois Representations ，Serre’s Conjectures,Modular forms ，这辆本书可能会只使你对这个方向有个大致的了解吧！
GTM201 Diophantine Geometry spring-verlag 也应该是这方面的不错的书，但内容和难度都比上面两本书高一个层次的。偶的感觉！

如果真要从事arithmetic algebraic geometry这个方向的研究，个人认为A.Grothendieck同学搞的那些抽象的象天书一样东东早晚还是需要拿来仔细读的，但是厚厚的几大本有点bt的EGA，SGA是不是都要仔细读哪（三年未必能看完）？可能也是个仁者见仁智者见智的问题！ 笔者当然没有看过任何一本。
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最後一段對閱讀 EGA SGA 有一些反對意見, 筆者也認為如此, 現在除了 Hartshorne 可以取代 EGA 一部分之外, 關於 Etale Theory 有 Milne 的 “Etale cohomology” 取代, 其他專題也有專書取代, 沒有必要一定去念法文.

算術幾何最重要的三個工作, 分別是 Deligne 證明的 Weil 猜想, Faltings 證明 Mordell 猜想, Wiles證明 費瑪猜想, Wiles 學生證明 Modularity 猜想.

Silverman 有 Arithemetic of Elliptic curves 一二冊, 第一冊介紹橢圓曲線的基本知識, 第二冊有一些進階的內容, 比如 CM 曲線, Tate 曲線, Neron 模型. 兩本書寫的很基礎, 很值得對算數幾何有興趣的人一看. 筆者只唸過第一冊和第二冊的一點點, 感覺非常好.

上述的 Diophantine Geometry 也是 Silverman (銀人)的專著, 內容是 Roth 定理 和 Vojta 用估計方法重新證明 Mordel 猜想的內容, 其時寫得還可以, 但是內容不是如帖子中講的那麼深, 只要學過一點點袋鼠幾何就可以看了.

費馬問題有一本書 Modular Forms and Fermat’s Last Theorem by Gary Cornell, Glenn Stevens, and Joseph H. Silverman , 是一堆人合寫的好書, 把費馬問題的周邊問題一章一章的講了, 當然把 Wiles的證明也介紹了, 是相當難的書,但是很棒,值得下功夫.

Algebraic Groups and Class Fields, Translation of the French Edition (Graduate Texts in Mathematics) by Jean-Pierre Serre 是早期的 函數體上類域論的書, 聽說很精采.

Weil Conjecture的標準書就是上述的 Milne 寫的 Etale cohomology theory. 需要對 scheme 理論很熟悉, Hartsh